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(共14张PPT)
9.2.1　图形的平移
1.(2025·北海)下列现象中,属于平移的是(　　)
A.滚动的足球 B.转动的电风扇叶片
C.正在上升的电梯 D.正在行驶的汽车后轮
2.【传统文化】传统建筑中的窗格设计精巧,样式繁多,体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵,下列窗格图案中可以看作由一个基本图案经过平移得到的是(　　)
C
A
3.如图所示,△ABC向右平移　　格,再向下平移　 格得到△A'B'C'.
4.如图所示,∠ABC经过平移得到∠ADE,其平移的方向是_____________
_____,平移的距离是　 的长度.
2
3　
沿射线BA的
方向
线段BD　
5.如图,将△ABC沿着直尺PQ平移得到△EFG,则点A的对应点是点　 　,线段AC的对应线段是　 　,线段BC的对应线段是　 　,∠ABC的对应角是　 ,　 的对应角是∠EGF.
E
EG
FG
∠EFG　
∠ACB　
6.在平面上,七个边长均为1的等边三角形,分别用①~⑦表示(如图),从④⑤⑥⑦组成的图形中,取出一个三角形,使剩下的图形(或部分图形)经过一次平移,与①②③组成的图形拼成一个正六边形.你取出的是哪个三角形 写出平移的方向和平移的距离.
解:当取出的是⑦时,将④⑤⑥整体向上平移1(如答案图1);当取出的是⑤时,将⑥⑦整体向上平移2(如答案图2).
7.如图,有四个形状和大小都相同的含45°角的三角板,选项中的图形不能由四个小三角板经过平移得到的是(　　)
C
8.如图,在10×6的网格中,每个小正方形的边长都是1个单位,将△ABC平移到△DEF的位置,下面正确的平移步骤是 (　　)
A.先向左平移5个单位,再向下平移2个单位
B.先向右平移5个单位,再向下平移2个单位
C.先向左平移5个单位,再向上平移2个单位
D.先向右平移5个单位,再向上平移2个单位
D
9.如图,将△ABC沿BC方向平移至△DEF处.若EC=2BE=2,则CF的长为　 .
1　
10.如图是由25个边长为1个单位的小正方形组成的5×5网格,△ABC的顶点都在小正方形的格点上,请按要求画图并解决问题.
(1)将△ABC向上平移2个单位,再向左平移1个单位得到△A'B'C',画出△A'B'C';
(2)画出AB边上的高CD;
(3)求△A'B'C'的面积;
(4)若S△ABP=S△ABC,点P为异于点C的格点,
则满足条件的点P的个数有　 　个.
解:(1)如答案图,△A'B'C'即为所求作.
2
(2)如答案图,CD即为所求作.
(3)S△A'B'C'=3×3-×2×1-×3×1-×2×3=3.5.
11.如图,面积为12 cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置,平移的距离是边BC长的两倍,则图中的四边形ACED的面积为(　　)
A.24 cm2 B.36 cm2
C.48 cm2 D.无法确定
B
12.如图,在△ABC中,∠BAC=45°,∠ACB是锐角,将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF(平移后点A、B、C的对应点分别是点D、E、F),连结CD,在整个平移过程中,当∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系时,∠ACD=　 .
15°或30°或90°　
13.已知小正方形的边长为2 cm,大正方形的边长为4 cm,起始状态如图所示,大正方形固定不动,把小正方形以1 cm/s的速度向右沿直线平移,设平移的时间为t s,两个正方形重叠部分的面积为S cm2.
(1)当t=1.5 s时,求S的值;
解:(1)1.5 s时,小正方形向右移动1.5 cm,
S=2×1.5=3(cm2).
(2)当S=2 cm2时,求小正方形平移的时间t;
(2)当S=2时,重叠部分宽为2÷2=1(cm).
①如答案图1,小正方形平移距离为1 cm.
∴t==1(s).
②如答案图2,小正方形平移距离为4+1=5(cm).
∴t==5(s).
综上,t=1 s或5 s.
(3)当2≤t≤4时,求小正方形一条对角线扫过的面积.
(3)如答案图3所示,当2≤t≤4时,小正方形的一条对角线扫过的面积为图示中平行四边形ABCD的面积.
∴面积为2×2=4(cm2).(共15张PPT)
9.3.1　图形的旋转
1.下列现象不是旋转的是(　　)
A.传送带传送货物 B.飞速转动的电风扇
C.钟摆的摆动 D.自行车车轮的运动
2.如图,将△ABC绕点B顺时针旋转至△DBE.下列角中,是旋转角的是(　　)
A.∠ABD B.∠DBC
C.∠ABC D.∠ABE
A
A
3.下列选项中的图形经过平移、旋转或轴对称的变换后,不能得到如图所示的图形的是(　　)
4.如图,将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置,若∠AOB=40°,则∠AOD等于(　　)
A.45° B.40° C.35° D.30°
C
D
5.下列图形均可由“基本图案”通过变换得到.请解答:(只填序号)
(1)可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的是　 　;
(2)可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的是　 　;
(3)既可以通过平移变换,也可以通过旋转变换得到的是　 　.
①④
②⑤
③
6.如图,△AOC旋转到△BOD,其中∠AOC=120°,点A、O、D在同一直线上.
(1)指出旋转中心是哪一点;
(2)旋转了多少度
(3)指出对应角、对应线段及对应点.
解:(1)旋转中心是点O.
(2)由图易知,△AOC是绕点O逆时针旋转到△BOD,
∴∠COD为旋转角,
即∠COD=180°-∠AOC=180°-120°=60°.
(3)∠A与∠B,∠C与∠D,∠AOC与∠BOD分别是对应角;AC与BD,OA与OB,OC与OD分别是对应线段;点A与点B,点C与点D,点O与点O分别是对应点.
7.如图,在△ABC中,∠B=80°,∠C=65°,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'.当AB'落在AC上时,∠BAC'的度数为 (　　)
A.65° B.70° C.80° D.85°
B
8.如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE,点C的对应点E恰好落在AB的延长线上,连结AD.下列结论不正确的是 (　　)
A.AC⊥BD B.∠DBC=60°
C.∠BDE+∠E=60° D.AB=BD
A
9.(1)在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中,△ABC的顶点都在格点上,将△ABC绕点O顺时针旋转得到△A'B'C',使各顶点仍在格点上,则其旋转角的度数是　 ;
90°　
(2)分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示,将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合,则这个旋转角的最小度数是　 　度.
