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(共12张PPT)
6.1　二元一次方程组和它的解
1.(2025·山东)下列方程组中,属于二元一次方程组的是(　　)
A. B.
C. D.
2.已知关于x、y的二元一次方程组的解是则a+b的值是(　　)
A.1 B.2 C.-1 D.0
B
B
3.已知(a-1)x+=3是二元一次方程,则a的值为　 　.
4.(1)已知是方程3x+2y=10的一个解,则m的值是　 　;
(2)若是方程2x+3y=-1的一个解,则6a+9b+4的值是　 　.
5.【数学文化】“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中,该书的第八章名为“方程”.如: 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x、y的系数与相应的常数项,即可表示方程x+4y=23,则 表示的方程是　 .
-1
2
1
x+2y=32　
6.根据题意,列出方程组(不必求解).
(1)被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁,其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342 km,隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36 km.求隧道累计长度与桥梁累计长度;
解:设隧道累计长度为x km,桥梁累计长度为y km,
根据题意,得
(2)学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书.若男生每人整理30本,女生每人整理20本,共能整理680本;若男生每人整理50本,女生每人整理40本,共能整理1 240本.求男生、女生志愿者各有多少人
解:设男生志愿者有x人,女生志愿者有y人,
根据题意,得
7.(2025·浙江)洛书被世界公认为组合数学的鼻祖,它是中华民族对人类的伟大贡献之一.相传大禹治水时,洛阳西洛宁县洛河中浮出一只神龟,背上有图有字,这就是洛书(如图1).洛书用今天的数学符号翻译出来是一个三阶幻方(如图2),就是将9个数填入3×3的方格中,使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等.图3是不完整的幻方,△和○各表示一个数,则○-△的值为(　 　)
A.-3 B.-2 C.2 D.3
A
8.(2025·湖北)在初中数学项目式学习活动中,张老师为更好促进学生开展小组合作,将全班50名学生分成4人或6人学习小组,则分组方案有(　　)
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
9.(2026·重庆一中)已知是方程组的解,则(a+b)(a-b)的值是　　.
D
5
10.已知两个二元一次方程:①3x-y=0;②7x-2y=2.
(1)对于给出的x值,在下表中分别写出对应的y值;
x -2 -1 0 1 2 3 4
y①
y②
(2)请你写出方程组的解.
解:(2)由(1)问表格中x、y的值可知,方程组的解为
-6
-3
0
3
6
9
12
-8
-4.5
-1
2.5
6
9.5
13
11.已知关于x、y的二元一次方程组的解为那么关于m、n的二元一次方程组的解为(　　)
A. B.
C. D.
D
12.为庆祝中国改革开放47周年,某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动,现场参与者均为在校中学生,其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”,该活动项目主持人要求参与者从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取一个数字,先乘以10,再加上4.6,将此时的运算结果再乘以10,然后加上1 978,最后减去参与者的出生年份(注:出生年份是一个四位数,比如2010年对应的四位数是2 010),得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果,主持人立马就知道参与者的出生年份.若某位参与者报出的最终的运算结果是915,则这位参与者的出生年份是　 　.
解析:设这位参与者的出生年份是x,从九个数字中任取一个数字为a,根据题意,得(10a+4.6)×10+1 978-x=915,整理,得100a+46+1 978-x=915,
∴x=100a+1 109.∵a是1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中的一个数字,∴x的值可能为1 209,1 309,1 409,1 509,1 609,1 709,1 809,1 909,2 009.∵是为庆祝中国改革开放47周年,且参与者均为在校中学生,∴x只能是2 009,故答案为:2009.
2009
13.某电视台在黄金时段的2 min广告时间内,计划插播长度为15 s和30 s的两种广告.15 s广告每播1次收费0.6万元,30 s广告每播1次收费1万元.若要求每种广告播放不少于2次,求:
(1)两种广告的播放次数有几种安排方式;
解:(1)设播15 s的广告x次,播30 s的广告y次.
根据题意,得15x+30y=2×60,即x+2y=8.
又∵x≥2,y≥2,且x、y为整数,
∴或
答:两种广告的播放次数有两种安排方式.
(2)电视台选择哪种方式播放收益较大.
