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(共11张PPT)
第1课时　认识三角形(一)
1.(2025·贵州)下列图形中,是三角形的是(　 　)
B
2.图中的三角形被木板遮住了一部分,这个三角形是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.以上都有可能
3.若a、b、c是△ABC的三边长,且+=0,则△ABC为(　　)
A.不等边三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
D
B
4.若一个三角形的三个内角分别是10°,35°,135°,则这个三角形是　 　三角形(按角分类).
5.如图,请据图回答问题.
(1)图中共有　 　个三角形,它们分别是_________________
________________;
(2)△BGE的三个顶点分别是　 　,三条边分别是　
,三个角分别是　 ;
(3)在△AEF中,顶点A所对的边是　 　,边AF所对的顶点是　 　;
(4)∠ACB是△　 　的外角,∠ACB的对边是　 　.
钝角
4
△ABC、△EBG、
△AEF、△CGF　
B、G、E
BE、EG、GB　
∠B、∠BEG、∠BGE　
EF
E
CGF
AB
6.如图,解答下列问题.
(1)表示出图中所有的三角形;
(2)以AB为边的三角形有哪些
(3)以E为顶点的三角形有哪些
(4)以∠D为内角的三角形有哪些
(5)指出△BCD的三个角所对的边.
解:(1)△ABC、△AEC、△EBC、△EBD、△CBD.
(2)△ABC.
(3)△AEC、△EBC、△EBD.
(4)△EBD、△CBD.
(5)△BCD中∠D所对的边为BC,∠DBC所对的边为DC,∠DCB所对的边为DB.
7.下列说法正确的是 (　　)
A.钝角三角形一定不是等腰三角形
B.直角三角形一定不是等腰三角形
C.等腰三角形一定是锐角三角形
D.等边三角形一定是锐角三角形
D
8.(2025·陕西)如图,在△ABC中,D、E分别为边BC、AB上的点,则以D为顶点的三角形的个数为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
9.线段BC上有3个点P1、P2、P3,直线BC外有一点A,把点A和点B、P1、P2、P3、C连结起来,可以得到　 　个三角形.
B
10
10.在如图所示的方格中,以AB为一边,以小正方形的格点为顶点,画出符合下列条件的三角形,并把相应的三角形用字母表示出来.
(1)钝角三角形;
(2)等腰直角三角形;
(3)等腰锐角三角形.
解:(答案不唯一)(1)△ABC为所作的钝角三角形,如答案图所示.
(2)△ABD为所作的等腰直角三角形,如答案图所示.
(3)△ABE为所作的等腰锐角三角形,如答案图所示.
11.如图,在△ABC中,∠ACB是钝角,让点C在射线BD上向右移动,则(　　)
A.△ABC将先变成直角三角形,然后再变成锐角三角形,而不会再是钝角三角形
B.△ABC将变成锐角三角形,而不会再是钝角三角形
C.△ABC将先变成直角三角形,然后再变成锐角三角形,接着又由锐角三角形变为钝角三角形
D.△ABC先由钝角三角形变为直角三角形,再变为锐角三角形,接着又变为直角三角形,然后再次变为钝角三角形
D
12.观察下列图形,图1中有1个三角形;图2中有5个三角形;图3中有9个三角形;……则第2 026个图形中三角形的个数为　 .
提示:由如图所示规律可得第n个图形有(4n-3)个三角形.
8 101　
13.已知△ABC.
(3)若在BC边上任取4个点(与点B、C不重合),则有　 个三角形;

(4)若在BC边上任取n个点(与点B、C不重合),则共有 个三角形.
(1)如图1,若P为BC边上的任意一点(与点B、C不重合),则图中共有　 　个三角形;
(2)如图2,若P1、P2为BC边上的任意两点(与点B、C不重合),则图中共有　　个三角形;
3
6
15　
　(共14张PPT)
第2课时　认识三角形(二)
1.(2025·苏州)如图,BE是△ABC的高的图形是(　 　)
D
2.如图,CM 是△ABC的中线,△BCM的周长比△ACM的周长长3 cm,BC=8 cm,则AC 的长为(　　)
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
3.(2025·山东)如图,在△ABC中,∠C=90°,D、E是AC上两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,那么下列说法中不正确的是(　　)
A.BE是△ABD的中线
B.BD是△BCE的角平分线
C.∠1=∠2=∠3
D.BC是△BCE的高
C
C
4.如图.
(1)若AM是△ABC的中线,BC=12 cm,则BM=CM=　　cm;
(2)若AD是△ABC的角平分线,则∠BAD=∠DAC
=　 ;若∠BAC=106°,则∠DAC=　 　;
(3)若AH是△ABC的高,则△ABH是　 　三角形.
5.如图,AD是△ABC的中线,BE是△ABD的中线.若△ABC的面积为40,BD=8,则点E到BC边的距离为 　;若AC=10,则点D到AC的距离为　　.
6
∠BAC　
53°
直角
4
6.如图,已知AD、AE分别是△ABC的高和中线,S△ABE=12 cm2,AD=4.8 cm,∠CAB=90°,AB=6 cm.求:
(1)BC的长;
(2)△ABC的周长.
解:(1)∵S△ABE=12 cm2,AD是△ABC的高,AD=4.8 cm,
∴BE==5 cm.