90
10.如图,M是DC的中点,如果正方形CDEF按顺时针旋转后能与正方形ABCD重合,那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点共有几个 并说明绕每个旋转中心顺时针旋转的角度.
解:图形所在的平面上可作为旋转中心的点共有三个,它们是点D、M、C;绕点D旋转的旋转角为90°,绕点M旋转的旋转角为180°,绕点C旋转的旋转角为270°.
11.如图所示,在正方形的网格图中,△MNP绕某点旋转一定角度得到△M1N1P1,则其旋转中心可能是(　　)
A.点A B.点B C.点C D.点D
B
12.(2026·重庆外语校)一副三角板按如图放置,将三角板ADE绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°),使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直,则α的度数为　 .
15°或60°　
13.如图1,一副直角三角板△ABC和△DEF,已知AB=AC,BC=DF,
∠F=30°,EF=2ED.
(1)直接写出∠B、∠C、∠E的度数;
解:(1)∠B=∠C=45°,∠E=60°.
(2)将△ABC和△DEF按如图2所示放置,点B、D、C、F在同一条直线上,点A在DE上.
①△ABC固定不动,将△DEF绕点D逆时针旋转至EF∥CB(如图3),求△DEF旋转的角度,并通过计算判断点A是否在EF上;
(2)①∵EF∥CB,∴∠FDC=∠F=30°,即旋转的角度为30°.
如图3,连结AD.由题意,知AD⊥BC.
则∠B=∠C=∠DAC=∠DAB=45°.
∴BD=AD=CD=BC.
如图3,在△DEF中,过点D作DH⊥EF,垂足为H.
∵S△DEF=ED·DF=EF·DH,EF=2ED,∴DH=DF.
∵BC=DF,∴AD=DH.又∵EF∥BC,∴点A与点H重合,即点A在EF上.
②从图3的位置开始,△DEF绕点D继续逆时针旋转至DE与BC第一次重合,在旋转的过程中,两个三角形的边是否存在平行关系 若存在,直接写出旋转的角度和平行关系;若不存在,请说明理由.
②当旋转角度为15°时,DE∥AC,AB∥DF;
当旋转角度为45°时,EF∥AB.(共13张PPT)
9.1.3　作轴对称图形
1.小芳画了一个正方形风筝图案,此图案以正方形的某条对角线所在直线为对称轴,则小芳画的图案可能是(　　)
C
2.下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形,其中正确的是 (　　)
B
3.(2026·重庆育才)小明在镜中看到身后墙上的时钟,实际时间最接近8时的是下图中的 (　　)
C
4.【跨学科融合】如图,两平面镜OA与OB之间的夹角为110°,光线经平面镜OA反射到平面镜OB上,再反射出去,其中∠1=∠2,则∠1的度数为　 　.(入射角等于反射角)
35°
5.如图,经过已知直线AB上一点C,作直线AB的垂线CC'.
解:①以　 　为圆心,以任意长为半径画弧,交AB于点D、E;
②分别以点D、E为圆心,以　 的长为半径在直线AB的同侧画弧,两弧交于点C';
③连结CC',直线CC'就是所求作的垂线.
点C
大于DE　
6.【教材改编】如图,已知△ABC.
(1)尺规作图:过点C作AB的垂线CD交AB于点D(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)所作的图中,若∠B=72°,求∠DCB的度数.
解:(1)如答案图,CD即为所求作.
(2)∵AB⊥CD,∴∠CDB=90°,
∴∠DCB=90°-∠B=90°-72°=18°.
7.尺规作图要求:Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线;Ⅱ.作线段的垂直平分线;Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线;Ⅳ.作角的平分线.如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图,则正确的配对是(　　)
A.①-Ⅳ,②-Ⅱ,③-Ⅰ,④-Ⅲ
B.①-Ⅳ,②-Ⅲ,③-Ⅱ,④-Ⅰ
C.①-Ⅱ,②-Ⅳ,③-Ⅲ,④-Ⅰ
D.①-Ⅳ,②-Ⅰ,③-Ⅱ,④-Ⅲ
D
8.如图所示的是由三个小正方形组成的图形.如果要在图中补画一个同样大小的小正方形,使得补画后的图形为轴对称图形,那么这样的补法有 (　　)
A.2种 B.3种
C.4种 D.5种
9.如图,在6×6的正方形网格中,选取13个格点,以其中的三个格点A、B、C为顶点画△ABC.若在图中以选取的格点为顶点再画出一个△ABP,使△ABP与△ABC成轴对称,这样的点P有　　个.
C
2
10.如图,在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点均为格点(网格线的交点).
(1)作出△ABC关于直线MN的轴对称图形△A1B1C1;
(2)求△A1B1C1的面积;
(3)在直线MN上找一点P使得△BAC的面积等于
△PAC的面积,在图上画出点P的位置.
解:(1)如答案图,△A1B1C1即为所求.
(2)△A1B1C1的面积=2×3-×1×3-×1×1-×2×2=2.
(3)如答案图,点P和点P'即为所求.
11.如图,在3×3的正方形网格中,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形,图中的△ABC为格点三角形,在图中最多能画出几个格点三角形与△ABC成轴对称(　　)
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
12.如图,∠MON内有一点P,点P关于OM的对称点是点G,点P关于ON的对称点是点H,连结GH分别交OM、ON于点A、B.若∠MON=40°,则∠GOH=　 　.
A
80°
13.(1)如图1,在△ABC中,∠A<90°,P是BC边上的一点,P1、P2是点P关于AB、AC的对称点,连结P1P2,分别交AB、AC于点D、E.请写出∠A与∠DPE的数量关系,并说明理由.若∠A=58°,求∠DPE的度数;
解:(1)∵点P、P1关于直线AB对称,
点P、P2关于直线AC对称,
∴PD=P1D,PE=P2E.