(2)当时,电视台的收益为
2×0.6+3×1=4.2(万元);
当时,电视台的收益为
4×0.6+2×1=4.4(万元).
∵4.2<4.4,∴第二种方式收益较大.
答:当电视台选择15 s广告播放4次,30 s广告播放2次时,播放收益较大.(共16张PPT)
第2课时　加减消元法
1.用加减法解方程组时,②-①,得(　　)
A.-8y=9 B.6x-4y=11
C.8y=-5 D.-2y=5
2.(2025·河南)解方程组正确的方法是(　　)
A.②×2-①,消x B.②×2+①,消x
C.②×2-①,消y D.②×2+①,消y
C
C
3.已知a、b满足方程组则a+b的值为(　　)
A.2 B.4 C.-2 D.-4
4.已知x、y满足方程组则x+y的值为　 　.
5.如果4a2x-3yb4与-a3bx+y是同类项,那么xy=　 　.
A
-2
3
6.解下列方程组:
(1)
(2)
解:①+②,得3x=-3.解得x=-1.
把x=-1代入①,得y=2.
所以方程组的解为
解:2×①+②,得10x=20.解得x=2.
把x=2代入①,得y=-3.
所以方程组的解为
(3)
(4)
解:②-①×2,得y=-8.解得y=-3.
把y=-3代入②,得x=2.
所以方程组的解为
解:①×2+②×3,得23m=46.解得m=2.
把m=2代入①,得n=3.
所以方程组的解为
(5)
解:方程组整理,得
①+②,得-3x=3.解得x=-1.
把x=-1代入①,得y=5.
所以方程组的解为
7.(2026·重庆外语校)若关于x、y的方程组的解满足x-y=2,则a的值为(　　)
A.1 B.2 C.-1 D.-2
B
8.(1)在解关于x、y的方程组时,小明将方程①中的“-”看成了“+”,得到的解为则原方程组的解为 　;
(2)甲、乙两人在解方程组时,甲因看错了a,解得乙将其中一个方程的b写成了其相反数,解得则a=　 　,b=　 　.
-2
3
9.已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x-y=3,则m的值为　 　.
10.(1)若方程组和方程组有相同的解,求a、b的值;
解:将3x-y=7和2x+y=8组成方程组,得解得
将分别代入ax+y=b和x+by=a中,得解得
1
(2)甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a,得到方程组的解为乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为试计算a2 026+的值.
解:∵甲看错了方程①中的a,乙看错了方程②中的b,
∴甲得到的解符合方程②,乙得到的解符合方程①.
将代入方程②,得
4×(-3)+b=-2.解得b=10.
将代入方程①,得
5a+20=15.解得a=-1.
∴a2 026+=(-1)2 026+=0.
11.已知关于x、y的方程组下列结论:
①当k=0时,该方程组的解也是方程x-2y=-4的解;②存在实数k,使得x+y=0;③当3x+5y=3时,k=-1;④不论k取什么数,x+3y的值始终不变.其中正确的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
12.(2025·湖北)“换元法”是解决数学问题的重要思想方法.若方程组的解是则方程组
的解为 　.
13.阅读下列解方程组的方法,然后解答问题:
解方程组时,由于x、y的系数及常数项的数值较大,如果用常规的代入消元法、加减消元法来解,那将会计算量大,且易出现运算错误,而采用下面的解法则比较简单:
②-①,得3x+3y=3,所以x+y=1,③
③×14,得14x+14y=14,④
①-④,得y=2,从而得x=-1.
所以原方程组的解是
(1)运用上述方法解方程组
解:(1)
②-①,得3x+3y=3,所以x+y=1,③
③×2 022,得2 022x+2 022y=2 022,④
①-④,得y=2,
把y=2代入③,得x+2=1,
解得x=-1.
所以原方程组的解是
(2)直接写出方程组的解是 　 ;
(3)猜测关于x、y的方程组(m≠n)的解是什么 并用方程组的解加以验证.
