资源简介

江苏省无锡市锡东高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·无锡期中）已知某物体在运动过程中，其位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则该物体在时的瞬时速度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的四则运算；瞬时变化率
【解析】【解答】解：由题知，，
所以，
即该物体在时的瞬时速度为.
故答案为：A
【分析】物体的瞬时速度是位移函数对时间的导数，先对位移函数求导得到速度函数，再将代入速度函数计算即可。
2．（2025高二下·无锡期中）已知随机变量，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由，得，
则．
故答案为：B.
【分析】直接根据正态分布的性质直接求解即可.
3．（2025高二下·无锡期中）某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有（　　）
A．42种 B．36种 C．6种 D．12种
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一类：三名同学中有甲同学，则不同的安排有种；
第二类：三名同学中没有甲同学，则不同的安排有种；
根据分类加法原理可得共有种.
故答案为：B.
【分析】分三名同学中有甲同学和没有甲同学，利用分类加法原理求解即可.
4．（2025高二下·无锡期中）中项的系数为（　　）
A．56 B．69 C．70 D．55
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质；组合数公式
【解析】【解答】解：由题意得：项系数为：.
故答案为：B.
【分析】利用展开式的通项，结合组合数公式求解即可.
5．（2025高二下·无锡期中）为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教.现将5名男大学生和4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则在甲学校没有女大学生的条件下，每所学校都有男大学生的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设事件“每所学校都有男大学生”，事件“甲学校没有女大学生”，
则，，，
因此在甲学校没有女大学生的条件下，每所学校都有男大学生的概率为.
故答案为：C.
【分析】先记事件，再求，利用条件概率公式计算即可.
6．（2025高二下·无锡期中）已知随机变量的分布列为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由，解得，
则，则.
故答案为：C.
【分析】根据概率的性质求得a，再计算，最后根据期望的性质求即可.
7．（2025高二下·无锡期中）若函数是其定义域上的增函数，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由已知，得函数的定义域为，
，
整理，得，
设函数，则，
由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，所以，解得．
故答案为：D．
【分析】函数在定义域上为增函数等价于其导数在定义域内恒大于等于 0，先对函数求导并整理不等式，再构造新函数求其最小值，进而解出参数a的取值范围。
8．（2025高二下·无锡期中）设，，，则、、的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，求导可得，
当时，，函数单调递增，则，
即，则；
令，求导可得，当时，，单调递增，
则，即，即，
综上所述，．
故答案为：A．
【分析】构造函数，求导，利用导数判断函数在上的单调性判断、的大小关系，再构造函数，求导，利用导数判断函数在上的单调性，利用单调性判断、的大小关系，由此可得出、、的大小关系.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9．（2025高二下·无锡期中）已知展开式共有9项，且常数项为70，下列说法正确的是（　　）
A．
B．含项的系数为或
C．展开式的所有项的系数和为或0
D．二项式系数和为256
【答案】B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：A、因为展开式共有9项，则，故A错误；
D、二项式系数和为，故D正确；
B、展开式的通项为，
令，则，所以常数项为，解得，令，则，
则含项的系数为或，即或，故B正确；
C、令，则展开式的所有项的系数和为或，故C错误.
故答案为：BD.
【分析】根据展开式共有9项，求，即可判断A；根据二项式系数的性质求解即可判断D；写出展开式的通项，令，求得k，再根据常数项为70 ，求出，再求项的系数即可判断B；令求解即可判断C.
10．（2025高二下·无锡期中）某校派3名男同学和2名女同学参加冬令营，则下列说法正确的是（　　）
A．从5名同学中任选2人，至少有1名男同学和至少有1名女同学为对立事件
B．若5名同学排成一排合影留念，要求其中的2名女同学相邻，则有48种不同的排法
C．若5名同学和1位带队老师合影留念，要求这位老师与其中的甲、乙2名同学站在一起，且站在甲、乙中间，则有48种不同的排法
D．若将这5名同学分配到3个班进行宣讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班，则有150种不同的分配方案
【答案】B,C,D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、从5名同学中任选2人，可能选的是1名男同学和1名女同学，至少有1名男同学和至少有1名女同学同时发生，故A错误；
B、先排2名女同学并当成一个整体，与其余3名男同学排列，共种，故B正确；
C、先甲乙同学之间排列，再把老师和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列，则不同的排法种，故C正确；
D、将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班，则分配方案有种，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】根据对立事件的概念即可判断A； 2名女同学相邻，利用“捆绑法”求解即可判断B；先甲乙同学之间排列，再把老师和甲乙同学看作一个整体，利用“捆绑法”求解即可判断C；利用分组、分配求解即可判断D.