∴∠EDP=2∠DPP1,∠DEP=2∠EPP2.
∵∠DPP1+∠DPE+∠EPP2+∠A=360°-90°-90°=180°,①
2∠DPP1+∠DPE+2∠EPP2=180°,②
∴②-①,得∠DPP1+∠EPP2=∠A.③
将③代入①,得∠DPE+2∠A=180°.
∴∠DPE=180°-2∠A.
∵∠A=58°,∴∠DPE=64°.
(2)如图2,在△ABC中,若∠BAC=90°,用三角板作出点P关于AB、AC的对称点P1、P2(不写作法,保留作图痕迹),试判断点P1、P2与点A是否在同一条直线上,并说明理由.
(2)点P1、P2如答案图所示.点P1、A、P2在同一条直线上.理由如下:
连结AP、AP1、AP2.
根据轴对称的性质,
可得∠4=∠1,∠3=∠2.
∵∠BAC=90°,即∠1+∠2=90°.
∴∠3+∠4=90°.
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
即∠P1AP2=180°.
∴点P1、A、P2在同一条直线上.(共15张PPT)
9.5　图形的全等
1.下列各组中的两个图形属于全等图形的是 (　　)
C
2.如图,已知△ABC≌△DEC,∠A=60°,∠B=40°,则∠DCE的度数为 (　　)
A.40° B.60° C.80° D.100°
C
3.如图,已知△ABE≌△ACD,下列选项中不能被证明的等式是 (　　)
A.AD=AE B.DB=AE
C.∠BDF=∠CEF D.DB=EC
B
4.(1)【教材改编】如图,△ABC与△DBC关于直线BC成轴对称,则△ABC　 　△DBC,AB的对应边是　 　,∠ACB的对应角是　 ;
(2)如图,△ABC≌△CDE,若∠D=35°,∠ACB=45°,则∠DCE的度数为　 　;
≌
DB
∠DCB　
100°
(3)如图,四边形ABCD≌四边形A'B'C'D',若∠B=90°,∠C=60°,∠D'=105°,则∠A’=　 　.
105°
5.(1)如图,△ABC≌△BAD,若AB=6 cm,BD=5 cm,AD=4 cm,则BC=　　 cm;
(2)如图,△ACE≌△BDF,若AD=8,BC=3,则AB的长是　 　;
4
2.5
(3)如图,若△ABC≌△DEF,AC=4,AB=3,EF=5,则△ABC的周长为　　.
12
6.(2025·广东)如图,已知△ABC≌△DEB,点E在AB边上,DE与AC交于点F.
(1)若AE=9,BC=13,求线段DE的长;
解:(1)∵△ABC≌△DEB,
∴DE=AB,BE=BC=13.
∵AB=AE+BE=9+13=22,
∴DE=22.
(2)若∠A=37°,∠DBE=50°,求∠EFC的度数.
(2)∵△ABC≌△DEB,
∴∠D=∠A=37°.
∵∠AFD=∠A+∠AEF,∠AEF=∠D+∠DBE,
∴∠AFD=∠A+∠D+∠DBE=37°+37°+50°=124°,
∴∠EFC=∠AFD=124°.
7.【教材改编】如图,△ABC与△BAD关于直线m成轴对称,若∠ABD=120°,∠C=40°,则∠AEC的度数为(　　)
A.30° B.40° C.50° D.60°
8.如图,已知△ABC≌△AB'C',且AC'∥BC.若∠BAC=80°,∠C'=68°,则∠B'AC的度数为 (　　)
A.32° B.20° C.15° D.12°
B
D
9.(1)如图所示,已知△ABC≌△EDC,∠E=∠A=30°,∠D=50°,则∠BCE=　 　;
(2)如图,△ADE≌△BDE,且点C在BD的延长线上,若△ADC的周长为11,AC的长为4,则CB的长为　 　.
20°
7
10.如图所示,A、C、E三点在同一直线上,且△ABC≌△DAE.
(1)试说明:BC=DE+CE;
(2)当△ABC满足什么条件时,BC∥DE
解:(1)∵△ABC≌△DAE,∴AE=BC,AC=DE.
又∵AE=AC+CE,∴BC=DE+CE.
(2)∵BC∥DE,∴∠BCE=∠E.
又∵△ABC≌△DAE,
∴∠ACB=∠E,∴∠ACB=∠BCE.
又∵∠ACB+∠BCE=180°,∴∠ACB=90°,
即当△ABC满足∠ACB为直角时,BC∥DE.
11.如图,△ABC≌△AEF,则对于结论:①AC=AF;②∠FAB=∠EAB;③EF=BC;④∠EAB=∠FAC.其中正确的有 (　　)
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
C
12.三个全等三角形按如图的形式摆放,则∠1+∠2+∠3的度数等于　 .
180°　
13.如图,点A、B、C在同一条直线上,点E在BD上,且△ABD≌△EBC,
AB=2 cm,BC=3 cm.
(1)求DE的长;
解: (1)∵△ABD≌△EBC,
∴BD=BC=3 cm,BE=BA=2 cm.
∴DE=BD-BE=1 cm.
(2)判断AC与BD的位置关系,并说明理由;
(2)AC与BD垂直. 理由如下:
∵△ABD≌△EBC,∴∠ABD=∠EBC.
又∵点A、B、C在同一条直线上,
∴∠EBC=∠ABD=90°,即AC与BD垂直.
(3)判断直线AD与直线CE的位置关系,并说明理由.
(3)直线AD与直线CE垂直.理由如下:
如答案图,延长CE交AD于点F.
∵△ABD≌△EBC,∴∠D=∠C.
在Rt△ABD中,∠A+∠D=90°,
∴∠A+∠C= 90°.
∴∠AFC= 90°,即CE⊥AD.(共13张PPT)
9.1.2　轴对称的再认识
1.如图是以正方形的边长为直径,在正方形内画半圆得到的图形,则此图形的对称轴有(　　)
A.2条 B.4条 C.6条 D.8条
2.(2026·重庆一中)如图,△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称,BB'交MN于点O,则下列结论不一定正确的是(　　)
A.AC=A'C’ B.BO=B'O
C.AA'⊥MN D.AB∥B'C'
B
D
3.在“线段、锐角、三角形、等边三角形”这四个图形中,一定是轴对称图形的有　 　个,其中对称轴条数最多的是　 　,线段的对称轴是　 .