(3)猜测:
当x=-1,y=2时,第一个方程:左边=-m+(m+1)×2=-m+2m+2=m+2=右边,
第二个方程:左边=-n+(n+1)×2=-n+2n+2=n+2=右边,
∴是原方程组的解.(共14张PPT)
第1课时　代入消元法
1.已知二元一次方程3x-4y=1,则用含x的代数式表示y是(　　)
A.y= B.y=
C.x= D.x=
2.(2025·广西)解方程组时,把①代入②,得(　　)
A.2(3y-2)-5x=10 B.2y-(3y-2)=10
C.(3y-2)-5x=10 D.2y-5(3y-2)=10
B
D
3.由方程组可得出x与y的关系式是(　　)
A.x+y=3 B.x+y=7
C.x+y=-3 D.x+y=-7
4.(1)二元一次方程组的解为 　;
(2)若单项式2am+2nbn-2m与a4b3的和仍为单项式,则m=　 　,n= 　.
5.若关于x、y的方程组满足则3(x+y)-(3x-5y)的值是　 　.
B
-
24
6.解下列方程组:
(1)
解:由①,得x=y+5.③
将③代入②,得2(y+5)+y=4.解得y=-2.
将y=-2代入③,得x=3.
所以方程组的解为
(2)
解:由①,得x=-y+7.③
将③代入②,得5(-y+7)+3y=31.解得y=2.
将y=2代入③,得x=5.
所以方程组的解为
(3)
解:由②,得y=2x-2.③
将③代入①,得4x-3(2x-2)=5.解得x=.
将x=代入③,得y=-1.
所以方程组的解为
(4)
解:整理,得
由③,得x=2y+3.⑤
将⑤代入④,得2(2y+3)+3y=13.解得y=1.
将y=1代入⑤,得x=5.
所以方程组的解为
(5)
解:由①,得x=.③
将③代入②,得2×+5y=7.解得y=1.
将y=1代入③,得x=1.
所以方程组的解为
7.已知是方程的解,则(a+b)·(a-b)的值为(　　)
A.135 B.45 C.36 D.15
8.(2026·成都七中)若方程组的解x、y的值相等,则a的值为(　　)
A.-4 B.4 C.2 D.1
B
C
9.【数学文化】中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题,大意是:现有一根竿子和一条绳索,用绳索去量竿子,绳索比竿子长5尺;若将绳索对折去量竿子,绳索就比竿子短5尺,问绳索、竿子各有多长 该问题中的竿子长为　 　尺.
10.已知关于x、y的二元一次方程组的解满足二元一次方程-=4,求m的值.
解:由方程组得
将代入-=4,得-=4,
解得m=112.
15
11.(2026·重庆巴蜀)已知关于x、y的方程组与有相同的解,则a+4b-3的值为(　　)
A.-1 B.-6 C.-10 D.-12
12.(1)若关于x、y的方程组的解满足x-y=4,则m=　 　;
(2)对于有理数x、y,定义新运算:x*y=ax+by,其中a、b是常数,等式右边是通常的加法和乘法运算.已知1*2=1,(-3)*3=6,则2*(-5)的值是　 　.
C
-1
-7
13.阅读材料:
善于思考的小军在解方程组时,采用了一种“整体代换”的解法.
解:将方程②变形:4x+10y+y=5,
即2(2x+5y)+y=5,③
把方程①代入③,得2×3+y=5,
解得y=-1.
把y=-1代入①,得x=4.
所以,原方程组的解为
请你解决以下问题:
(1)模仿材料中小军的“整体代换”法解方程组
解:(1)
由②,得3(2x-3y)-2y=9.③
把①代入③,得15-2y=9,解得y=3.
把y=3代入①,得2x-9=5,解得x=7.
所以,原方程组的解为
(2)已知x、y满足方程组求x2+4y2-xy的值.
(2)
由①,得3(x2+4y2)-2xy=47,
x2+4y2=.③
由②,得2(x2+4y2)+xy=36.④
把③代入④,得2×+xy=36.解得xy=2.
将xy=2代入③,得x2+4y2=17.