11．（2025高二下·无锡期中）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．函数有极小值
B．函数在处切线的斜率为4
C．当时，恰有三个实根
D．若时，，则的最小值为2
【答案】A,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
令，解得；令，解得或；
则在上单调递减，在上单调递增，
函数的极大值为，极小值为，
且当x趋近于，趋近于，当x趋近于，趋近于，
函数的图象，如图所示：
A、函数的极小值为，故A正确；
B、因为，所以函数在处切线的斜率为，故B错误；
C、方程根的个数，等价于函数与的交点个数，由图象可知：时，恰有三个实根，故C错误；
D、若时，，则，即的最小值为2，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值即可判断A；作出函数的图象，数形结合即可判断CD；利用导数的几何意义求解即可判断B.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．（2025高二下·无锡期中）已知随机变量，若，则　 　.
【答案】
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：因为随机变量，则，故，
由二项分布的方差公式可得.
故答案为：.
【分析】由二项分布的期望，方差可解.
13．（2025高二下·无锡期中）已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义；圆的切线方程
【解析】【解答】解：易知，，且，
所以直线，
它与两坐标轴的交点坐标分别为和，
可得，又，解得.
故答案为：
【分析】先求函数在点处的导数得到切线斜率，结合切点写出切线方程，再求出切线与坐标轴的交点坐标，最后根据三角形面积公式列方程求解的值。
14．（2025高二下·无锡期中）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为、、、的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，现在已知甲选择了号箱，则　 　；　 　.
【答案】；
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故；
奖品随机等可能分配到四个箱子中，因此、、、的概率均为，
奖品在号箱里，主持人可打开、、号箱，故，
奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故，
奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故，
奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故，
由全概率公式可得：.
故答案为：；.
【分析】先根据奖品所在箱的位置，直接计算条件概率；再利用全概率公式，对奖品在四个箱子的情况分类讨论，计算。
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·无锡期中）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行.
（1）求a的值；
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）解：函数定义域为，则，
则，而直线的斜率为，
因为曲线在点处的切线与直线平行，
则，解得；
（2）解：由（1）可知，函数定义域为，，
令，即，解得，
当时，函数单调递增，由，即，解得或，
即函数的单调递增区间为和，
当时，函数单调递减，由，即，解得，
即函数的单调递减区间为；
综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为.
【知识点】导数的几何意义；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义得切线的斜率，再根据两直线平行，斜率相等求a的值即可；
（2）由（1）可知，求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的单调区间即可.
（1）函数，则，
则，而直线的斜率为，
因为曲线在点处的切线与直线平行，
则，解得，
（2）由（1）可知，所以，定义域为，
，
令，即，化简可得，解得，
当时，函数单调递增。由，即，解得或，
所以的单调递增区间为和，
当时，函数单调递减，由，即，解得，
所以的单调递减区间为；
综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为.
16．（2025高二下·无锡期中）（1）已知，求的值；
（2）解不等式： .
【答案】（1）解：由题意得，
在中，
令，得，
令得，
所以；
（2）解：因为，可知，且，
整理可得，解得，
因为，，所以或.
【知识点】二项式系数；排列数公式
【解析】【分析】(1) 利用赋值法，分别令 和 ，得到所有项系数和与常数项，相减即可求出 。
(2) 先根据排列数定义确定 的取值范围，再代入排列数公式化简不等式，求解后结合 得到结果。
17．（2025高二下·无锡期中）为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株（，）古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示：
编号位置 ① ② ③ ④
山上 5 4 4 3
山下 4 2 2 1
（1）根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量；
（2）记出上、山下试验田古茶树产茶量方差分为，，根据样本数据估计与的大小关系；
（3）从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】（1）解：由山上试验田4株古茶树产茶量数据，
得样本平均数，
则山上试验田株古茶树产茶量估算为；
（2）解：山上，山下试验田古茶树产茶量平均数分别为4和，
故方差，，
故；
（3）解：由题意得，随机变量可以取，
随机变量的分布列为
9 8 7 6 5 4
随机变量的期望.