∵AE是△ABC的中线,∴BC=2BE=10 cm.
(2)∵AD是△ABC的高,AD=4.8 cm,BC=10 cm,
∴S△ABC=BC·AD=24 cm2.
∵∠CAB=90°,AB=6 cm,∴AC==8 cm.
∴△ABC的周长为AC+BC+AB=24 cm.
7.如图,在△ABC中,AD是高,AE是角平分线,AF是中线,则下列说法中错误的是(　　)
A.BF=CF B.∠C+∠CAD=90°
C.∠BAF=∠CAF D.S△ABC=2S△ABF
8.如图,在△ABC中,D是边BC上任意一点,连结AD并取AD的中点E,连结BE并取BE的中点F,连结CF并取CF的中点G,连结EG.若S△EFG=2 cm2,则S△ABC的值为(　　)
A.10 cm2 B.12 cm2
C.14 cm2 D.16 cm2
C
D
9.如图,在△ABC中,AC=6,BC=8,AD⊥BC,且AD=3.若点P在直线AC上运动,则BP最短时的值为　 　.
4
【画图】(1)如图1,当点D在边BC上时,请画出△ABC中AC边上的高BG;
【探究】(2)如图1,通过观察、测量,你猜想DE、DF、BG之间的数量关系为　 ;为了说明DE、DF、BG之间的数量关系,小明是这样做的:
解:∵S△ABC=　 +S△ACD,
∴AC·BG=AB·DE+ .
∵AB=AC,∴　 .
10.在△ABC中,AB=AC,D为直线BC上任意一点,连结AD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
解:(1)作图如图1所示.
BG=DE+DF　
S△ABD　
AC·DF　
BG=DE+DF　
【运用】(3)如图2,当点D为BC的中点时,试判断BG与DE的数量关系,并说明理由;
(3)BG=2DE,理由如下:
如图2,过点B作BG⊥AC交AC于点G.
由(2)可知,BG=DE+DF.
∵点D为BC的中点,∴AB·DE=AC·DF.
又∵AB=AC,∴DE=DF.∴BG=2DE.
【拓展】(4)如图3,当点D在CB的延长线上时,过点B作BG⊥AC,请直接写出DE、DF、BG之间的数量关系.
(4)DF=DE+BG.
11.如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,延长BG交AC于点E,F为AB上一点,且CF⊥AD于点H.下列判断,其中正确的个数是(　　)
①BG是△ABD中边AD上的中线;
②AD既是△ABC的角平分线,也是△ABE的角平分线;
③CH既是△ACD中AD边上的高,也是△ACH中AH边上的高.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
C
12.如图,在△ABC中,点D为BC的中点,连结AD.点E为AB上一点,连结CE交AD于点F.若CF=3EF,S△AEF=2,则S△ABC=　 　.
24
13.【问题情境】如图1,AD是△ABC的中线,△ABC与△ABD的面积有怎样的数量关系
小旭同学在图1中作边BC上的高AE,根据中线的定义可知BD=CD.∵高AE相同,∴S△ABD=S△ACD,于是S△ABC=2S△ABD.
据此可得结论:三角形的一条中线平分该三角形的面积.
(1)【深入探究】
如图2,点D在△ABC的边BC上,点P在AD上.
①若AD是△ABC的中线,则S△APB∶S△APC=　 ;
②若BD=3DC,则S△APB∶S△APC=　 　;
1∶1　
3∶1
(2)【拓展延伸】
如图3,分别延长四边形ABCD的各边,使得点A、B、C、D分别为DH、AE、BF、CG的中点,依次连结E、F、G、H得四边形EFGH.
①直接写出S△HDG、S△FBE与S四边形ABCD之间的等量关系为　 ;
②若S四边形ABCD=6,求S四边形EFGH的值.
解:(2)①连结AG、AC、CE,如答案图.
∵点A、B、C、D分别为DH、AE、BF、CG的中点,
∴AG、BC、CE、DA分别为△GHD、△CAE、△EFB、△ACG的中线,
∴S△GAH=S△GAD=S△GHD,
S△HDG+S△FBE=2S四边形ABCD　
S△CBA=S△CBE=S△CAE,S△ECF=S△ECB=S△EFB,S△ADC=S△ADG=S△ACG,
∴S△ADC=S△ADG=S△GHD,S△CBA=S△CBE=S△EFB.
∵S四边形ABCD=S△ADC+S△CBA=(S△GHD+S△EFB),
∴S△HDG+S△FBE=2S四边形ABCD.
②由①可得S△HDG+S△FBE=2S四边形ABCD.
同理可得S△HEA+S△FGC=2S四边形ABCD,
∴S四边形EFGH=S△HDG+S△FBE+S△HEA+S△FGC+S四边形ABCD,
即S四边形EFGH=5S四边形ABCD.
∵S四边形ABCD=6,∴S四边形EFGH=5×6=30.(共13张PPT)
第1课时　多边形的内角和
1.(2025·河南)过n边形的一个顶点可以画出7条对角线,过它的一个顶点可以分成m个小三角形,则m+n的值是(　　)
A.15 B.16 C.17 D.18
2.已知一个正多边形的内角和为1 800°,则这个多边形是(　　)
A.正六边形 B.正十二边形
C.正八边形 D.正十边形
3.两个正方形和一个正六边形按如图所示方式放置在同一平面内,则α的度数为(　　)
A.60° B.50°
C.40° D.30°
D
B
A
4.(1)从十边形的一个顶点出发可以画出　　条对角线,这些对角线将十边形分割成　　个三角形;
(2)已知一个n边形的内角和是900°,则n=　　.