∴x2+4y2-xy=17-2=15.(共17张PPT)
第3课时　二元一次方程组解法的综合应用
1.以下解方程组的步骤正确的是(　　)
A.代入法消去b,由①得b=2a-7
B.代入法消去a,由②得a=b+2
C.加减法消去b,①+②得a=5
D.加减法消去a,①-②×2得-3b=3
B
2.在解二元一次方程组时,下列方法中无法消元的是( 　)
A.①-②
B.由①变形,得x=2+2y③,将③代入②
C.①×4+②
D.由②变形,得2y=4x-5③,将③代入①
C
4.(1)若x+2y=10、4x+3y=15,则x+y的值是　　;
(2)若a-3b=2、3a-b=6,则b-a的值为　 　.
5.若方程组的解满足x+y=0,则m的值是　 　.
3.(2025·山东)已知方程组则y2-x2的值为( 　)
A.-2 B.2 C.-4 D.4
B
5
-2
-8
6.用适当的方法解下列方程组:
(1)
解:①+②,得7x=7.解得x=1.
把x=1代入①,得11-3y=12.
解得y=-.
所以方程组的解为
(2)
解:①×2+②,得13x=13.解得x=1.
把x=1代入①,得y=-1.
所以方程组的解是
(3)
解:方程组整理,得
①+②,得10x=30.解得x=3.
将x=3代入①,得y=0.
所以方程组的解为
(4)
解:令x+y=m,x-y=n,
则方程组可变为
①去分母,得8n-3m=-17.③
②+③,得6n=-6,解得n=-1.将n=-1代入②,得m=3.
所以可得方程组所以方程组的解为
7.(2025·天津)对于任意有理数a、b、c、d,我们规定=ad-bc.已知x、y同时满足=5,=1,则满足条件的一组x和y的值是(　　)
A. B. C. D.
A
8.若关于x、y的二元一次方程组的解为则关于x、y的二元一次方程组的解为(　　)
A. B. C. D.
9. 已知关于x、y的二元一次方程组的解互为相反数,则k的值是　 　.
B
2
10.已知方程组由于甲看错了方程①中的a,得到方程组的解为乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为若按正确的a、b计算,求原方程组的解.
解:根据题意,可知满足方程②,
满足方程①,
则解得
把代入原方程组,得
∴原方程组的解为
11.已知关于x、y的方程组有下列几种说法:①一定有唯一解;②可能有无数个解;③当a=2时方程组无解;④若方程组的一个解中y的值为0,则a=0.其中正确的说法有(　　)
A.0种 B.1种 C.2种 D.3种
C
12.(1)若关于x、y的方程组的解是正整数,则整数a的值是　 　;
(2)若关于x、y的二元一次方程组的解是则关于x、y的方程组的解是 　.
2或-1
13.阅读下列文字,体会其中的数学思想方法:
善于思考的小高同学在解关于m、n的方程组
时,把m+5、n+3分别看成一个整体,
令m+5=x,n+3=y,原方程组化为解得
∴解得∴原方程组的解为
这种把某个式子看成一个整体,用一个字母代替它的解方程组的方法叫做“换元法”.
(1)应用:已知方程组的解是则关于m、n的二
元一次方程组的解是 　;
(2)迁移:请用换元法解方程组
解:(2)变形,得
设x+y=m,x-y=n,则解得
∴解得∴原方程组的解为
(3)拓展:若关于x、y的二元一次方程组的解是求关于m、n的方程组的解.
(3)将变形为
∵二元一次方程组的解是
∴∴∴关于m、n的方程组的解为(共16张PPT)
第4课时　二元一次方程组的简单应用
1.(2025·广安)《九章算术》中有一道题,原文是:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问:人数、物价各几何 ”译文是:假设共同买东西,如果每人出8钱,盈余3钱;每人出7钱,不足4钱.问:人数、物价各多少 设人数为x人,物价为y钱,则可列方程组为(　　)
A. B.
C. D.
B
2.用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面,做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒.现有60张正方形纸板和140张长方形纸板,如果做两种纸盒若干个,恰好将纸板用完,设做x个竖式无盖纸盒,y个横式无盖纸盒,则可列方程组(　　)
A. B.
C. D.
B
3.(2025·湖北)在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.若设该店有客房x间,房
客y人,则可列方程组为 　.
4.用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品,用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品.要生产甲种产品37件,乙种产品18件,则恰好需用A、B两种型号的钢板共　 　块.