4.如图,△ABC与△ADC关于直线AC对称,连结BD与AC交于点E,若已知四边形ABCD的面积是125,AC=25,则BD的长为　 　.
3
等边三角形
它的垂直平分线及线段本身所在的直线　　　
10
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=50°,按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB、AC于点E、F;②分别以点E、F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG,交BC边于点D,则∠ADC的度数为　 　.
65°
6.如图,点P在线段AB上.
(1)利用直尺和圆规求作线段AP的中点M(不写作法,保留作图痕迹);
(2)已知点M是线段AP的中点,MP=6 cm,AP=BP,求线段AB的长.
解:(1)作图如答案图所示.
(2)∵点M是线段AP的中点,
∴AP=2MP=2×6=12(cm).
∵AP=BP,∴PB=8 cm,
∴AB=AP+PB=12+8=20(cm).
答:线段AB的长为20 cm.
7.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=50°,AD⊥BC,垂足为D,△ADB与△ADB'关于直线AD对称,点B的对称点是点B',则∠CAB'的度数是(　　)
A.10° B.20° C.30° D.40°
8.如图,依据尺规作图的痕迹,计算∠α=　 　.
A
58°
9.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,点D在AB上,点G在BC上,△BDG与△FDG关于直线DG对称,DF与BC交于点E.若DF∥AC,∠B=28°,则∠DGC的度数是　 　.
59°
10.如图,△ABC与△ADE关于直线MN对称,BC与DE的交点F在直线MN上.若ED=4 cm,FC=1 cm,∠BAC=76°,∠EAC=58°.
(1)求出BF的长度;
解:(1)∵△ABC与△ADE关于直线MN对称,
ED=4 cm,FC=1 cm,
∴BC=ED=4 cm,
∴BF=BC-FC=3 cm.
(2)求∠CAD的度数;
(3)连结EC,线段EC与直线MN有什么关系
(2)∵△ABC与△ADE关于直线MN对称,∠BAC=76°,∠EAC=58°,
∴∠EAD=∠BAC=76°,
∴∠CAD=∠EAD-∠EAC=76°-58°=18°.
(3)如答案图,直线MN垂直平分线段EC.
11.请你找一张如图1所示的长方形纸片,按以下过程进行动手操作:
步骤1:在CD上取一点P,将∠D向下翻折,使点D落在原长方形所在平面内的点D'处,这样将形成折痕PM,如图2;
步骤2:再将∠C向上翻折,使点C落在PD'所在直线上的点C'处,得到折痕PN,如图3.
设折角∠MPD'=α,∠NPC'=β,则∠MPN的度数为(　　)
A.85°
B.90°
C.95°
D.100°
B
12.如图,将一张长方形的纸对折,可得到一条折痕(如图中虚线).再连续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行.对折三次,可以得到7条折痕,那么对折四次,可以得到　　条折痕;对折n次,可以得到　 条折痕.
15
(2n-1)　
13.如图,△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,△A'B'C'和△A″B″C″关于直线EF对称.
(1)利用尺规作图作出直线EF;
解:(1)如答案图,连结B'B″,作线段B'B″的垂直平分线EF即为所求.
(2)直线MN与EF相交于点O,试探究∠BOB″与直线MN、EF所夹锐角α的数量关系.
(2)如答案图,连结BO、B'O、B″O.
∵△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,
∴∠BOM=∠B'OM.
又∵△A'B'C'和△A″B″C″关于直线EF对称,
∴∠B'OE=∠B″OE.
∴∠BOB″=∠BOM+∠B'OM+∠B'OE+∠B″OE
=2(∠B'OM+∠B'OE)=2α,
即∠BOB″=2α.(共14张PPT)
9.3.3　旋转对称图形
1.如图所示的四个交通标志图中,为旋转对称图形的是(　　)
2.如图是几种汽车轮毂的图案,图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是 (　　)
D
B
3.下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合,其中旋转角度最小的是 (　　)
C
4.下列图形:①线段;②角;③等腰直角三角形;
④等边三角形;⑤平行四边形;⑥梯形;⑦正方形;⑧圆,其中一定是旋转对称图形的有　 　(填序号).
①④⑤⑦⑧
5.(1)镇江是一座底蕴深厚、人文荟萃的历史文化古城,如图是镇江的一个古建筑的装饰物(里面是一个个小等边三角形),该图形绕旋转中心(点O)至少旋转　　度后可以和自身完全重合;
(2)如图所示的图案由三个叶片组成,绕点O旋转120°后可以和自身重合,若每个叶片的面积为4 cm2,∠AOB=120°,则图中阴影部分的面积为　 　cm2.
60
4
6.如图所示的网格图中有一个四边形和两个三角形.
(1)请你把图补充成旋转对称图形;
(2)将(1)中所作图形与原图形一起看成一个整体图形,请写出这个整体图形的对称轴的条数.这个整体图形至少旋转多少度才能与自身重合
解:(1)如图所示.
(2)这个整体图形的对称轴的条数为4.这个整体图形至少旋转90°后才能与自身重合.
7.将如图所示的图案绕其中心旋转n°时与原图案完全重合,那么n的最小值是(　　)
A.60 B.90 C.120 D.180
C
8.下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上,在“几何画板”软件中拖动一点后形成的,它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来,则旋转的角度是(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
C
9.如图,这个正六边形是由Rt△ABC绕点O经过多次旋转变换得到的,则∠ABC=　 　.
30°
10.如图所示的风车图案绕点O旋转90°或180°后都能与自身重合,四边形EFGH是正方形,且∠B=2∠BEF,求∠A和∠AHG的度数.
解:∵四边形EFGH是正方形,
∴∠EHG=90°,∠EFH=45°.
由三角形外角的性质,知∠EFH=∠B+∠BEF.
设∠BEF=x,则∠B=2x.
∴x+2x=45°.解得x=15°.
∴∠BEF=15°,∠B=30°.