5.(1)如图,在四边形纸片中,∠D=50°,若沿图中虚线剪去∠D,则∠1+∠2=　 　°;
(2)如图,直线l与正六边形ABCDEF的边AB、EF分别相交于点M、N,则α+β=　 　.
7
8
7
230
120°
6.观察下面图形,并回答问题:
(1)由图1 可知,四边形有　 　条对角线,五边形有　 　条对角线,六边形有　 　条对角线;
(2)如图2,n边形从一个顶点可以引　 条对角线,从n个顶点出发有　 条对角线,但是每条对角线所在两个顶点算了两次,所以n边形
对角线的总条数是 条;
(3)十五边形的对角线有　 　条;
(4)　 　边形的边数与对角线的条数相等.
2
5
9
(n-3)　
n(n-3)　
n(n-3)　
90
五
7. 如图,五边形ABCDE是正五边形,过点A作PQ∥CD,则∠PAB的度数为(　　)
A.26° B.36°
C.54° D.72°
8.(2025·河北)数学活动课上,小明一笔画成了如图所示的图形,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为(　　)
A.360° B.540°
C.720° D.无法计算
B
B
9.如图,在正六边形ABCDEF中,AH∥FG,BI⊥AH,垂足为I.若∠EFG=20°,则∠ABI的度数为　 　.
50°
10.小贝在进行多边形内角和的计算时,求得一多边形的内角和为1 500°,当她发现错了之后,重新检查,发现少加一个内角,你知道她少加的这个内角是多少度吗 她求的这个多边形是几边形
解:设少加的内角的度数为x,多边形的边数为n.
由题意,得(n-2)×180°=1 500°+x.
变形,得n-2==8+.
∵n为正整数,且0∴x=120°,n=11.
答:她少加的这个内角是120°,这个多边形是十一边形.
11.如图,将四边形纸片ABCD沿MN折叠,使点A落在四边形CDMN外点A'的位置,点B落在四边形CDMN内点B'的位置.若∠D=90°,∠2-∠1=36°,则∠C等于(　 　)
A.36° B.54° C.60° D.72°
12.(1)一个多边形过顶点剪去一个角后,所得多边形的内角和为720°,则原多边形的边数是　 　;
(2)如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,那么这个多边形的内角和是　 .
D
6或7
540°或360°或180°　
13.在△ABC中,∠C=60°,点D、E分别是边AC、BC上的点,点P是一动点,令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
【问题初探】
(1)如图1,若点P在线段AB上,且∠α=60°,则∠1+∠2=　 　°;
(2)如图2,若点P在线段AB上运动,则∠1、∠2、∠α之间的数量关系为　 ;
120
∠1+∠2=60°+∠α　
【问题再探】
(3)如图3,若点P在线段AB的延长线上运动,求∠1、∠2、∠α之间的数量关系;
解:(3)记DP与BC交于点F.
∵∠EFP+∠2+∠α=180°,
∴∠EFP=∠BFD=180°-∠2-∠α.
∵∠A+∠ABC+∠1+∠BFD=360°,
∴∠A+∠ABC+∠1+180°-∠2-∠α=360°,
∴∠1-∠2-∠α=180°-∠A-∠ABC=∠C=60°,
∴∠1-∠2=60°+∠α.
(4)如图4,若点P在△ABC的内部,求∠1、∠2、∠α之间的数量关系;
(4)∵∠A+∠B+∠C=180°,∠C=60°,
∴∠A+∠B=180°-60°=120°.
∵五边形ABEPD的内角和为(5-2)×180°=540°,
∴∠A+∠B+∠1+∠2+∠α=540°,
∴∠1+∠2=540°-120°-∠α,
即∠1+∠2=420°-∠α.
【问题解决】
(5)若点P运动到△ABC的外部,且满足与点A分别居于直线BC的两侧时,请直接写出此时∠1、∠2、∠α之间的数量关系.
(5)由题意可知点P的位置可能有三种情况:
①当点P在射线AC下方时,分两种情况讨论:
Ⅰ.当点E在DP上方时,如答案图1.记DP交BC于点F.
同(3)可知∠1-∠2=60°+∠α;
Ⅱ.当点E在DP下方时,如答案图2.记DP交BC于点F.
∴∠1+∠A+∠B+∠DFB
=∠1+∠A+∠B+180°-(∠2-∠α)=360°,
∴∠1-∠2=60°-∠α;
②当点P在线段AC的延长线上时,如答案图3.
∠PDA=∠1=180°,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
∵∠PCE+∠PEC+∠P=180°,
∴(180°-60°)+(180°-∠2)+∠α=180°,
∴300°-∠2+∠α=∠1,
∴∠1+∠2=300°+∠α;
③当点P在射线AC上方时,如答案图4.
易知∠PDC+∠PEC+∠P=∠C,
即180°-∠1+180°-∠2+∠α=60°,
∴∠1+∠2=300°+∠α.