5.【数学文化】我国古代数学名著《孙子算经》中有个问题,原文:今有四人共车,二车空;三人共车,五人步,问人与车各几何 大意为今有若干人乘车,每4人共乘一车,最终剩余2辆车;每3人共乘一车,最终剩余5个人无车可乘,则共有　 　辆车.
11
13
6.某商场购进商品后,加价20%作为销售价,现商场搞优惠促销,决定由顾客抽奖确定折扣.某顾客购买甲、乙两种商品,分别抽到九折和八折,共付款1 008元,两种商品原销售价之和为1 200元,甲、乙商品进价分别为多少元
解:设甲商品进价为x元,乙商品进价为y元.
由题意,得
解得
答:甲商品进价为400元,乙商品进价为600元.
7.小高打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场,气球的种类有爱心和笑脸两种,两种气球的价格不同,但同一种气球的价格相同.由于会场布置需要,购买时以一束(4个气球)为单位,已知第一、二束气球的价格如图所示,则第三束气球的价格为 (　　)
A.19元 B.18元 C.16元 D.15元
B
8.某商店打折前,买60件A商品和30件B商品共用了1 080元,买50件A商品和10件B商品共用了840元.打折后,买500件A商品和500件B商品共用了9 600元,则比不打折少花 (　　)
A.200元 B.300元 C.400元 D.500元
9.某快递公司有甲、乙两个仓库,各存有快件若干件,甲仓库发走80件后,余下的快件数比乙仓库原有快件数的2倍少700件;乙仓库发走560件后,余下的快件数比甲仓库余下的快件数的还多210件,则甲仓库原有快件　 件.
C
1 480　
10.随着“低碳生活,绿色出行”理念的普及,新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售,据了解,3辆A型汽车、4辆B型汽车的进价共计115万元;4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计130万元.
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元
解:(1)设A型汽车每辆进价为x万元,B型汽车每辆进价为y万元.
根据题意,得解得
答:A型汽车每辆进价为25万元,B型汽车每辆进价为10万元.
(2)若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买),销售1辆A型汽车可获利6 000元,销售1辆B型汽车可获利4 000元,求该公司共有几种购买方案 假如这些新能源汽车全部售出,最大利润是多少元
(2)设购买A型汽车m辆,B型汽车n辆,
由题意可得,25m+10n=150,且m>0,n>0,
∴n=15-m.
∵m、n为正整数,∴或
∴该公司共有两种购买方案:
①购买A型汽车2辆,B型汽车10辆,
获得的利润为6 000×2+4 000×10=52 000(元).
②购买A型汽车4辆,B型汽车5辆,
获得的利润为6 000×4+4 000×5=44 000(元).
∵52 000>44 000,∴最大利润为52 000元.
答:该公司共有两种购买方案,最大利润为52 000元.
11.网约车是一种便捷的出行工具,计费规则如下表:
小王与小张各自乘坐网约车,行车里程分别为6千米与8.5千米.如果下车时两人所付车费相同,那么这两辆网约车的行车时间相差 (　　)
A.10分钟　 B.13分钟　 C.15分钟　 D.19分钟
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元/千米 0.3元/分钟 0.8元/千米
注:车费由里程费、时长费、远途费三部分构成,其中里程费按行车的实际里程计算;时长费按行车的实际时间计算;远途费的收取方式为行车里程7千米以内(含7千米)不收远途费,超过7千米的,超出部分每千米收0.8元远途费. D
12.琪琪沿街匀速行走,发现每隔12 min从背后驶过一辆7路公交车,每隔6 min从迎面驶来一辆7路公交车.假设每辆7路公交车行驶速度相同,而且7路公交车总站每隔固定时间发一辆车.则7路公交车行驶速度是琪琪行走速度的　 　倍;7路公交车总站每间隔　　min发一辆车.
3
8
13.某商店分两次购进A、B两种型号的台灯进行销售,两次购进的数量及费用如下表所示,由于物价上涨,第二次购进A、B两种型号的台灯时,每台进价分别上涨30%,20%.