根据旋转的特征,知∠A=∠B=30°,∠AHE=∠BEF=15°,
∴∠AHG=∠AHE+∠EHG=15°+90°=105°.
11.如图,正方形ABCD与正方形EFGH的边长相等,下列说法中正确的个数为 (　 　)
①这个图案绕点O旋转45°、90°、135°、180°、225°都能与自身重合;
②这个图案可以看成△ABC绕点O分别旋转45°、90°、135°、180°、225°得到的;
③这个图案可以看成是△BOC绕点O分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°得到的.
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
D
12.如图,两个完全相同的正五边形ABCDE、AFGHM的边DE、MH在同一直线上,且有一个公共顶点A,若正五边形ABCDE绕点A旋转x度与正五边形AFGHM重合,则x的最小值为　 　.
144
13.如图,点O在直线AB上,OC⊥AB,在△ODE中,∠ODE=90°,∠EOD=60°,先将△ODE一边OE与OC重合,然后绕点O顺时针旋转,当OE与OB重合时停止旋转.
(1)当OD在OA与OC之间,且∠COD=20°时,则∠AOE=　 　;
(2)试探索:在△ODE旋转的过程中,∠AOD与∠COE的差是否发生变化 若不变,请求出这个差值;若变化,请说明理由;
解:(2)在△ODE旋转的过程中,∠AOD与∠COE的差不发生变化.理由如下:
①如答案图1,当OD在OA与OC之间时,
∵∠AOD+∠COD=90°,
∠COD+∠COE=60°,
∴∠AOD-∠COE=90°-60°=30°.
130°
②如答案图2,当OD在OC与OB之间时,
∵∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+∠COD,
∠COE=∠DOE+∠COD=60°+∠COD,
∴∠AOD-∠COE=(90°+∠COD)-(60°+∠COD)=30°.
∴在△ODE旋转的过程中,∠AOD与∠COE的差不发生变化,差值为30°.
(3)在△ODE旋转的过程中,若∠AOE=7∠COD,试求∠AOE的大小.
(3)①如答案图1,当OD在OA与OC之间时,
∵∠AOE=7∠COD,∠AOC=90°,∠DOE=60°,
∴90°+60°-∠COD=7∠COD,
解得∠COD=18.75°.
∴∠AOE=7×18.75°=131.25°.
②如答案图2,当OD在OC与OB之间时,
∵∠AOE=7∠COD,∠AOC=90°,∠DOE=60°,
∴90°+60°+∠COD=7∠COD,
解得∠COD=25°.
∴∠AOE=7×25°=175°.
综上所述,∠AOE的大小为131.25°或175°.(共15张PPT)
9.2.2　平移的特征
1.下列每个网格中均有两个阴影三角形,其中一个三角形可以由另一个三角形通过平移变换得到的是(　　)
C
2.下列说法错误的是 (　　)
A.经过平移,对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等
B.经过平移,对应线段平行(或在同一条直线上)
C.平移中,图形上每个点移动的距离可以不同
D.平移不改变图形的形状和大小
C
3.(2025·陕西)如图,将直角三角形ABC沿AB方向平移2 cm得到△DEF,DF交BC于点H,CH=3 cm,EF=7 cm,则阴影部分的面积为(　　)
A.16 cm2 B.12 cm2
C.11 cm2 D.8 cm2
C
4.(1)如图,△A'B'C'是由△ABC沿射线AC方向平移得到的,已知∠A=60°,∠B=70°,则∠C’=　 　;
(2)如图,将△ABC沿直线AB向下平移得到△DEF,如果AB=5 cm,BD=3 cm,则BE的长是　 　cm.
50°
2
5.如图,已知长方形ABCD,AB=18 cm,AD=10 cm,在长方形内部有三个小长方形,则这三个小长方形的周长之和为　 　cm.
56
6.(2025·江苏)如图,在边长为1个单位长度的正方形网格中,△ABC经过平移后得到△A'B'C',图中标出了点B的对应点B'.根据下列条件,利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题:
(1)画出△A'B'C';
解:(1)如图,△A'B'C'即为所求作.
(2)连结AA'、CC',那么AA'与CC'的数量和位置关系是　 ,求出线段AC扫过的面积;
(3)在AB的右侧确定格点Q,使△ABQ的面积和△ABC的面积相等,这样的点Q有几个
(2)线段AC扫过的面积为2×10-2××1×4-2××1×6=10.
(3)如图,点Q在直线l上,满足条件的点Q有8个.
AA'=CC',AA'∥CC'　
7.如图,在△ABC中,AB=3,AC=5,BC=6,将△ABC沿BC方向平移3个单位长度,得到△DEF,则下列结论:①AB∥DE;②AD∥BC;③BF=9;④阴影部分的周长为14.其中正确结论的个数为(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.如图,在一块长为6 m、宽为4 m的长方形草地上,有一条弯曲的小路,小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线.则这块草地的绿地面积为　 　m2.
D
20
9.(1)如图,将△DEF沿FE方向平移3 cm得到△ABC,若△DEF的周长为24 cm,则四边形ABFD的周长为　 　 cm;
(2)如图,将△ABC沿射线AC方向平移m个单位得到△A1B1C1.若△ABC的周长为8,四边形ABB1C1的周长为10,则m的值为　　.
30
1
10.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC.
(1)如图1,将△ABD沿BC方向平移得到△A1B1D1,使得点D1与点C重合,A1B1交AC于点E.试说明:∠B1EC=2∠A1;
解:(1)∵△A1B1D1是由△ABD平移而来,
∴A1B1∥AB,∠A1=∠BAD,∴∠B1EC=∠BAC.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAD,
∴∠B1EC=2∠A1.
(2)如图2,将△ABD沿AC方向平移得到△A2B2D2,使得A2B2经过点D.试说明:A2D2平分∠DA2C.
(2)∵△A2B2D2是由△ABD平移而来,
∴A2B2∥AB,∠B2A2D2=∠BAD,∴∠B2A2C=∠BAC.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAD,
∴∠B2A2C=2∠B2A2D2,
∴A2D2平分∠DA2C.
