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江苏省无锡市梅村高级中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题
一、单选题（每题5分）
1．（2025高二下·滨湖期中）下列求导运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A：，A错误；
B：，B错误；
C：， C错误；
D：，D正确.
故答案为：D
【分析】 利用基本初等函数导数公式和导数运算法则（和差、乘积、商的导数），逐项计算各选项的导数，与选项结果对比判断正误。
2．（2025高二下·滨湖期中）已知随机变量X满足，，则（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由，得，即；
由，得，则.
故答案为：C.
【分析】根据期望、方差的性质求解即可.
3．（2025高二下·滨湖期中）已知命题在上单调递增 ，，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：若在上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立.
因为当且仅当，即时取等号，
所以.
因为是的真子集，即由推得出，推不出，
所以是的充分不必要条件；
故答案为：A.
【分析】判断充分必要条件需先明确命题p为真时m的取值范围，再通过集合间的包含关系判断推导方向。核心是将函数单调性转化为导数值恒非负，用参变分离和基本不等式求m的范围。
4．（2025高二下·滨湖期中）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．有三个极值点 B．为函数的极大值
C．有一个极大值 D．为的极小值
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：，并结合其图象，可得到如下情况，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减；
∴在取得极小值，在处取得极大值，只有两个极值点，故A、B、D错误，C正确；
故答案为： C.
【分析】根据的图像，结合的正负判断的符号，进而得到的单调性，确定极值点和极值类型。
5．（2025高二下·滨湖期中）算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明．在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具，下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位、十位、百位、千位，，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如如图二，个位上拨动一粒上珠、两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位、十位、百位、千位、万位、十万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的六位数至多含4个5的情况有（　　）
A．57种 B．58种 C．59种 D．60种
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知：至多含4个5，
不含5，有种；含1个5，有种；含2个5，有种；含3个5，有种；
含4个5，有种，
综上，所有的可能情况共有种.
故答案为：A.
【分析】由题意可知：至多含4个5，分别计算不含5、含1个5，含2个5、含3个5和含4个5讨论，结合组合数公式求解即可.
6．（2025高二下·滨湖期中）函数在区间上的最小值为（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
因为，，所以．
故答案为：A．
【分析】先求函数的导函数，利用导数判断函数的单调性，求即可.
7．（2025高二下·滨湖期中）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮；若未命中，则换对方投篮.已知甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.7，甲、乙每次投篮的结果相互独立.抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5，则第三次投篮的人是甲的概率为（　　）
A．0.35 B．0.525 C．0.575 D．0.595
【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式；概率的应用
【解析】【解答】解：记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
设，依题可知，，
则，
则，
设，解得，
则，
又因为，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，
则，，
则第次投篮的人是甲的概率为，
当时，.
故答案为：C.
【分析】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，设，由题意可得，再根据数列知识构造等比数列，再结合等比数列的通项公式得出第三次投篮的人是甲的概率.
8．（2025高二下·滨湖期中）函数是定义在上的奇函数，其导函数记为，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，则，
∵当时，恒成立，即，
∴，即在上单调递减.
又函数是奇函数，∴，
∴函数为偶函数，在上单调递增.
∵，∴.
∴当或时，；
当或时，.
不等式等价于或，
∴或.
∴不等式的解集为.
故答案为：A.
【分析】构造辅助函数，利用导数判断的单调性，结合的奇偶性推出的奇偶性，再根据确定的零点，分区间讨论的符号，最终求解不等式解集。
二、多选题（每题6分）
9．（2025高二下·滨湖期中）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；概率分布列
【解析】【解答】解：根据题意，随机变量的分布列为，
则有，解得，
则，
．
故答案为：ABC.
【分析】 利用分布列所有概率和为1的性质，先求出常数a，再分别计算各选项对应的概率值，逐一验证选项是否成立。
10．（2025高二下·滨湖期中）若，其中为实数，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：A：令可得，A正确.
B：，其展开式的第三项是，所以，B错误.
C：令可得，所以，D错误.
D：令可得，与相减可得，C正确.