A型 B型 购进所需要的费用(元)
第一次 10 20 3 000
第二次 15 10 4 500
(1)求第一次购进A、B两种型号台灯每台进价分别是多少元
解:(1)设第一次购进A型台灯每台进价为x元,B型台灯每台进价为y元,
根据题意,得
解得
答:第一次购进A型台灯每台进价为200元,B型台灯每台进价为50元.
(2)A、B两种型号台灯销售单价不变,第一次购进的台灯全部售出后,获得的利润为2 800元,第二次购进的台灯全部售出后,获得的利润为1 800元.
①求A、B两种型号台灯每台售价分别是多少元
(2)①设A型台灯每台售价为m元,B型台灯每台售价为n元,由题意,得
解得
答:A型台灯每台售价为340元,B型台灯每台售价为120元.
②若按照第二次购进A、B两种型号台灯的价格再购进一次,将再次购进的台灯全部售出后,要想使获得的利润为1 000元,求有哪几种购进方案
②第二次购进A型台灯的价格为200(1+30%)=260(元),
购进B型台灯的价格为50(1+20%)=60(元),
设购进A型台灯a台,B型台灯b台,
由题意,得(340-260)a+(120-60)b=1 000,
整理,得4a+3b=50,
∴b==16-a+.
∵a、b为自然数,
∴或或或
∴有4种购进方案:
Ⅰ.购进A型台灯2台,B型台灯14台;
Ⅱ.购进A型台灯5台,B型台灯10台;
Ⅲ.购进A型台灯8台,B型台灯6台;
Ⅳ.购进A型台灯11台,B型台灯2台.(共14张PPT)
6.3　三元一次方程组及其解法
1.下列是三元一次方程组的是(　　)
A. B.
C. D.
D
2.三元一次方程组 经过步骤①+③和③×3-②消去未知数z后,得到的二元一次方程组是(　　)
A. 　 B.
C. D.
A
3.已知是方程组的解,则a+b+c的值为(　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
4.若(a-1)x+5yb+1+2=10是一个三元一次方程,则a=　 　,b=　 　.
5.(1)【教材改编】对于代数式ax2+bx+c(a、b、c是常数),当x=1时,值为0;当x=2时,值为3;当x=-3时,值为28,则这个代数式是　 　 ;
(2)已知+2(3y-6)2+3=0,则x+y+z的值为　 　.
A
-1
0
2x2-3x+1
27
6.解下列方程组:
(1)
解:②+③×3,得3x+17y=-11.④
④-①,得19y=-19.解得y=-1.
将y=-1代入①,得x=2.
将y=-1代入②,得z=1.
所以原方程组的解为
(2)
解:①+②,得5x-y=7.④
②×2+③,得8x+5y=-2.⑤
由④⑤组成二元一次方程组解得
把x=1,y=-2代入①,得z=-4.
所以原方程组的解为
7.设“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体(如图),前两架天平已保持平衡,如果要使第三架天平也平衡,那么“ ”处应放“■”的个数为(　　)
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
A
8.在一家三口中,每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄的和分别是47、61、60,那么这三个人中最大年龄和最小年龄的差是 (　　)
A.28 B.27 C.26 D.25
9.已知a、b、c满足a+2b+3c=0,3a+2b+c=70,则a+b+c=　 　.
A
17.5
10.为确保信息安全,在传输时往往需要加密,发送方发出一组密码a、b、c时,则接收方对应收到的密码为A、B、C.双方约定:A=2a-b,B=2b,C=b+c,例如发出1、2、3,则收到0、4、5.
(1)当发送方发出一组密码为2、3、5时,则接收方收到的密码是多少
解:(1)由题意,得解得
答:接收方收到的密码是1、6、8.
(2)当接收方收到一组密码2、8、13时,则发送方发出的密码是多少
(2)由题意,得解得
答:发送方发出的密码是3、4、9.