综上,∠1、∠2、∠α之间的数量关系为∠1-∠2=60°+∠α或∠1-∠2=60°-∠α或∠1+∠2=300°+∠α.(共13张PPT)
8.3　用正多边形铺设地面
1.(2026·重庆万州区)生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案,下列图形中不能与正三角形铺满整个地面的是 (　 )
A.正方形 B.正五边形
C.正六边形 D.正十二边形
2.某广场准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖铺满地面,在每个顶点的周围,正方形和正三角形地砖的块数分别是(　　)
A.1、2 B.2、1 C.2、2 D.2、3
B
D
3.如图,已知AB、BC、CD是正n边形的三条边,在同一平面内,以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若∠ABN=120°,则n的值为(　　)
A.12 B.10 C.8 D.6
A
4.外角等于45°的正多边形能铺满地面吗 　 　(填“能”或“不能”).
5.如图所示是用三个完全相同的正多边形铺设地面的图形的一部分,这种正多边形是　 .
不能
正六边形　
6.现有一批边长相等的正多边形瓷砖用来铺设地面(如图所示).
(1)能用相同的正多边形铺满地面的有　 　;
(2)从中任取两种来组合,能铺满地面的正多边形组合是_______________
______________________;
(3)从中任取三种来组合,能铺满地面的正多边形组合是_______________
_____________;
(4)你能说出其中的数学道理吗
①②③
①和②,①和③,
①和⑤,②和④　
①②③,②③⑤,
①②⑤　
解:(4)铺满地面的正多边形的边长都相等,且这些正多边形满足在同一顶点交接处各角之和恰好是360°.
7.(2025·浙江)某校校园里的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按如图方式铺设.若这条小路共用了50块正六边形地砖,则正方形地砖的数量为(　　)
A.300块 B.301块 C.250块 D.251块
D
8.在下列四组多边形的地板砖中:
①正三角形与正方形;②正三角形与正十边形;③正方形与正六边形;④正方形与正八边形.
将每组中的两种多边形组合,能密铺地面的是(　　)
A.①②③ B.①②④ C.③④ D.①④
9.如图是正在铺设的人行道上地板砖的一部分,是由正六边形和四边形镶嵌而成的图形,则图中的四边形ABCD中的锐角∠BAD的度数是　 　度.
D
60
10.已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点铺满地面,正多边形A的一个内角的度数是正多边形B的一个内角的.
(1)试分别确定正多边形A、B是什么正多边形;
(2)画出这5个正多边形铺满地面的图形.(只画一种即可)
解:(1)设正多边形B的一个内角的度数为x°,则正多边形A的一个内角的度数为°.
∵2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点铺满地面,
∴2×x+3x=360,解得x=60,则x=90.
∴正多边形A是正方形,正多边形B是正三角形.
(2)(答案不唯一)如答案图所示:
11.若干个完全一样的正五边形排成环状,图中所示的是前3个正五边形,要完成这一圆环还需正五边形(　　)
A.6个 B.7个 C.8个 D.9个
解析:五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,
∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°.
如答案图,延长正五边形的两边相交于点O.
∴∠1=180°-(180°-108°)×2=36°,360°÷36°=10.
∴10-3=7,即完成这一圆环还需7个正五边形.
B
12.如图是某广场用地板铺设的部分图案,中央是一块正六边形的地板砖,周围是正三角形和正方形的地板砖.每层均有6个正方形,且从里向外的第1层有6个正三角形,第2层有18个正三角形,以此类推,第8层中含有正三角形的个数是　 　.
90
13.我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案,某研究性学习小组研究平面密铺的问题,其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺情形时,用了以下的方法:
如果用x个正三角形,y个正六边形进行平面密铺,可得60°x+120°y=360°,化简得x+2y=6.因为x、y都是正整数,所以只有x=2,y=2或x=4,y=1时上式成立,即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重复的平面图形.如图1.
(1)请你仿照上面的方法研究边长相等的x个正三角形和y个正方形平面密铺的情形,并按图2中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后的图形的示意图(只要画出一种即可);
解:(1)用x个正三角形,y个正方形进行平面密铺,
可得60°x+90°y=360°,即2x+3y=12.
因为x、y都是正整数,
所以只有x=3,y=2时,上式才成立.
即用3个正三角形和2个正方形可以进行平面密铺.拼法如答案图所示:
(2)如果用形状、大小相同的如图3所示的方格纸中的三角形,能进行平面密铺吗 若能,请在方格中画出密铺的设计图.
(2)可以进行平面密铺.因为三角形的内角和是180°,而360°是180°的倍数,可用六个图示三角形进行平面密铺,拼法如图3所示.(共13张PPT)
第1课时　三角形的内角和
1.(2025·广东)一个缺角的三角形ABC残片如图所示,量得∠A=65°,∠B=70°,则这个三角形残缺前的∠C的度数为(　　)
A.55° B.50° C.45° D.40°
2.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=5∶3∶2,则△ABC是(　 　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.任意三角形
C
B
3.如图,在△ABC中,∠BCA=40°,∠ABC=60°.若BF是△ABC的高,与角平分线AE相交于点O,则∠EOF的度数为(　 　)
A.130° B.70° C.110° D.100°
4.(1)在△ABC中,∠A=80°,∠B=52°,则∠C=　 　;
(2)一个三角形的三个内角之比为1∶2∶3,这个三角形最小的内角的度数是　 　.