故答案为：AC
【分析】本题核心是利用换元法将转化为含的二项式形式，再结合赋值法代入特殊值求解各系数，通过计算验证选项的正确性。
11．（2025高二下·滨湖期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为（mod m）．若，（mod 10），则b的值可以是（　　）
A．2011 B．2012 C．2020 D．2021
【答案】A,D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：，
∴被10除得的余数为1，而2011与2021被10除得的余数是1，
故答案为：AD．
【分析】 核心思路是先对a进行变形化简，利用二项式定理结合模运算的定义，求出a模 10 的余数，再逐一验证选项中数模 10 的余数，匹配余数的即为答案。
三、填空题（每题5分）
12．（2025高二下·滨湖期中）已知函数满足，则　 　.
【答案】
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为函数满足，
所以，，则，
所以，.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数，再结合代入法，从而解方程得出的值.
13．（2025高二下·滨湖期中）的展开式中的系数为　 　.
【答案】30
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】由，
其展开式的通项为，，，
令，得的展开式的通项为，，，
令，得，
则的展开式中的系数为.
故答案为：30.
【分析】首先将作为一个整体即，利用二项式定理的通项公式进行展开，再对取，再对进行求通项公式，进而得到结果.
14．（2025高二下·滨湖期中）已知函数若则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意得，函数
不妨设，即，
所以，即，，则，
令，可得，
令，可得，
所以单调递增，即单调递增，且，
当时，，当时，，
即当时，取得极小值同时也是最小值，
此时，
即的最小值为，所以的最大值为．
故答案为：．
【分析】设，将、用表示，构造关于的函数，通过求导分析单调性，进而求出的最大值。
四、解答题
15．（2025高二下·滨湖期中）（1）从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
（2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数.
【答案】（1）解：从0，2，4，6中任取3个数字有种，从1，3，5中任取2个数字有种，
五个数全排列有种，其中首位是零的有种，
所以一共可组成个没有重复数字的五位数；
（2）解：若比5000000大，则有七位数，且首位是5或6，
所以由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成个没有重复数字，并且比5000000大的正整数.
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1) 先分别计算从两组数字中选取数字的组合数，再对选出的5个数字全排列，最后减去首位为0的无效情况，得到符合要求的五位数个数。
(2) 比5000000大的正整数必为七位数，且首位只能是5或6，先确定首位，再对剩余6个数字全排列，得到总数。
16．（2025高二下·滨湖期中）在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于.
（1）求的值；
（2）若展开式中的常数项为，试求展开式中系数最大的项.
【答案】（1）解：由题意可得，
整理可得，因为，解得；
（2）解：的展开式通项为，
令，可得，
则展开式中的常数项为，解得，
由不等式组，解得，
因为，所以，
则展开式中系数最大的项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据展开式得前三项的二项式系数和为，结合组合数公式列关于的方程，求的值即可；
（2）写出展开式的通项，令，求得r，再根据展开式的常数项为，解得，假设展开式中系数最大项为项，列不等式组求解即可.
（1）解：由题意可知，展开式中前三项的二项式系数之和为，
整理可得，因为，解得.
（2）解：的展开式通项为，
令，可得，
所以，展开式中的常数项为，解得，
由不等式组，解得.
因为，所以，，
因此，展开式中系数最大的项为.
17．（2025高二下·滨湖期中）（1）袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记，求的分布列和期望与方差.
（2）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为.现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为多少？
【答案】（1）解：的可能值这0，1，，，
所以的分布列为：
0 1
数学期望，
方差为.