【知识点】极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 先计算山上样本的平均产茶量，用样本均值估计总体均值，再乘以山上总株数 得到总产量估计。
(2) 分别计算山上、山下样本的方差，比较大小得出 与 的关系。
(3) 列出所有可能的产茶量总和 ，计算对应概率得到分布列，再根据分布列求数学期望。
（1）由山上试验田4株古茶树产茶量数据，
得样本平均数，
则山上试验田株古茶树产茶量估算为；
（2）山上，山下试验田古茶树产茶量平均数分别为4和，
故方差，，
故；
（3）依题意，随机变量可以取，
随机变量的分布列为
9 8 7 6 5 4
随机变量的期望.
18．（2025高二下·无锡期中）（1）某大型电影院在春节期间推出了《哪吒2》等6部备受瞩目的大片，某天3个家庭同时来观看电影，若每个家庭可以自由选择一部影片观看，共有多少种选法？
（2）某市2025年初科创展览会上，，，三家科技公司分别推出了2件，3件，3件机器人进行展览，工作人员需要把8台不同型号的机器人排成一排，要求公司的产品相邻，公司的产品不相邻，共有多少种排法？
（3）树人中学组织的诗歌朗诵比赛决赛阶段有五个班级参赛，赛前各班的学生代表甲、乙、丙、丁、戊分别参与抽签决定出场顺序.抽完签后，甲说：“我们班不是第一个出场”，乙说：“我们班不是最后一个出场”，丙说：“我们班也不是最后一个出场，且前面出场班级数不少于后面出场班级数”.请你根据这些信息推测所有可能的出场顺序数.
【答案】解：（1）3个家庭依次选择，均有6种方法，根据分步计数原理可得不同的方法数为；
（2）由题意知，先可以使用“捆绑法”将家公司的产品排在一起，
再与公司的3件产品一起组成4个不同的元素的全排列，最后让公司产品插空，则符合条件的排法数为；
（3）若甲所在班级第5个出场，丙所在班级可以第3或第4个出场，
乙、丁、戊所在班级可以在其他场次出场，符合条件的出场顺序数为，
若甲所在班级不是第5个出场，则丁或戊所在班级第5个出场，丙所在班级可以第3或第4个出场，
甲在剩余的中间2场中选择一场，符合条件的出场顺序数为，
所以所有可能的出场顺序数为.
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）直接利用分步乘法计数原理求解即可；
（2）利用“捆绑法”，结合全排列，插空法求解即可；
（3）分甲所在班级第5个出场和甲所在班级不是第5个出场两种情况讨论即可.
19．（2025高二下·无锡期中）已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”.
（1）判断是否为“超导函数”，并说明理由；
（2）若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有，，记，求证：函数是“超导函数”；
（3）已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围.
【答案】（1）解：函数定义域为，求导得，则，所以是“超导函数”；；
（2）证明：函数，求导得，
则，
由函数与都是“超导函数”，得，
由对任意，都有，，得，
因此，即，
所以函数是“超导函数”；
（3）解：由函数是“超导函数”，得对任意，，
令，求导得，函数在上单调递减，且，
由，得，即，
因此，即，令，
由有且仅有一个实数满足，得直线与函数的图象有且只有1个交点，
，当时，；当时，，
函数在上单调递增，函数值的集合为，在上单调递减，函数值的集合为，
因此当或时，直线与函数的图象有且只有1个交点，
则的取值范围或.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，利用“超导函数”定义判断即可；
（2）求函数的导函数，作差变形，利用“超导函数”定义推理判断符号即可证明；
（3）由函数是“超导函数”，得对任意，，构造函数，求导，利用“超导函数”定义确定单调性可得，再构造函数，利用导数求出函数值集合，结合已知求的取值范围即可.
（1）函数，求导得，则，
所以是“超导函数”.
（2）函数，求导得，
则，
由函数与都是“超导函数”，得，
由对任意，都有，，得，
因此，即，
所以函数是“超导函数”.
（3）由函数是“超导函数”，得对任意，，
令，求导得，函数在上单调递减，且，
由，得，即，
因此，即，令，
由有且仅有一个实数满足，得直线与函数的图象有且只有1个交点，
，当时，；当时，，
函数在上单调递增，函数值的集合为，在上单调递减，函数值的集合为，
因此当或时，直线与函数的图象有且只有1个交点，
所以的取值范围或.