A
48°
30°
5.(1)如图,在△ABC中,∠B、∠C的平分线交于点O.若∠BOC=132°,则∠A=　 　;
(2)如图,在△ABC中,∠BCD=30°,∠ACB=80°,CD是边AB上的高,AE是∠CAB的平分线,则∠AEB的度数是　 　.
84°
100°
6.如图,AD是△ABC的边BC上的高,BE平分∠ABC交AD于点E.若∠C=65°,∠BED=68°,求∠ABC和∠BAC的度数.
解:∵AD是BC边上的高,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∴∠BED+∠EBD=90°.
∵∠BED=68°,∴∠EBD=22°.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠EBD=44°.
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°,∠C=65°,
∴∠BAC=180°-65°-44°=71°.
7.如图,点D为△ABC的角平分线AE延长线上的一点,过点D作DF⊥BC于点F.若∠B=80°,∠C=50°,则∠D的度数是(　　)
A.10° B.13° C.15° D.17°
8.(2026·重庆巴蜀)如图,在三角形纸片ABC中,∠A=65°,
∠B=70°,将∠C沿DE对折,使点C落在△ABC外的点C'处.若∠1=20°,则∠2的度数为(　　)
A.80° B.90° C.100° D.110°
C
D
9.(2025·陕西)如图,在△ABC中,点O是△ABC内部∠ABC的平分线上一点,连结OC,点P是∠BOC、∠OCB平分线的交点,若∠P=100°,则∠ABC的度数为　 　°.
40
10.在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,∠B<∠C.
(1)如图1,AE是△ABC的边BC上的高,∠B=36°,∠C=70°,求∠DAE的度数;
解:(1)∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAC.
∵AE⊥BC,∴∠CAE=90°-∠C,
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=∠BAC-(90°-∠C)
=(180°-∠B-∠C)-(90°-∠C)=(∠C-∠B).
∵∠B=36°,∠C=70°,∴∠DAE=×(70°-36°)=17°.
(2)如图2,点E在AD上,EF⊥BC于点F,试说明:∠DEF=(∠C-∠B).
(2)如答案图,过点A作AG⊥BC于点G.
∵EF⊥BC,∴AG∥EF,
∴∠DAG=∠DEF.
由(1)可得,∠DAG=(∠C-∠B),
∴∠DEF=(∠C-∠B).
11.如图,在△ABC中,BE、CF分别是∠ABC、∠ACB的平分线,BE与CF交于点O,连结AO并延长交BC于点D.若∠AOE=60°,则∠ACB的度数是(　　)
A.55° B.70° C.60° D.65°
C
12.(2025·上海)在△ABC中,若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍(n为大于1的正整数),则称△ABC为n倍角三角形.例如,在△ABC中,∠A=80°,∠B=60°,∠C=40°,可知∠A=2∠C,所以△ABC为2倍角三角形.如图,直线MN⊥直线PQ于点O,点A、B分别在射线OP、OM上,点G在射线BA上.已知∠BAO、∠OAG的平分线分别与∠BOQ的平分线所在的直线交于点E、F,若△AEF为4倍角三角形,则∠ABO=　 .
45°或36°　
13.如图,在△ABC和△DEF中,∠A=40°,∠E+∠F=70°.将△DEF放置在△ABC上,使得∠D的两条边DE、DF分别经过点B、C.
(1)当将△DEF按图1放置在△ABC上时,∠ABD+∠ACD=　 　°;
(2)当将△DEF按图2放置在△ABC上时:
①请求出∠ABD+∠ACD的大小;
解:(2)①在△ABC中,∠A=40°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°.
在△DEF中,∠E+∠F=70°,
∴∠D=180°-70°=110°.
∴∠DBC+∠DCB=180°-110°=70°.
∴∠ABD+∠ACD=(∠ABC-∠DBC)+(∠ACB-∠DCB)=70°.
210
②能否将△DEF摆放到某个位置,使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB 若能,直接写出∠D与∠A的关系;若不能,请说明理由.
②能,∠D=90°+∠A.理由如下:
当BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB时,
∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A).
∵∠DBC+∠DCB=180°-∠D,
∴∠D=90°+∠A.(共13张PPT)
8.1.3　三角形的三边关系
1.(2025·湖南)下列数据是三根小棒的长度,用它们能组成三角形的是(　 　)
A.5 cm,5 cm,12 cm B.12 cm,13 cm,25 cm
C.9 cm,15 cm,6 cm D.2 cm,3 cm,4 cm
2.空调安装在墙上时,一般用如图的方法固定,该方法应用的几何原理是(　　)
A.两点确定一条直线
B.两点之间线段最短
C.三角形的稳定性
D.垂线段最短
D
C
3.五条线段的长度分别为1 cm,5 cm,6 cm,8 cm,13 cm,以其中任意三条线段为边,可以构成三角形的个数为(　 　)
A.4 B.3 C.2 D.1
4.下列是利用了三角形的稳定性的有　　个.
①自行车的三角形车架;
②校门口的自动伸缩栅栏门;
③照相机的三脚架;
④长方形门框的斜拉条.
5.(1)等腰三角形的两边长分别为6和2,则第三边长为　　;
(2)已知△ABC的两边长分别为4与5,第三边的长为奇数,则第三边的长的最大值为　　.