（2）解：令“玩手机时间超过2h的学生”，“玩手机时间不超过2h的学生”，“任意调查一人，此人近视”，
则，且互斥，，，
依题意，，
解得，
所以从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为0.1.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；全概率公式
【解析】【分析】(1) 这是一个超几何分布问题：先确定随机变量X的取值，计算“两球全是白球 的概率，进而得到“两球不全是白球”的概率，列出分布列后，再用离散型随机变量的期望、方差公式计算。
(2) 这是一个条件概率与全概率公式的应用问题：先划分“玩手机超过2h” 和“不超过2h”两个群体，结合全校近视率，求出 “玩手机不超过2h”群体的近视概率。
18．（2025高二下·滨湖期中）设函数，若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为5x-4y-4=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求证：在曲线y=f（x）上任意一点处的切线与直线x=0和y=x所围成的三角形面积为定值，并求出此定值．
【答案】（Ⅰ）解：由题意的，解得，；
（Ⅱ）证明：设为曲线上任一点，
由知，曲线在点处的切线方程为，
当得，令，得，
所以点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为
.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(I) 核心思路：利用导数的几何意义（切线斜率等于函数在该点的导数），结合切点在切线上也在曲线上，建立方程组求解 。
(II) 核心思路：设曲线上任意一点，写出该点的切线方程，分别求出切线与 、 的交点坐标，再计算三角形面积，验证其与切点位置无关，为定值。
19．（2025高二下·滨湖期中）已知函数f(x)=-ln(x+m).
（1）设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
（2）当m≤2时，证明f(x)>0.
【答案】解：(1)函数，，由是的极值点得，可得，函数的定义域为，，函数在上单调递增，且，当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增；(2)当，时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当时，，当时，函数在上单调递增，又，，故f '(x)=0在上有唯一实根，且，当时，；当时，，从而当时，取得最小值，由f '(x0)=0得=，，故，综上，当时，．
（1）解：函数，，
由是的极值点得，可得，
函数的定义域为，，
函数在上单调递增，且，
当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：当，时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当时，，
当时，函数在上单调递增，
又，，故f '(x)=0在上有唯一实根，且，
当时，；当时，，从而当时，取得最小值，
由f '(x0)=0得=，，
故，
综上，当时，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的导函数，由题意可得，求得m的值，再求函数的定义域，求导，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）只需证明当时，，当时，函数在上单调递增，f '(x)=0在上有唯一实根，且，利用导数判断函数的单调性，求最小值，由证明即可.
1 / 1江苏省无锡市梅村高级中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题
一、单选题（每题5分）
1．（2025高二下·滨湖期中）下列求导运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025高二下·滨湖期中）已知随机变量X满足，，则（　　）
A．， B．， C．， D．，
3．（2025高二下·滨湖期中）已知命题在上单调递增 ，，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025高二下·滨湖期中）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．有三个极值点 B．为函数的极大值
C．有一个极大值 D．为的极小值
5．（2025高二下·滨湖期中）算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明．在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具，下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位、十位、百位、千位，，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如如图二，个位上拨动一粒上珠、两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位、十位、百位、千位、万位、十万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的六位数至多含4个5的情况有（　　）
A．57种 B．58种 C．59种 D．60种
6．（2025高二下·滨湖期中）函数在区间上的最小值为（　　）
A． B．0 C． D．
7．（2025高二下·滨湖期中）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮；若未命中，则换对方投篮.已知甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.7，甲、乙每次投篮的结果相互独立.抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5，则第三次投篮的人是甲的概率为（　　）
A．0.35 B．0.525 C．0.575 D．0.595
8．（2025高二下·滨湖期中）函数是定义在上的奇函数，其导函数记为，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题（每题6分）
9．（2025高二下·滨湖期中）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025高二下·滨湖期中）若，其中为实数，则（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025高二下·滨湖期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为（mod m）．若，（mod 10），则b的值可以是（　　）
A．2011 B．2012 C．2020 D．2021
三、填空题（每题5分）
12．（2025高二下·滨湖期中）已知函数满足，则　 　.
13．（2025高二下·滨湖期中）的展开式中的系数为　 　.
14．（2025高二下·滨湖期中）已知函数若则的最大值为　 　．
四、解答题
15．（2025高二下·滨湖期中）（1）从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
（2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数.
16．（2025高二下·滨湖期中）在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于.
（1）求的值；
（2）若展开式中的常数项为，试求展开式中系数最大的项.
17．（2025高二下·滨湖期中）（1）袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记，求的分布列和期望与方差.