1 / 1江苏省无锡市锡东高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·无锡期中）已知某物体在运动过程中，其位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则该物体在时的瞬时速度为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·无锡期中）已知随机变量，且，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高二下·无锡期中）某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有（　　）
A．42种 B．36种 C．6种 D．12种
4．（2025高二下·无锡期中）中项的系数为（　　）
A．56 B．69 C．70 D．55
5．（2025高二下·无锡期中）为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教.现将5名男大学生和4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则在甲学校没有女大学生的条件下，每所学校都有男大学生的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·无锡期中）已知随机变量的分布列为，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·无锡期中）若函数是其定义域上的增函数，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·无锡期中）设，，，则、、的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9．（2025高二下·无锡期中）已知展开式共有9项，且常数项为70，下列说法正确的是（　　）
A．
B．含项的系数为或
C．展开式的所有项的系数和为或0
D．二项式系数和为256
10．（2025高二下·无锡期中）某校派3名男同学和2名女同学参加冬令营，则下列说法正确的是（　　）
A．从5名同学中任选2人，至少有1名男同学和至少有1名女同学为对立事件
B．若5名同学排成一排合影留念，要求其中的2名女同学相邻，则有48种不同的排法
C．若5名同学和1位带队老师合影留念，要求这位老师与其中的甲、乙2名同学站在一起，且站在甲、乙中间，则有48种不同的排法
D．若将这5名同学分配到3个班进行宣讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班，则有150种不同的分配方案
11．（2025高二下·无锡期中）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．函数有极小值
B．函数在处切线的斜率为4
C．当时，恰有三个实根
D．若时，，则的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．（2025高二下·无锡期中）已知随机变量，若，则　 　.
13．（2025高二下·无锡期中）已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数　 　.
14．（2025高二下·无锡期中）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为、、、的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，现在已知甲选择了号箱，则　 　；　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·无锡期中）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行.
（1）求a的值；
（2）求函数的单调区间.
16．（2025高二下·无锡期中）（1）已知，求的值；
（2）解不等式： .
17．（2025高二下·无锡期中）为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株（，）古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示：
编号位置 ① ② ③ ④
山上 5 4 4 3
山下 4 2 2 1
（1）根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量；
（2）记出上、山下试验田古茶树产茶量方差分为，，根据样本数据估计与的大小关系；
（3）从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望.
18．（2025高二下·无锡期中）（1）某大型电影院在春节期间推出了《哪吒2》等6部备受瞩目的大片，某天3个家庭同时来观看电影，若每个家庭可以自由选择一部影片观看，共有多少种选法？
（2）某市2025年初科创展览会上，，，三家科技公司分别推出了2件，3件，3件机器人进行展览，工作人员需要把8台不同型号的机器人排成一排，要求公司的产品相邻，公司的产品不相邻，共有多少种排法？
（3）树人中学组织的诗歌朗诵比赛决赛阶段有五个班级参赛，赛前各班的学生代表甲、乙、丙、丁、戊分别参与抽签决定出场顺序.抽完签后，甲说：“我们班不是第一个出场”，乙说：“我们班不是最后一个出场”，丙说：“我们班也不是最后一个出场，且前面出场班级数不少于后面出场班级数”.请你根据这些信息推测所有可能的出场顺序数.
19．（2025高二下·无锡期中）已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”.
（1）判断是否为“超导函数”，并说明理由；
（2）若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有，，记，求证：函数是“超导函数”；
（3）已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】导数的四则运算；瞬时变化率
【解析】【解答】解：由题知，，
所以，
即该物体在时的瞬时速度为.
故答案为：A
【分析】物体的瞬时速度是位移函数对时间的导数，先对位移函数求导得到速度函数，再将代入速度函数计算即可。
2．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由，得，
则．
故答案为：B.
【分析】直接根据正态分布的性质直接求解即可.
3．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一类：三名同学中有甲同学，则不同的安排有种；
第二类：三名同学中没有甲同学，则不同的安排有种；
根据分类加法原理可得共有种.
故答案为：B.
【分析】分三名同学中有甲同学和没有甲同学，利用分类加法原理求解即可.
4．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质；组合数公式
【解析】【解答】解：由题意得：项系数为：.
故答案为：B.
【分析】利用展开式的通项，结合组合数公式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设事件“每所学校都有男大学生”，事件“甲学校没有女大学生”，
则，，，
因此在甲学校没有女大学生的条件下，每所学校都有男大学生的概率为.
故答案为：C.