C
3
6
7
6.已知△ABC的三边长分别为a、b、c.
(1)若a、b、c满足(a-b)2+(b-c)2=0,试判断△ABC的形状;
(2)若a=5,b=2,且c为整数,求△ABC的周长的最大值及最小值.
解:(1)∵(a-b)2+(b-c)2=0,∴a-b=0,b-c=0,
∴a=b=c,∴△ABC是等边三角形.
(2)∵a=5,b=2,∴5-2∵c为整数,∴c=4,5,6,
∴当c=4时,△ABC的周长最小,为5+2+4=11;
当c=6时,△ABC的周长最大,为5+2+6=13.
7.如图,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E、F、G、H分别是四条边上的中点,为了使它稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在(　　)
A.A、C两点之间
B.E、G两点之间
C.B、F两点之间
D.G、H两点之间
B
8.(1)若a、b、c为△ABC的三边长,且b、c满足(b-2)2+∣c-3∣=0,则a的取值范围是　 　;
(2)(2026·重庆万州区)已知a、b、c是△ABC的三条边长,化简:+2+=　 .
9.已知关于x的不等式组至少有三个整数解,且存在以3,a,5为边的三角形,则满足条件的整数a有　 　个.
12a+2c　
4
10.若三边均不相等的三角形三边a、b、c满足a-b>b-c(a为最长边,c为最短边),则称它为“不均衡三角形”.例如,一个三角形的三边分别为7,5,4,∵7-5>5-4,∴这个三角形为“不均衡三角形”.
(1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的有　　(填序号);
①4 cm,2 cm,1 cm;②13 cm,18 cm,9 cm;③19 cm,20 cm,19 cm;④9 cm,8 cm,6 cm.
②
(2)已知“不均衡三角形”的三边分别为2x+2、16、2x-6(x为整数),求x的值.
解:(2)易知2x+2>2x-6.
①当2x+2>16>2x-6,即7∵“不均衡三角形”的三边分别为2x+2、16、2x-6,
∴解得x>9,∴9∵x为整数,∴x=10;
②当16>2x+2>2x-6,即x<7时.
∵“不均衡三角形”的三边分别为2x+2、16、2x-6,
∴∴
∴此不等式组无解,∴此种情况不存在;
③当2x+2>2x-6>16,即x>11时.
同理可得解得x<15,
∴11∵x为整数,∴x的值为12,13或14.
综上所述,x的值为10,12,13或14.
11.如图所示的六边形钢架,由6条钢管铰结而成.为了使这样的钢架稳固,想用三条钢管适当连结,使之不能改变形状.下面是四位同学的不同设计方案,你认为其中可行的有(　　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
A
12.(1)一个三角形的两边长分别是2 cm和9 cm,若它的周长恰好是5的倍数,则这个三角形的周长为　 　cm;
(2)已知三角形的三边长分别为2、x-1、3,则三角形周长y的取值范围是　 ;
(3)已知n为整数,若一个三角形的三边长分别是4n+31、n-13、6n,则所有满足条件的n的值之和为　 　.
解析:易知4n+31>n-13,6n>n-13.根据三角形三边之间的关系,当4n+31最大时,可得解得20
648
13.有长度分别为3 cm与4 cm的木棒若干,现利用两种型号的木棒拼成等腰三角形.(两种型号的木棒均要使用,且每边只能用一种型号的木棒,两腰用同种型号的木棒)
(1)若用两根4 cm的木棒作为等腰三角形的底边长,要拼出周长为38 cm的等腰三角形,则用3 cm的木棒拼成腰,共需要多少根
解:(1)∵腰长==15(cm),
∴共需要15÷3×2=10(根).
(2)若要拼出周长为72 cm的等腰三角形,则两种型号的木棒各需要多少根
(2)设3 cm的一边需要x根,4 cm的一边需要y根.
①以3 cm的木棒为腰,4 cm的木棒为底且满足两边之和大于第三边,
则6x+4y=72,且6x>4y.
∵x、y为正整数,
∴x=8,y=6或x=10,y=3.
∴需要3 cm的木棒16根,4 cm的木棒6根或需要3 cm的木棒20根,4 cm的木棒3根.
②以4 cm的木棒为腰,3 cm的木棒为底且满足两边之和大于第三边,
则3x+8y=72,且3x<8y.
∵x、y为正整数,∴x=8,y=6.
∴需要3 cm的木棒8根,4 cm的木棒12根.
综上,以3 cm的木棒为腰,4 cm的木棒为底时,需要3 cm的木棒16根,4 cm的木棒6根或需要3 cm的木棒20根,4 cm的木棒3根;以4 cm的木棒为腰,3 cm的木棒为底时,需要3 cm的木棒8根,4 cm的木棒12根.(共15张PPT)
第2课时　三角形的外角及外角和
1.(2026·重庆两江新区)如图是手机支架的侧面示意图,若调整支撑杆的角度,使得∠ACB=50°,∠DAC=115°,则直线DE与BC所夹锐角的大小为(　　)
A.50° B.55°
C.65° D.无法确定
C
2.一副三角板按如图所示叠放在一起,则图中∠α的度数为(　　)
A.10° B.15° C.20° D.25°
3.如图,若∠A=27°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于(　　)
A.120° B.115° C.110° D.105°
B
C
4.(1)如图,点D、E分别在△ABC的边AB、AC上,且DE∥BC,点F在线段BC的延长线上.若∠ADE=28°,∠ACF=118°,则∠A的度数为　 　;
(2)如图,BP是∠ABC的平分线,CP是△ABC的外角∠ACM的平分线.若∠ABP=15°,∠ACP=50°,则∠P的度数为　 　°.