11.甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生,准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具,签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元.乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍,笔记本数量是甲的12倍,钢笔数量是甲的8倍,丙采购的签字笔数量是甲的3倍,笔记本数量是甲的9倍,钢笔数量和甲相同.三家艺术中心采购总费用为2 850元,丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元,则甲艺术中心采购总费用为(　 　)
A.237元 B.350元 C.425元 D.901元
解析:设甲艺术中心采购签字笔x支、笔记本y个、钢笔z支,则费用分别为8x元,10y元,25z元;乙艺术中心采购签字笔6x支、笔记本12y个、钢笔8z支,
则费用分别为48x元,120y元,200z元;丙艺术中心采购签字笔3x支、笔记本9y个、钢笔z支,则费用分别为24x元,90y元,25z元.根据题意,得
整理,得由②,得x=29-5y③,∵x、y都是正整数,∴y可能为1、2、3、4、5.把③代入①,整理得25z-18y=53,z=.∵z为正整数,y可能为1、2、3、4、5,∴只有当y=4时,z=5符合题意.把y=4代入②,得x=9,∴甲艺术中心采购总费用为9×8+4×10+5×25=237(元),故选A.
(　　)
A
12.特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产,其中每包桃片的成本是麻花的2倍,每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%.该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1∶3∶2,三种特产的总利润是总成本的25%,则每包米花糖与每包麻花的成本之比为　 　.
4∶3
13.在求代数式的值时,可以用整体求值的方法,化难为易.
例:已知求x+y+z的值.
解:①×2,得6x+4y+2z=8,③
②-③,得x+y+z=2,
∴x+y+z的值为2.
(1)已知求3x+4y+5z的值;
解:(1)
①+②,得6x+8y+10z=36,则3x+4y+5z=18.
(2)马上期中了,班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品,根据商店的价格,购买40本笔记本、20支签字笔、4支记号笔需要488元.通过还价,班委购买了80本笔记本、40支签字笔、8支记号笔,只花了732元,请问比原价购买节省了多少钱
(2)设笔记本、签字笔、记号笔的价格分别为x元,y元,z元,
根据题意,得40x+20y+4z=488,
∴80x+40y+8z=488×2=976,
976-732=244(元),
则比原价购买节省了244元.(共13张PPT)
6.4　实践与探索
1.(2026·重庆八中)《九章算术·盈不足》载,其文曰:“今有共买物,人出十一,盈八;人出九,不足十二.问人数、物价各几何 ”意思为:几个人一起去买东西,如果每人出11钱,就多了8钱;如果每人出9钱,就少了12钱.问一共有多少人 这个物品的价格是多少 设共有x人,物品的价格为y钱,则可列方程组为(　　)
A. B.
C. D.
C
2.根据下图中的对话,小红所买的笔和笔记本的单价分别是(　　)
A.0.8元,2.6元 B.0.8元,3.6元
C.1.2元,2.6元 D.1.2元,3.6元
3.某人买了60分的邮票和80分的邮票共20张,用去了13元2角,则60分的邮票买了　 　张,80分的邮票买了　 　张.
D
14
6
4.(1)一艘轮船顺流航行时,每小时行32 km;逆流航行时,每小时行28 km,则轮船在静水中的速度是每小时行　 　km;
(2)甲、乙两人在400 m的环形跑道上练习赛跑,如果两人同时同地反向跑,经过25 s第一次相遇;如果两人同时同地同向跑,经过250 s甲第一次追上乙.则甲、乙两人的平均速度分别是　 　m/s、　 　m/s.
5.节约用水和合理开发利用水资源是每个公民应尽的责任和义务,为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,各地采用价格调控等手段引导市民节约用水.某市规定如下用水收费标准:每户每月的用水不超过6 m3时,水费按a元/m3收费;超过6 m3时,超过的部分按b元/m3收费.该市某户居民今年2月份的用水量为9 m3,缴纳水费为27元;3月份的用水量为11 m3,缴纳水费为37元.若该市某居民今年4月份的用水量为13.5 m3,则应缴纳水费　 　元.
30
8.8
7.2
49.5
6.巴川河是铜梁的母亲河,为打造巴川河风光带,现有一段长为360 m的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成.A工程队每天整治24 m,B工程队每天整治16 m,共用时20天.
(1)求A、B两工程队分别整治河道多少天 (用二元一次方程组解答)
(2)若A工程队整治1 m河道的工费为200元,B工程队整治1 m河道的工费为150元,求完成河道整治任务时,这两工程队的工费共是多少元
解:(1)设A工程队整治河道x天,B工程队整治河道y天,
根据题意,得解得
答:A工程队整治河道5天,B工程队整治河道15天.