（2）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为.现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为多少？
18．（2025高二下·滨湖期中）设函数，若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为5x-4y-4=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求证：在曲线y=f（x）上任意一点处的切线与直线x=0和y=x所围成的三角形面积为定值，并求出此定值．
19．（2025高二下·滨湖期中）已知函数f(x)=-ln(x+m).
（1）设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
（2）当m≤2时，证明f(x)>0.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A：，A错误；
B：，B错误；
C：， C错误；
D：，D正确.
故答案为：D
【分析】 利用基本初等函数导数公式和导数运算法则（和差、乘积、商的导数），逐项计算各选项的导数，与选项结果对比判断正误。
2．【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由，得，即；
由，得，则.
故答案为：C.
【分析】根据期望、方差的性质求解即可.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：若在上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立.
因为当且仅当，即时取等号，
所以.
因为是的真子集，即由推得出，推不出，
所以是的充分不必要条件；
故答案为：A.
【分析】判断充分必要条件需先明确命题p为真时m的取值范围，再通过集合间的包含关系判断推导方向。核心是将函数单调性转化为导数值恒非负，用参变分离和基本不等式求m的范围。
4．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：，并结合其图象，可得到如下情况，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减；
∴在取得极小值，在处取得极大值，只有两个极值点，故A、B、D错误，C正确；
故答案为： C.
【分析】根据的图像，结合的正负判断的符号，进而得到的单调性，确定极值点和极值类型。
5．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知：至多含4个5，
不含5，有种；含1个5，有种；含2个5，有种；含3个5，有种；
含4个5，有种，
综上，所有的可能情况共有种.
故答案为：A.
【分析】由题意可知：至多含4个5，分别计算不含5、含1个5，含2个5、含3个5和含4个5讨论，结合组合数公式求解即可.
6．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
因为，，所以．
故答案为：A．
【分析】先求函数的导函数，利用导数判断函数的单调性，求即可.
7．【答案】C
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式；概率的应用
【解析】【解答】解：记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
设，依题可知，，
则，
则，
设，解得，
则，
又因为，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，
则，，
则第次投篮的人是甲的概率为，
当时，.
故答案为：C.
【分析】记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，设，由题意可得，再根据数列知识构造等比数列，再结合等比数列的通项公式得出第三次投篮的人是甲的概率.
8．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，则，
∵当时，恒成立，即，
∴，即在上单调递减.
又函数是奇函数，∴，
∴函数为偶函数，在上单调递增.
∵，∴.
∴当或时，；
当或时，.
不等式等价于或，
∴或.
∴不等式的解集为.
故答案为：A.
【分析】构造辅助函数，利用导数判断的单调性，结合的奇偶性推出的奇偶性，再根据确定的零点，分区间讨论的符号，最终求解不等式解集。
9．【答案】A,B,C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；概率分布列
【解析】【解答】解：根据题意，随机变量的分布列为，
则有，解得，
则，
．
故答案为：ABC.
【分析】 利用分布列所有概率和为1的性质，先求出常数a，再分别计算各选项对应的概率值，逐一验证选项是否成立。
10．【答案】A,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：A：令可得，A正确.
B：，其展开式的第三项是，所以，B错误.
C：令可得，所以，D错误.
D：令可得，与相减可得，C正确.
故答案为：AC
【分析】本题核心是利用换元法将转化为含的二项式形式，再结合赋值法代入特殊值求解各系数，通过计算验证选项的正确性。
11．【答案】A,D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：，
∴被10除得的余数为1，而2011与2021被10除得的余数是1，
故答案为：AD．
【分析】 核心思路是先对a进行变形化简，利用二项式定理结合模运算的定义，求出a模 10 的余数，再逐一验证选项中数模 10 的余数，匹配余数的即为答案。
12．【答案】
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为函数满足，
所以，，则，
所以，.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数，再结合代入法，从而解方程得出的值.
13．【答案】30
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】由，
其展开式的通项为，，，
令，得的展开式的通项为，，，
令，得，
则的展开式中的系数为.
故答案为：30.