90°
35
5.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,D、E分别是AC、BC边上的点,连结AE、BD,AE与BD相交于点F.若∠CBD=∠CAE,∠BAE=45°,请说明∠ADF=90°.对于上述问题,在以下解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式).
解:∵∠EFD是△BEF的外角(已知),
∴∠EFD=　 (三角形的一个外角
等于与它不相邻的两个内角的和).
同理可得∠EFD=　 +∠DAF.
又∵∠CBD=∠CAE(已知),
∴∠ADF=　 (等式的性质).
∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°(　 ),
∠ABC=45°,∠BAE=45°(已知),
∴∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=180°-45°-45°=90°,
∴∠ADF=90°(等量代换).
∠EBF+∠BEF　
∠ADF　
∠BEF　
三角形的内角和等于180°　
6.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC边上的点,连结DE并延长交BC的延长线于点F,∠B=65°,∠ACB=76°,∠AED=46°,求∠BDF的度数.
解:∵∠B=65°,∠ACB=76°,
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-65°-76°=39°.
∵∠BDF是△ADE的外角,∠AED=46°,
∴∠BDF=∠A+∠AED=39°+46°=85°.
7.【教材改编】如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D,则∠BDC=(　　)
A.(90°-∠A) B.90°-∠A
C.(180°-∠A) D.180°-∠A
C
8.如图,在△ABC中,将∠A沿DE翻折.若∠A=30°,∠BDA'=25°,
则∠CEA'的度数为(　　)
A.60° B.75° C.85° D.90°
C
9.如图,D、E分别是∠BAC的边AB、AC上的点,连结DE,将∠A沿DE折叠得到∠A',DA'交AC于点F,过点F作FG∥DE,交AB于点G.已知∠GFC=80°,∠A'-∠ADE=20°,那么∠A=　　°.
50
10.(2025·江苏)如图,∠AOB=90°,点C、D分别在射线OA、OB上,CE是∠ACD的平分线,CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F.
(1)【初步探究】若∠OCD=40°,求∠F的度数;
解:(1)∵∠AOB=90°,∠OCD=40°,
∴∠CDO=50°.
∵CE是∠ACD的平分线,
DF是∠CDO的平分线,
∴∠ECD=70°,∠CDF=25°.
∵∠ECD=∠F+∠CDF,
∴∠F=45°.
(2)【得出结论】当点C、D在射线OA、OB上任意移动时(不与点O重合),∠F的大小是否变化 若不变化,直接写出∠F的大小;若变化,请说明理由.
(2)∠F的大小不变,∠F=45°.
∵∠AOB=90°,
∴∠CDO=90°-∠OCD,∠ACD=180°-∠OCD.
∵CE是∠ACD的平分线,DF是∠CDO的平分线,
∴∠ECD=90°-∠OCD,∠CDF=45°-∠OCD.
∵∠ECD=∠F+∠CDF,
∴∠F=∠ECD-∠CDF=45°.
11.如图,△ABC的两条角平分线CF、AE相交于点D,且∠BAC=90°,过点A作AM⊥AE交CF的延长线于点M.则下列结论中不正确的是(　　)
A.若∠B=60°,则∠BFD=∠AEC
B.AF=AD
C.2∠ADC-∠B=180°
D.∠M=∠B
B
12.(1)(2026·重庆一中)如图,在△ABC中,∠A=70°,
∠ACB的平分线CE与∠ABC的平分线交于点D,与△ABC的外角∠ABF的平分线交于点E,则∠BDC+∠E=　 　°;
(2)如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF,以下结论:①AD∥BC;②∠ACB=∠ADB;③∠ADC+∠ABD=90°;④∠ADB=45°-∠CDB.其中正确的结论有　 　(填序号).
160
①③④
13.如图1,BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线,BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的平分线,BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的平分线,∠BAC=α.
(1)当α=40°时,∠BPC=　 　°,∠BQC=　 　°;
(2)当α=　 　°时,BM∥CN;
(3)如图2,当α=120°时,BM、CN所在直线交于点O,求∠BOC的度数;
解:(3)∵α=120°,
∴∠MBC+∠NCB=(∠DBC+∠BCE)=(180°+α)=225°.
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-[360°-(∠MBC+∠NCB)]=180°-360°+225°=45°.
70
125
60
(4)如图2,在α>60°的条件下,试求出∠BPC、∠BQC与∠BOC之间的数量关系.
(4)由α>60°,易得∠BPC=90°-α,
∠BQC=135°-α,∠BOC=α-45°.
∴∠BPC、∠BQC与∠BOC之间的数量关系为
∠BPC+∠BQC+∠BOC
=++=180°.(共14张PPT)
第2课时　多边形的外角和
1.一个正多边形的每个外角度数都等于60°,则这个多边形的边数为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.8
2.若一个多边形的内角和与外角和之和是1 260°,则此多边形是(　　)
A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形
3.(2025·山西)若正多边形的一个外角为30°,则它的对角线条数为(　　)
A.9条 B.48条 C.54条 D.35条
C
B
C
4.(1)若正多边形的一个外角是45°,则该正多边形的边数是　 　;
(2)一个正多边形,它的一个内角等于一个外角的2倍,那么这个正多边形的边数是　 　;
(3)已知一个正多边形的内角和为1 440°,则它的一个外角的度数为　 　.
