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吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题
一、单选题
1．若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知甲、乙、丙、丁、戊、戌共6名同学进行信息技术比赛，决出第一名到第六名的名次（不含并列名次）．比赛结束后，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“你不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，6人的名次排列的不同方法的种数为（ ）
A．450 B．480 C．504 D．618
3．已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列求导数计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有个.
A．14 B．16 C．18 D．20
6．某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（ ）万元.（参考数据：，）
A．5.3 B．4.1 C．7.8 D．6
7．已知定义在上的可导函数，满足，且.若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列满足，则的值是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
二、多选题
9．下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知函数存在单调递减区间，则实数的取值可以是（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
11．已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知数列是递增数列，则实数t的取值范围是_________．
13．已知数列的前n项和，则____________；数列的通项公式为____________．
14．已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．
四、解答题
15．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，M为的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成的角的余弦值．
16．已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
17．已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若，求的单调区间．
18．已知函数，，其中为的导函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围.
19．已知椭圆上有一点为的左、右焦点，连，若焦距为2，其三角形面积的最大值为，试回答下列问题
(1)求的标准方程以及离心率
(2)作直线的交点，已知有动直线交椭圆于C、D两点（在点的右边），设点，点的纵坐标分别为，且.设为左顶点，连RC，RD交于G、T两点（在的右边），若，则试证明过定点．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B D A C B ACD BD
题号 11
答案 ACD
1．C
【详解】若复数满足，
则，
故复数的虚部为.
2．C
【详解】由题意，若甲是最后一名，有种不同的方法；
若甲不是第一名也不是最后一名，则，
所以6人的名次排列的不同方法的种数为中不同的排列方法.
故选：C.
3．A
【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；
当时，满足，但此时，必要性不成立．
综上所述，“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
4．B
【详解】解：A．，正确，不符合题意；
B．，错误，符合题意；
C．，正确，不符合题意；
D．，正确，不符合题意．
故选：B．
5．D
【详解】根据能被3整除的三位数的特征，可以进行分类，共分以下四类：
（1）由0，1，2三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数；
（2）由0，2，4三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数；
（3）由1，2，3三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数；
（4）由2，3，4三个数组成三位数，共有个没有重复的三位数，所以由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有个数.
6．A
【详解】设每年应该存入万元，
则2021年初存入的钱到2027年底本利和为，
2022年初存入的钱到2027年底本利和为，
……，
2027年存入的钱到2027年底本利和为
则，
即，解得：.
故选：A
7．C
【详解】因为，所以，
所以函数在上是减函数，
又因为，所以，
所以函数为奇函数，
因为，所以，
由，得，即，
所以，解得，
所以满足的的取值范围是.
故选：C.
8．B
【详解】由，
故，
，
则，
故，
故.
故选：B.
9．ACD
【详解】A. 因为，所以，故正确；
B.因为，所以，故错误；
C. 因为，所以，故正确；
D. 因为，所以，故正确.
故选：ACD
10．BD
【详解】的定义域为，，
函数存在单调递减区间，
在上有解，即在上有解，
令，
故，结合选项可知，B ， D正确；A ， C错误.
故选：BD.
11．ACD
【详解】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确；
表示的图象在点处的切线斜率，故错误；
由图可知，故，故C正确；
直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率，即，D正确．
故选：ACD．
12．
【详解】依题意，，即，整理得，
因，则，．
故答案为：.
13． 2
【详解】由题意易得，
当时，，而，所以．
故答案为：2；．
14．/
【详解】，①
当时，，②
①-②得；
当时，，此时仍然成立，．
当时，；
当时，，
当时，上式也成立，故．
由于，
设
，
则，
．
故答案为：
15．（1）证明见解析；（2）．
【详解】解：（1）依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直.
以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，
如图，建立空间直角坐标系.
则，，，.
可得，.
所以，
所以
（2）由（1）得到，，
因此可得，.
设平面的一个法向量为，则由
得
令，解得.
同理，可求平面PDC的一个法向量.
所以，平面PAM与平面PDC所成的锐二面角满足：
.
即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
17．(1)
(2)在，上为减函数．
【详解】（1）当时，，
，，，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）当时，的定义域是，
所以．
令，所以．
当时，；当时，．
所以在上为增函数，在上为减函数，在处取得最大值．
又，所以恒成立．
故在，上为减函数．
18．(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且，
则，可得，
①当时，恒成立，可知在上单调递减；
②当时，令，解得；令，解得；
可知在上单调递减，在上单调递增；
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由可得，
整理得，即，
可得，
因为在定义域内单调递增，可得，
即，可得，
令，则.
因为，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递增，在上单调递减，则，
可得，所以a的取值范围为.
19．(1)，离心率为
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意知，得.
当A为椭圆E的上下顶点时，的面积取到最大值，
即，解得，所以，
所以椭圆E的标准方程为，离心率为.
（2）由题意知，设，得，
则直线的斜率存在，当直线的斜率为0时，，
直线方程为，直线方程为，
令，得，
所以，
则，
解得，此时的方程为，不符合题意.
当直线的斜率不为0时，设，
，消去x，得，
则，
得，
.
直线方程为，直线方程为，
令，得，
所以，
则
，
解得，所以，即，
所以直线恒过定点.

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