11.如图,正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案,其中正方形的边长是80 cm,则图中阴影图形的周长是(　　)
A.440 cm 　　　 B.320 cm
C.280 cm 　　　 D.160 cm
A
12.(1)如图,已知△ABC的面积为16,BC=8.现将△ABC沿直线BC向右平移a个单位长度到△DEF的位置.当△ABC扫过的面积为32时,a的值为　 　;
(2)如图所示是一块从一个边长为20 cm的正方形材料中剪出的一部分,测得FG=9 cm,则这个剪出的图形的周长是　 　cm.
4
98
13.(1)探究与创新:
如图所示的长方形的长为m,宽为n,在图1中,将线段A1A2向右平移1个单位长度到B1B2,得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分).在图2中,将折线A1A2A3向右平移1个单位长度到B1B2B3,得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(即阴影部分).
请你分别写出图1、图2中除去阴影部分后剩余部分的面积S1、S2,则S1=　 　,S2=　 　;
mn-n
mn-n
(2)联想与探索:
如图3,在一块长为m、宽为n的长方形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度),请你猜想空白部分表示的草地面积是多少,并说明你的猜想是正确的.
解:猜想:草地的面积仍然是mn-n.理由如下:
将小路左侧的草地向右平移1个单位长度,在新得到的长方形中,其纵向宽仍然是n,其横向长变成了m-1,
所以草地的面积就是n(m-1)=mn-n.(共14张PPT)
9.1.4　设计轴对称图案
1.一张正方形纸片经过两次对折,并在如图所示的位置上剪去一个小正方形,打开后的图形是(　　)
D
2.如图所示,淇淇用一个正方形田字格设计了一个图案,其中部分小三角形已经涂上了灰色,她想再将图案中的①②③④中的一个小三角形涂灰,使得整个图案构成轴对称图形,则应该涂灰的小三角形是(　　)
A.① B.② C.③ D.④
D
3.如图,将一张圆形纸片(圆心为点O)沿直径MN对折后,按图1所示分成六等份折叠得到图2,将图2沿虚线BA剪开,再将△AOB展开得到如图3所示的一个六角星.若∠CDE=80°,则∠OBA的度数为(　 　)
A.135° B.140° C.130° D.120°
B
4.如图,在等边三角形网格中,每个小等边三角形的边长都相等,图中已经涂黑了3个三角形,从①、②、③号位置选择一个三角形涂黑,其中能与图中涂黑部分构成轴对称图形的三角形序号是　 　.
①
5.如图,把一张长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了能得到一个正方形,剪口与折痕所成的角α等于　 　.
45°
6.图1、图2、图3均是3×3的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.点A、B均在格点上,只用无刻度的直尺,分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD,使其是轴对称图形且点C、D均在格点上.
(1)在图1中,四边形ABCD的面积为2;
(2)在图2中,四边形ABCD的面积为3;
(3)在图3中,四边形ABCD的面积为4.
解:(1)如答案图1,四边形ABCD即为所求.(答案不唯一)
(2)如答案图2,四边形ABCD即为所求.(答案不唯一)
(3)如答案图3,四边形ABCD即为所求.(答案不唯一)
7.【传统文化】剪纸是我国传统的民间艺术.按照如图所示的方法,将一张正方形纸片按箭头所示的方向依次折叠后得到一个小正方形,再将正方形纸片剪去一个等腰直角三角形和半圆后展开,得到的图形为(　　)
D
8.在4×4的方格中有五个同样大小的正方形(阴影)如图摆放,移动标号为①的正方形到空白方格中,使其与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形,这样的移法有　　种.
3
9.如图,在小正三角形组成的网格中,已有6个小正三角形涂黑,还需涂黑n个小正三角形,使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴,则n的最小值为　　.
3
10.(1)如图是边长为1的小正方形组成的网格,观察①~④中阴影部分构成的图案,请写出这四个图案都具有的两个共同特征;
解:(1)都是轴对称图形;面积都为4.
(2)借助图⑤的网格,请设计一个新图案,使该图案同时具有你在解答(1)时所写出的两个共同特征.(注意:新图案与图①~④中的图案不能重合)
(2)如答案图所示.(答案不唯一)
11.如图,由4个小正方形组成的田字格中,△ABC的顶点都是小正方形的顶点.在田字格中画出与△ABC成轴对称的三角形,且顶点都是小正方形的顶点,则这样的三角形(不包含△ABC本身)共有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
12.如图为5×5的方格,其中有A、B、C三点,现有一点P在其他格点上,且点A、B、C、P组成轴对称图形,则共有　　个这样的点P.
解析:如答案图所示,共有4个这样的点.
4
13.某长方形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成,图1表示此人行道的地砖排列方式,其中正方形地砖为连续排列.
【观察思考】
当正方形地砖只有1块时,等腰直角三角形地砖有6块(如图2);当正方形地砖有2块时,等腰直角三角形地砖有8块(如图3);以此类推.
【规律总结】
(1)若人行道上每增加1块正方形地砖,则等腰直角三角形地砖增加　　块;
(2)若一条这样的人行道一共有n(n为正整数)块正方形地砖,则等腰直角三角形地砖的块数为　 　 (用含n的代数式表示);
2
2n+4
【问题解决】
(3)现有2 027块等腰直角三角形地砖,若按此规律再建一条人行道,要求等腰直角三角形地砖剩余最少,则需要正方形地砖多少块
解:令2n+4=2 027,解得n=1 011.5.
当n=1 011时,2n+4=2 026,
此时,剩下一块等腰直角三角形地砖.
答:需要正方形地砖1 011块.(共13张PPT)
9.4　中心对称
1.(2026·重庆巴蜀)以下图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是 (　　)
2.下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是 (　　)
A.等边三角形 B.正六边形
C.正方形 D.圆
D
A
3.如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,下列结论中不成立的是 (　　)
A.OB=OB'
B.∠ACB=∠A'B'C'
C.点A的对称点是点A'
D.BC∥B'C'
B
4.在如图所示的四个图形中,是中心对称图形的是　　,是轴对称图形的是　 　.(均填序号)
①
②③④
5.如图,△ABC与△DEF关于点O成中心对称,则AB=　 　,BC∥　 　,
AC=　 　.