【分析】先记事件，再求，利用条件概率公式计算即可.
6．【答案】C
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由，解得，
则，则.
故答案为：C.
【分析】根据概率的性质求得a，再计算，最后根据期望的性质求即可.
7．【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由已知，得函数的定义域为，
，
整理，得，
设函数，则，
由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，所以，解得．
故答案为：D．
【分析】函数在定义域上为增函数等价于其导数在定义域内恒大于等于 0，先对函数求导并整理不等式，再构造新函数求其最小值，进而解出参数a的取值范围。
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，求导可得，
当时，，函数单调递增，则，
即，则；
令，求导可得，当时，，单调递增，
则，即，即，
综上所述，．
故答案为：A．
【分析】构造函数，求导，利用导数判断函数在上的单调性判断、的大小关系，再构造函数，求导，利用导数判断函数在上的单调性，利用单调性判断、的大小关系，由此可得出、、的大小关系.
9．【答案】B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：A、因为展开式共有9项，则，故A错误；
D、二项式系数和为，故D正确；
B、展开式的通项为，
令，则，所以常数项为，解得，令，则，
则含项的系数为或，即或，故B正确；
C、令，则展开式的所有项的系数和为或，故C错误.
故答案为：BD.
【分析】根据展开式共有9项，求，即可判断A；根据二项式系数的性质求解即可判断D；写出展开式的通项，令，求得k，再根据常数项为70 ，求出，再求项的系数即可判断B；令求解即可判断C.
10．【答案】B,C,D
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、从5名同学中任选2人，可能选的是1名男同学和1名女同学，至少有1名男同学和至少有1名女同学同时发生，故A错误；
B、先排2名女同学并当成一个整体，与其余3名男同学排列，共种，故B正确；
C、先甲乙同学之间排列，再把老师和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列，则不同的排法种，故C正确；
D、将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班，则分配方案有种，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】根据对立事件的概念即可判断A； 2名女同学相邻，利用“捆绑法”求解即可判断B；先甲乙同学之间排列，再把老师和甲乙同学看作一个整体，利用“捆绑法”求解即可判断C；利用分组、分配求解即可判断D.
11．【答案】A,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
令，解得；令，解得或；
则在上单调递减，在上单调递增，
函数的极大值为，极小值为，
且当x趋近于，趋近于，当x趋近于，趋近于，
函数的图象，如图所示：
A、函数的极小值为，故A正确；
B、因为，所以函数在处切线的斜率为，故B错误；
C、方程根的个数，等价于函数与的交点个数，由图象可知：时，恰有三个实根，故C错误；
D、若时，，则，即的最小值为2，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求极值即可判断A；作出函数的图象，数形结合即可判断CD；利用导数的几何意义求解即可判断B.
12．【答案】
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：因为随机变量，则，故，
由二项分布的方差公式可得.
故答案为：.
【分析】由二项分布的期望，方差可解.
13．【答案】
【知识点】导数的几何意义；圆的切线方程
【解析】【解答】解：易知，，且，
所以直线，
它与两坐标轴的交点坐标分别为和，
可得，又，解得.
故答案为：
【分析】先求函数在点处的导数得到切线斜率，结合切点写出切线方程，再求出切线与坐标轴的交点坐标，最后根据三角形面积公式列方程求解的值。
14．【答案】；
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故；
奖品随机等可能分配到四个箱子中，因此、、、的概率均为，
奖品在号箱里，主持人可打开、、号箱，故，
奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故，
奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故，
奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故，
由全概率公式可得：.
故答案为：；.
【分析】先根据奖品所在箱的位置，直接计算条件概率；再利用全概率公式，对奖品在四个箱子的情况分类讨论，计算。
15．【答案】（1）解：函数定义域为，则，
则，而直线的斜率为，
因为曲线在点处的切线与直线平行，
则，解得；
（2）解：由（1）可知，函数定义域为，，
令，即，解得，
当时，函数单调递增，由，即，解得或，
即函数的单调递增区间为和，
当时，函数单调递减，由，即，解得，
即函数的单调递减区间为；
综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为.
【知识点】导数的几何意义；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义得切线的斜率，再根据两直线平行，斜率相等求a的值即可；
（2）由（1）可知，求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的单调区间即可.