【分析】首先将作为一个整体即，利用二项式定理的通项公式进行展开，再对取，再对进行求通项公式，进而得到结果.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意得，函数
不妨设，即，
所以，即，，则，
令，可得，
令，可得，
所以单调递增，即单调递增，且，
当时，，当时，，
即当时，取得极小值同时也是最小值，
此时，
即的最小值为，所以的最大值为．
故答案为：．
【分析】设，将、用表示，构造关于的函数，通过求导分析单调性，进而求出的最大值。
15．【答案】（1）解：从0，2，4，6中任取3个数字有种，从1，3，5中任取2个数字有种，
五个数全排列有种，其中首位是零的有种，
所以一共可组成个没有重复数字的五位数；
（2）解：若比5000000大，则有七位数，且首位是5或6，
所以由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成个没有重复数字，并且比5000000大的正整数.
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1) 先分别计算从两组数字中选取数字的组合数，再对选出的5个数字全排列，最后减去首位为0的无效情况，得到符合要求的五位数个数。
(2) 比5000000大的正整数必为七位数，且首位只能是5或6，先确定首位，再对剩余6个数字全排列，得到总数。
16．【答案】（1）解：由题意可得，
整理可得，因为，解得；
（2）解：的展开式通项为，
令，可得，
则展开式中的常数项为，解得，
由不等式组，解得，
因为，所以，
则展开式中系数最大的项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据展开式得前三项的二项式系数和为，结合组合数公式列关于的方程，求的值即可；
（2）写出展开式的通项，令，求得r，再根据展开式的常数项为，解得，假设展开式中系数最大项为项，列不等式组求解即可.
（1）解：由题意可知，展开式中前三项的二项式系数之和为，
整理可得，因为，解得.
（2）解：的展开式通项为，
令，可得，
所以，展开式中的常数项为，解得，
由不等式组，解得.
因为，所以，，
因此，展开式中系数最大的项为.
17．【答案】（1）解：的可能值这0，1，，，
所以的分布列为：
0 1
数学期望，
方差为.
（2）解：令“玩手机时间超过2h的学生”，“玩手机时间不超过2h的学生”，“任意调查一人，此人近视”，
则，且互斥，，，
依题意，，
解得，
所以从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为0.1.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；全概率公式
【解析】【分析】(1) 这是一个超几何分布问题：先确定随机变量X的取值，计算“两球全是白球 的概率，进而得到“两球不全是白球”的概率，列出分布列后，再用离散型随机变量的期望、方差公式计算。
(2) 这是一个条件概率与全概率公式的应用问题：先划分“玩手机超过2h” 和“不超过2h”两个群体，结合全校近视率，求出 “玩手机不超过2h”群体的近视概率。
18．【答案】（Ⅰ）解：由题意的，解得，；
（Ⅱ）证明：设为曲线上任一点，
由知，曲线在点处的切线方程为，
当得，令，得，
所以点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为
.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(I) 核心思路：利用导数的几何意义（切线斜率等于函数在该点的导数），结合切点在切线上也在曲线上，建立方程组求解 。
(II) 核心思路：设曲线上任意一点，写出该点的切线方程，分别求出切线与 、 的交点坐标，再计算三角形面积，验证其与切点位置无关，为定值。
19．【答案】解：(1)函数，，由是的极值点得，可得，函数的定义域为，，函数在上单调递增，且，当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增；(2)当，时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当时，，当时，函数在上单调递增，又，，故f '(x)=0在上有唯一实根，且，当时，；当时，，从而当时，取得最小值，由f '(x0)=0得=，，故，综上，当时，．
（1）解：函数，，
由是的极值点得，可得，
函数的定义域为，，
函数在上单调递增，且，
当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：当，时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当时，，
当时，函数在上单调递增，
又，，故f '(x)=0在上有唯一实根，且，
当时，；当时，，从而当时，取得最小值，
由f '(x0)=0得=，，
故，
综上，当时，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的导函数，由题意可得，求得m的值，再求函数的定义域，求导，利用导数判断函数的单调性即可；
（2）只需证明当时，，当时，函数在上单调递增，f '(x)=0在上有唯一实根，且，利用导数判断函数的单调性，求最小值，由证明即可.
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