DE
EF
DF
6.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,按要求作图并填空.
(1)将△ABC向下平移2个单位长度,得到△A1B1C1;
(2)作△ABC关于点C成中心对称的△A2B2C;
(3)四边形BB1C1C的面积为　　.
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求作.
(2)如图所示,△A2B2C即为所求作.
4
7.如图,由图案①到图案②再到图案③的变化过程中,不可能用到的图形变换是 (　　)
A.轴对称 B.旋转
C.中心对称 D.平移
D
8.在如图所示的中心对称图形中,对称中心是点 (　　)
A.O1 B.O2
C.O3 D.O4
9.(2025·上海)如图,直线a、b垂直相交于点O,曲线C是关于点O的中心对称图形,点A的对称点是点A',AB⊥直线a于点B,A'D⊥直线b于点D.若OB=10,OD=6,则阴影部分的面积之和是　　.
B
60
10.规定:在平面内,如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α(0°<α≤180°)后能与自身重合,那么就称这个图形是旋转对称图形,转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角.
例如:正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后能与自身重合(如图1),所以正方形是旋转对称图形,且有两个旋转角.
根据以上规定,回答问题:
(1)下列图形是旋转对称图形,但不是中心对称图形的是　　;
A.长方形 B.正五边形
C.正八边形 D.正六边形
B
(2)下列图形中,是旋转对称图形,且有一个旋转角是60°的有　 　(填序号);
①③⑤
(3)下列三种说法:①中心对称图形是旋转对称图形;②等腰三角形是旋转对称图形;③圆是旋转对称图形.其中说法正确的有　　个;
A.0 B.1 C.2 D.3
(4)如图2所示的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成,旋转角有45°、90°、135°、180°,将图形补充完整.
解:(4)所补图形如答案图所示.
C
11.现有如图1所示的四张牌,若只将其中一张牌旋转180°后得到图2,则旋转的牌是 (　　)
B
12.如图,在4×4的正方形网格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上,现要在这张网格纸的四个格点M、N、P、Q中找一点作为旋转中心,绕着这个中心进行旋转,旋转前后的两个三角形成中心对称,且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上,那么满足条件的旋转中心有点　 　.
N、P
13.图1、图2、图3是3×3的正方形网格,每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影,请在余下的6个空白小正方形中,按下列要求涂上阴影(请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中,均只需画出符合条件的一种情形):
(1)在图1中选取1个空白小正方形涂上阴影,使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形,但不是中心对称图形;
(2)在图2中选取1个空白小正方形涂上阴影,使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形,但不是轴对称图形;
(3)在图3中选取2个空白小正方形涂上阴影,使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形.
解:(1)如图所示.
(3)如图所示(答案不唯一).
(2)如图所示.(共16张PPT)
9.1.1　生活中的轴对称
1.(2025·重庆)下列图案中,是轴对称图形的是(　　)
B
2.下列轴对称图形中,对称轴最少的是 (　　)
A
3.如图,△ABC与△DEF关于直线l对称,且∠A=102°,∠F=25°,则∠E的度数为(　　)
A.35°
B.53°
C.63°
D.43°
B
4.(1)大写英文字母中有不少是轴对称图形,如“A”“O”.请再写出三个是轴对称图形的大写英文字母:　 　、　 　、　　;
(2)观察下列各组图案,其中成轴对称的有　 　(填序号).
H
K
X
(答案不唯一)
①②④
5.【传统文化】围棋起源于中国,古代称为“弈”.如图是两位同学的部分对弈图,轮到白方落子,观察棋盘,白方如果落子于点　 　的位置,则所得的对弈图是轴对称图形.(填写A、B、C、D中的一处即可,A、B、C、D位于棋盘的格点上)
A或C
6.如图所示的两个四边形关于直线l成轴对称,根据图形提供的数据,求x和y.
解:根据轴对称的性质,可知∠A=∠E=125°,
∠G=∠C,FG=BC=6.
∵四边形的内角和为(4-2)×180°=360°,
∴在四边形ABCD中,
∠C=360°-(105°+125°+65°)=65°.
∴x=65°,y=6.
7.(2026·重庆巴蜀)如图,弹性小球从点P出发,沿所示方向运动,每当小球碰到长方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1次碰到长方形的边时的点为Q,第2次碰到长方形的边时的点为M,…,则第200次碰到长方形的边时的点为图中的(　　)
A.点P B.点Q C.点M D.点N
C
8.如图,将一张正方形纸片按下列顺序折叠,然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形.将纸片展开,得到的图形是(　　)
C
9.如图,等边三角形ABC的边长为1 cm,D、E分别是边AB、AC上的点,将△ADE沿直线DE折叠,使点A落在点A' 处,且点A'在△ABC的外部,则阴影部分图形的周长为　　cm.
3
10.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,点D是BC上一点,将△ABD沿AD翻折后得到△AED,边AE交射线BC于点F.
(1)如图1,当AE⊥BC时,试说明:DE∥AC;
解:(1)∵∠BAC=90°,AE⊥BC,
∴∠CAF+∠BAF=90°,∠B+∠BAF=90°,
∴∠CAF=∠B,
由翻折可知,∠B=∠E,∴∠CAF=∠E,∴AC∥DE.
(2)若∠C=2∠B,∠BAD=x°(0①如图2,当DE⊥BC时,求x的值;
(2)①∵∠C=2∠B,∠C+∠B=90°,
∴∠C=60°,∠B=30°.
∵DE⊥BC,∠E=∠B=30°,∴∠BFE=60°.
∵∠BFE=∠B+∠BAF,∴∠BAF=30°,
由翻折可知,∠BAD=∠BAF=15°,即x=15.
②若∠DFE=∠FDE,求x的值.
②由题意,得∠DFE=∠FDE===75°,
∴∠BAF=∠DFE-∠B=75°-30°=45°,
∴∠BAD==22.5°,
∴x=22.5.