（1）函数，则，
则，而直线的斜率为，
因为曲线在点处的切线与直线平行，
则，解得，
（2）由（1）可知，所以，定义域为，
，
令，即，化简可得，解得，
当时，函数单调递增。由，即，解得或，
所以的单调递增区间为和，
当时，函数单调递减，由，即，解得，
所以的单调递减区间为；
综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为.
16．【答案】（1）解：由题意得，
在中，
令，得，
令得，
所以；
（2）解：因为，可知，且，
整理可得，解得，
因为，，所以或.
【知识点】二项式系数；排列数公式
【解析】【分析】(1) 利用赋值法，分别令 和 ，得到所有项系数和与常数项，相减即可求出 。
(2) 先根据排列数定义确定 的取值范围，再代入排列数公式化简不等式，求解后结合 得到结果。
17．【答案】（1）解：由山上试验田4株古茶树产茶量数据，
得样本平均数，
则山上试验田株古茶树产茶量估算为；
（2）解：山上，山下试验田古茶树产茶量平均数分别为4和，
故方差，，
故；
（3）解：由题意得，随机变量可以取，
随机变量的分布列为
9 8 7 6 5 4
随机变量的期望.
【知识点】极差、方差与标准差；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 先计算山上样本的平均产茶量，用样本均值估计总体均值，再乘以山上总株数 得到总产量估计。
(2) 分别计算山上、山下样本的方差，比较大小得出 与 的关系。
(3) 列出所有可能的产茶量总和 ，计算对应概率得到分布列，再根据分布列求数学期望。
（1）由山上试验田4株古茶树产茶量数据，
得样本平均数，
则山上试验田株古茶树产茶量估算为；
（2）山上，山下试验田古茶树产茶量平均数分别为4和，
故方差，，
故；
（3）依题意，随机变量可以取，
随机变量的分布列为
9 8 7 6 5 4
随机变量的期望.
18．【答案】解：（1）3个家庭依次选择，均有6种方法，根据分步计数原理可得不同的方法数为；
（2）由题意知，先可以使用“捆绑法”将家公司的产品排在一起，
再与公司的3件产品一起组成4个不同的元素的全排列，最后让公司产品插空，则符合条件的排法数为；
（3）若甲所在班级第5个出场，丙所在班级可以第3或第4个出场，
乙、丁、戊所在班级可以在其他场次出场，符合条件的出场顺序数为，
若甲所在班级不是第5个出场，则丁或戊所在班级第5个出场，丙所在班级可以第3或第4个出场，
甲在剩余的中间2场中选择一场，符合条件的出场顺序数为，
所以所有可能的出场顺序数为.
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】（1）直接利用分步乘法计数原理求解即可；
（2）利用“捆绑法”，结合全排列，插空法求解即可；
（3）分甲所在班级第5个出场和甲所在班级不是第5个出场两种情况讨论即可.
19．【答案】（1）解：函数定义域为，求导得，则，所以是“超导函数”；；
（2）证明：函数，求导得，
则，
由函数与都是“超导函数”，得，
由对任意，都有，，得，
因此，即，
所以函数是“超导函数”；
（3）解：由函数是“超导函数”，得对任意，，
令，求导得，函数在上单调递减，且，
由，得，即，
因此，即，令，
由有且仅有一个实数满足，得直线与函数的图象有且只有1个交点，
，当时，；当时，，
函数在上单调递增，函数值的集合为，在上单调递减，函数值的集合为，
因此当或时，直线与函数的图象有且只有1个交点，
则的取值范围或.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，利用“超导函数”定义判断即可；
（2）求函数的导函数，作差变形，利用“超导函数”定义推理判断符号即可证明；
（3）由函数是“超导函数”，得对任意，，构造函数，求导，利用“超导函数”定义确定单调性可得，再构造函数，利用导数求出函数值集合，结合已知求的取值范围即可.
（1）函数，求导得，则，
所以是“超导函数”.
（2）函数，求导得，
则，
由函数与都是“超导函数”，得，
由对任意，都有，，得，
因此，即，
所以函数是“超导函数”.
（3）由函数是“超导函数”，得对任意，，
令，求导得，函数在上单调递减，且，
由，得，即，
因此，即，令，
由有且仅有一个实数满足，得直线与函数的图象有且只有1个交点，
，当时，；当时，，
函数在上单调递增，函数值的集合为，在上单调递减，函数值的集合为，
因此当或时，直线与函数的图象有且只有1个交点，
所以的取值范围或.
1 / 1

展开更多......

收起↑