5.如图,∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角.若∠A=130°,则∠1+∠2+∠3+∠4=　 　.
8
6
36°
310°
6.如图,在五边形ABCDE中,AB∥CD,∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角,求∠1+∠2+∠3的度数.
解:∵AB∥CD,
∴∠B+∠C=180°.
∴∠B和∠C的外角的和为180°.
根据多边形的外角和为360°,
得∠1+∠2+∠3=360°-180°=180°.
7.如图,是正n边形纸片的一部分,其中l、m是正n边形两条边的一部分.若l、m所在的直线相交形成的锐角为60°,则n的值是(　　)
A.5 B.6 C.8 D.10
8.如图,小明在操场试验:从点A出发沿直线前进20米到达点B,向左转30°后又沿直线前进20米到达点C,再向左转30°后沿直线前进20米到达点D,….照这样走下去,小明第一次回到出发点A时所走的路程为(　 　)
A.300米 B.240米 C.210米 D.180米
B
B
9.一个同学在计算多边形的内角和时,多算了一个外角,结果为2 550°,则这个多边形的边数为　 　.
10.(2026·重庆万州区)如图,在四边形ABCD中,BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC,若∠BAD=α,∠BCD=β.
(1)如图1,若BE与DF相交于点G,∠BGD=30°,请写出α、β所满足的等量关系式;
解:(1)易知∠MBC+∠NDC=∠BAD+∠BCD=α+β.
∵∠CBE=∠MBC,∠CDF=∠NDC,
∴∠CBE+∠CDF=(∠MBC+∠NDC)=(α+β).
∵∠BGD=30°,
∠BCD=∠BGD+∠CBE+∠CDF(飞镖模型),
∴β=30°+(α+β),∴β-α=60°.
16
(2)如图2,若α=β,判断BE、DF的位置关系,并说明理由.
(2)BE∥DF.理由如下:
如答案图,延长BC交DF于点G.
由(1)可知,∠CBE+∠CDF=(α+β).
∵α=β,∴∠CDF=β-∠CBE.
∵∠BCD=∠CDF+∠CGD=β,
∴∠CDF=β-∠CGD,
∴∠CGD=∠CBE,∴BE∥DF.
11.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°,则∠1+∠2等于(　　)
A.90° B.100° C.130° D.180°
12.如图,已知五边形ABCDE内部有一点F,连结AF、BF.若∠1+∠2=∠F,则∠E+∠C+∠D=　 　°.
B
360
13.【教材呈现】如图是华师版七年级下册数学教材第86页的部分内容.
现在我们讨论三角形的外角及外角和.
如图8.1.12,一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.
三角形的外角与内角有什么关系呢
在图8.1.13中,显然有∠CBD(外角)+∠ABC(相邻的内角)=180°.
那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢
依据三角形的内角和等于180°,我们有∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°.
由上面两个式子,可以推出
∠CBD=180°-∠ABC,
∠ACB+∠BAC=180°-∠ABC.
因而可以得到外角∠CBD与两个不相邻的内角之间的关系:
∠CBD=∠ACB+∠BAC.
由此可知,三角形的外角有两条性质:
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
(1)【感知】如图1,在四边形AEFC中,EB、FD分别是边AE、CF的延长线,我们把∠BEF、∠DFE称为四边形AEFC的外角.若∠A+∠C=260°,则∠BEF+∠DFE=　 　度;
解:(1)∵∠A+∠C+∠CFE+∠FEA=360°,∠A+∠C=260°,
∴∠CFE+∠FEA=360°-260°=100°.
∵∠CFE+∠DFE=180°,∠FEA+∠BEF=180°,
∴∠CFE+∠DFE+∠FEA+∠BEF=360°.
∴∠BEF+∠DFE=360°-(∠CFE+∠FEA)=260°.
故答案为260.
260
(2)【探究】如图2,在四边形AECF中,EB、FD分别是边AE、AF的延长线,我们把∠BEC、∠DFC称为四边形AECF的外角,试说明:
∠A+∠C=∠BEC+∠DFC;
(2)∵∠A+∠AEC+∠C+∠AFC=360°,
∴∠A+∠C=360°-(∠AEC+∠AFC).
∵∠AEC+∠BEC=180°,∠AFC+∠DFC=180°,
∴∠BEC+∠DFC=360°-(∠AEC+∠AFC).
∴∠A+∠C=∠BEC+∠DFC.
(3)【应用】如图3,在四边形AEFC中,FM、EM分别是四边形AEFC的外角∠DFE、∠BEF的平分线.若∠A+∠C=210°,则∠M的度数为　 　.
(3)∵∠A+∠C=210°,
∴∠BEF+∠DFE=210°.
∵FM、EM分别平分∠DFE、∠BEF,
∴∠MFE+∠MEF=(∠DFE+∠BEF)=105°.
∴∠M=180°-(∠MFE+∠MEF)=180°-105°=75°.
故答案为75°.
75°

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