11.如图,点D为△ABC边AB上一点,点M、N为边AC、BC上的点,将△ADM、△BDN分别沿着DM、DN翻折,得到△A'DM和△B'DN.若MA'∥NB',设∠C=α,则∠MDN的度数为(　　)
A.180°-α B.180°-α
C.90°+α D.90°+α
解析:如图,过点D作DE∥MA',易知∠1+∠2=∠A+∠B=180°-α.由翻折,得∠MDA'+∠NDB'==,
∴∠MDN=∠1+∠2+∠MDA'+∠NDB'=180°-α,故选A.
A
12.如图,点P为∠BAC内的一点,点E、F分别是点P关于AB、AC的对称点.若EF=2 026 cm,则△QPK的周长是　 cm.
2 026　
13.阅读下面材料:
生活中我们会遇到各种各样的轴对称图形.比如长方形的门、五星红旗上的五角星等.这些图形的对称轴是否不止一条呢 答案自然是肯定的,比如长方形有两条对称轴,五角星有五条对称轴.
回答下列问题:
(1)分别举出有三条对称轴、四条对称轴、有无数条对称轴的图形;
解:(1)有三条对称轴的是正三角形、有四条对称轴的是正方形、有无数条对称轴的是圆.(答案不唯一)
(2)下图中的图形都是正多边形.
①通过观察或折纸找到对称轴,完成下表;
正n边形 3 4 5 6 8 … n
对称轴条数 …
(2)①表内应依次填写:3、4、5、6、8、n.
②你有什么发现 用自己的语言写出来.
②正n边形有n条对称轴,其对称轴是垂直平分各边的直线或内角平分线所在的直线.
3
4
5
6
8
n(共16张PPT)
9.3.2　旋转的特征
1.在方格纸中,将Rt△AOB绕点B顺时针旋转90°后得到Rt△A'O'B,则下列四个图形中符合上述要求的是(　　)
B
2.如图,将△ABC绕点B按顺时针方向旋转一定的角度得到△A'BC',此时点C在边A'B上.若AB=5,BC'=2,则A'C的长度是(　　)
A.3 B.2 C.5 D.7
A
3.如图,在12×6的网格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上,以某个格点为旋转中心,△ABC旋转180°后得到△A'B'C',则旋转中心是 (　　)
A.点P B.点C’ C.点Q D.点R
C
4.(2025·广东)如图,△ABP是由△ACE绕点A顺时针旋转60°得到的.若∠BAP=35°,AB=3,PB=2,则∠PAC=　 　°,EC=　 　.
25
2
5.(1)如图,将△AOB绕点O按逆时针旋转45°后得到△COD,若∠AOB=15°,则∠AOD的度数是　 　;
(2)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点B的对应点为D.若DE⊥AC,∠CAD=25°,则∠B的度数为　 　.
60°
65°
6.如图,K是正方形ABCD内一点,以AK为一边作正方形AKLM,使点K、L、M在AB的同旁,连结BK和DM,试用旋转的思想说明线段BK与DM的数量关系.
解:∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形,
∴AB=AD,AK=AM,
∠BAD=∠KAM=90°.
∴△ABK是由△ADM以点A为旋转中心,顺时针旋转90°而成.
∴BK=DM.
7.如图,△ADE由△ABC旋转得到,点B与点D是一对对应点,连结CD、CE.若∠BCD=∠ACE=80°,则∠CDE的度数为(　　)
A.100° B.120° C.130° D.140°
A
8.如图,在△ABC中,∠B=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,点A、B的对应点分别为D、E,延长BA交DE于点F,下列结论一定正确的是 (　　)
A.∠ACB=∠ACD B.AC∥DE
C.AB=EF D.BF⊥CE
D
9.如图,在直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,BC=5,将△ABC绕点A顺时针旋转,点B、C的对应点分别是点B'、C'.若点D为线段AB的中点,点E为线段B'C'上一动点,则在旋转过程中,线段ED的最小值为 .
　
10.如图,在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A、B、O均为格点(每个小正方形的顶点叫做格点).
(1)作点A关于点O的对称点A1;
(2)连结A1B,将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得A1B1,画出旋转后的线段A1B1;
(3)连结AB1,求出四边形ABA1B1的面积.
解:(1)如图所示,点A1即为所求.
(2)如图所示,线段A1B1即为所求.
(3)如图,连结BB1,过点A作AE⊥BB1于点E,过点A1作A1F⊥BB1于点F,
则=+=×8×2+×8×4=24.
11.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转角α,得到△ADE.若点E恰好在CB的延长线上,则∠BED等于(　　)
A. B.α C.α D.180°-α
D
12.一副三角板按图1的形式摆放,把含45°角的三角板固定,含30°角的三角板绕直角顶点逆时针旋转(如图2),设旋转的角度为α(0°<α<130°).在旋转过程中,当两块三角板有两边平行时,α的度数为　 .
30°或45°或120°　
13.将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起,AC与AE重合(如图1),∠ABC
=∠ADE=90°,∠BAC=30°,∠DAE=45°.固定三角板ADE不动,将三角板ABC绕点A顺时针旋转180°后停止,设△ABC旋转得△AB'C'.
(1)当边AE落在∠B'AC'内时(如图2),求∠DAC'-∠B'AE的度数;
解:(1)∵∠DAC'=∠DAE-∠C'AE=45°-∠C'AE,
∠B'AE=∠B'AC'-∠C'AE=30°-∠C'AE,
∴∠DAC'-∠B'AE=45°-∠C'AE-(30°-∠C'AE)=15°.
(2)设三角板ABC绕点A旋转的速度为每秒5°,旋转时间为t.若△AB'C'的一边与三角板ADE的某边平行(不包含重合情况),请写出所有符合条件的t的值.
(2)如答案图1,当B'C'∥DE时,∠BAB'=45°+30°=75°,
∴t==15(秒);
如答案图2,当B'C'∥AE时,∠BAB'=90°+30°=120°,
∴t==24(秒);
如答案图3,当AC'∥DE时,∠BAB’
=45°+30°+90°-30°=135°,
∴t==27(秒);
如答案图4,当AB'∥DE时,∠BAB'=90°+45°+30°=165°,
∴t==33(秒);
当B'C'∥AD时,同答案图4,∴t=33秒.
综上,所有符合条件的t的值为15秒或24秒或27秒或33秒.

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