(2)根据题意,得200×24×5+150×16×15=24 000+36 000=60 000(元).
答:完成河道整治任务时,这两工程队的工费共是60 000元.
7.小明和小亮练习赛跑,如果小明让小亮先跑2秒,那么小明跑6秒就追上小亮;如果小明让小亮先跑16米,那么小明跑8秒就追上小亮.则小明和小亮每秒跑的路程分别为(　　)
A.6米,4米 B.10米,8米
C.8米,6米 D.6米,8米
8.如图,在大长方形中放置6个形状、大小都相同的小长方形,则阴影部分的面积之和是(　　)
A.39 cm2 B.43 cm2
C.47 cm2 D.51 cm2
C
B
9.(1)一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动.图①是一个正方形纸板,裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子,已知该长方体的宽是高的2倍,长为4 cm,则这个正方形纸板的边长为　　cm;
6
(2)某地准备对一段长120 m的河道进行清淤疏通,若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务,则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天;若甲工程队先单独工作8天,则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天.则甲工程队平均每天疏通河道　 　m,乙工程队平均每天疏通河道　 　m.
12
8
10.(2026·重庆巴蜀)列方程或方程组解应用题:
某服装店准备购进甲、乙两种服装出售,购买了甲、乙两种服装共100套.购买甲服装的单价是每套35元,购买乙服装的单价是每套40元,甲、乙两种服装的总费用是3 700元.
(1)甲、乙两种服装各购买了多少套
解:(1)设甲服装购买了x套,乙服装购买了y套.
由题意,得
解得
答:甲服装购买了60套,乙服装购买了40套.
(2)经过一段时间后,购买的服装全部销售完,该服装店决定再次购买这两种服装.再次购买时,甲服装的单价比第一次购买时每套下降了4元,乙服装的单价比第一次购买时每套下降了5m%,于是该服装店购买甲服装的数量比第一次多了9m件,购买乙服装的数量比第一次多了25%,且购买甲、乙两种服装的总费用比第一次多了518元,请求出m的值.
(2)由题意,得(60+9m)×(35-4)+40×(1+25%)×40(1-5m%)=3 700+518,
解得m=2.
答:m的值为2.
11.某县乡村振兴项目在如火如荼地开展,村民黄大爷种植了李子、桃子和苹果三种果树,去年李子的亩产量是苹果亩产量的2倍,今年加强了管理、施肥和灭虫,每亩李子、桃子和苹果的产量分别增加了20%、30%、30%,这两年相同品种果树的种植面积不变,李子、桃子和苹果三种果树的种植面积之比为3∶2∶3,今年三种果树增加的总产量是三种果树去年总产量的25%,则去年桃子的亩产量与苹果的亩产量之比为(　　)
A.3∶4 B.3∶2 C.2∶3 D.4∶3
B
12.有一头驴和一头骡子都驮着袋数不同的货物走街串巷,驴累得大汗淋漓,抱怨负担太重了,骡子说:“你还抱怨,就省省吧!如果你给我一袋,那我所负担的重量就是你的两倍;如果我给你一袋,你所驮货物的重量才跟我所驮货物的重量一样!”如果每袋货物都是一样重的,那么驴原来所驮货物的袋数是　 　袋.
5
13.某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场,而共享单车安装公司由于抽调不出足够多的熟练工人,准备招聘一批新工人.已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车;4名熟练工人每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多.
(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车;
解:(1)设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车,每名新工人每天可以安装y辆共享单车,
根据题意,得解得
答:每名熟练工人和新工人每天分别可以安装10辆和8辆共享单车.
(2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干,并且招聘新工人共同安装共享单车.如果25天后刚好交付运营公司3 500辆合格品投入市场,那么熟练工人和新工人各有多少人
(2)设熟练工人有m人,新工人有n人,
由题意,得25×10m+25×8n=3 500,
整理,得5m+4n=70.
∴m=14-n.
∵m,n均为正整数,∴当n=5时,m=10;
当n=10时,m=6;
当n=15时,m=2.
答:熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人.

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