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人教版2024 八年级下册
第二十一章 四边形
单元测试·培优卷
三、知识点分布
一、单选题
1 0.94 三角形的稳定性及应用；四边形的不稳定性
2 0.85 利用平行四边形的性质求解
3 0.85 多边形内角和问题；三角形内角和定理的应用
4 0.65 与三角形的高有关的计算问题；根据正方形的性质求线段长
5 0.71 根据菱形的性质与判定求角度
6 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；利用菱形的性质求面积
7 0.65 等边对等角；利用矩形的性质求角度；等边三角形的判定和性质
8 0.64 与三角形中位线有关的求解问题；等边对等角
9 0.65 添一个条件成为平行四边形
10 0.65 折叠问题；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形；利用平行四边形的判定与性质求解
三、知识点分布
二、填空题
11 0.85 多边形外角和的实际应用
12 0.65 等边对等角；利用矩形的性质求角度；三角形内角和定理的应用
13 0.65 与三角形中位线有关的证明；证明四边形是矩形；证明四边形是菱形；中点四边形
14 0.5 全等的性质和SAS综合（SAS）；利用菱形的性质求线段长；三线合一；用勾股定理解三角形
15 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；根据三角形中线求面积
16 0.65 添一个条件成为平行四边形
三、知识点分布
三、解答题
17 0.85 求平行线间的距离
18 0.85 多边形内角和问题；同旁内角互补两直线平行
19 0.81 根据矩形的性质求线段长；证明四边形是矩形；利用菱形的性质求线段长；利用菱形的性质求面积
20 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明
21 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用平行四边形性质和判定证明
22 0.64 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用平行四边形性质和判定证明
23 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；矩形与折叠问题；利用菱形的性质求面积；证明四边形是菱形；证明四边形是平行四边形
24 0.45 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；用HL证全等（HL）；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第二十一章 四边形 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列生活中的实例应用了三角形的稳定性的是（ ）
A．学校大门口的伸缩门 B．用两颗钉子把木条固定在墙上
C．自行车的三角车架 D．把弯曲的河道改直
2．如图，在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在三角形纸片中剪去一个三角形得到四边形，且．纸片中的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
5．按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（ ）
A． B． C．48 D．96
7．如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E，F分别是，的中点，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在四边形中，对角线相交于点O，请添加一组条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（　）
A． B．
C． D．
10．如图，中，，将沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处，交于点E，若，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，五边形的一个内角是五边形的外角，则等于___________°．
12．如图，延长矩形的边到点，使，连接，若，则______．
13．如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，如此进行下去，得到四边形．有下列结论：①四边形是矩形；②四边形的周长是；③四边形是菱形；④四边形的面积为．其中正确的结论是_____．把所有正确结论的序号都填在横线处）
14．如图，在中，，，点D是上的动点，连接，在右侧作菱形，，点G是的中点，连接，则的最小值为______．
15．如图，在中，C是上一点，且，若E、F分别是、的中点，的面积为24，则的面积为___________．
16．如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．如图，在直角三角形中，，，，，若点到的距离是1，求与之间的距离．
18．如图，在四边形中，，E是边上的一点，且，求证：．
19．如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形面积．
20．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别为，的中点，连接，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，求线段的长．
21．在中，点是边的中点，点为中点，点在边上，交于点，点是上一点，连接，且．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，当，点是中点时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与全等的三角形（不包括本身）．
22．如图，的对角线、交于点，在、的延长线上分别取、两点，使．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
23．综合与实践：折纸中的数学．
【主题】四边形与折纸
【素材】如图①，一张矩形纸片，，．
(1)【实践操作1】
步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为；
步骤二：然后左右对折，折痕为；
步骤三：将原纸片展开还原后，如图②所示得到四边形．
【实践探索】
①四边形的形状为 ；
②求四边形的边上的高．
(2)【实践操作】
步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折；
步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕；
步骤三：将原纸片展开还原后，连接．如图③所示，得到四边形．
【实践探索】判断四边形的形状，并加以证明．
24．问题发现
(1)基本模型——十字架模型
如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论．
对于上述问题请选择一个命题加以证明．
(2)模型运用
如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点．
①若，求的值．
②如图3，若与交于点，连接，若，求证：．2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第二十一章 四边形 单元测试·培优卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A B D C C C B D
1．C
本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用．根据三角形的特性，判断各选项是否利用了三角形的稳定性．
解：A． 学校大门口的伸缩门应用了四边形的不稳定性；
B． 用两颗钉子把木条固定在墙上应用了两点确定一条直线；
C． 自行车的三角车架应用了三角形的稳定性；
D． 把弯曲的河道改直应用了两点之间线段最短；
∴ 应用了三角形的稳定性的是C，
故选：C．
2．A
根据平行四边形对角相等的性质，结合已知求出的度数，再利用邻角互补的性质计算的度数．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∴．
3．A
先在四边形中，运用四边形内角和为，求出，再在中，根据三角形内角和定理，求出的度数．
解：∵在四边形中，
，
又∵，
∴，
∵在中，
，
∴．
4．B
连接，由正方形的性质可得，，结合三角形的面积公式计算出即可．
解：如图，连接，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
用等面积法计算三角形的高是解题关键．
5．D
先证明四边形是菱形，再根据菱形的性质即可求得答案．
解：由作图可知，，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
6．C
由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
7．C
根据矩形性质得出，，，，根据等腰三角形的判定得出，证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质得出即可．
解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
8．C
根据中位线定理和已知，易证明是等腰三角形．
解：∵在四边形中，P是对角线的中点，E，F分别是，的中点，
∴，分别是与的中位线，
∴，，
∵，
∴，
故是等腰三角形．
∵，
∴．
9．B
解：A、添加，可以运用两组对边分别相等的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意；
B、添加，无法证明四边形是平行四边形，符合题意；
C、添加，可运用对角线相互平分的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意；
D、添加，可以运用两组对边分别平行的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意；
故选：B ．
10．D
连接，先根据轴对称的性质得出，，然后结合平行四边形的性质，求得，进而求出，再证明四边形是平行四边形，即可求得答案．
解：连接，
沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
四边形是平行四边形，
．
11．288
首先根据邻补角的性质求出 的外角，然后利用多边形的外角和定理，用减去 的外角，即可得到 的度数．
解：∵，
∴ 的外角为，
∵ 五边形的外角和为 ，
∴．
12．/57度
连接，与交于点，由矩形的性质可得，由等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，再根据，推出，即可求解．
解：如图，连接，与交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
13．①②③
根据三角形中位线定理以及矩形和菱形的判定定理可判断①②③结论；根据题意得出每得到一个新四边形，它的面积为原四边形面积的一半，可判断④结论．
解：顺次连接四边形各边中点，得到四边形，
由三角形中位线定理可知，，，，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴四边形是矩形且相邻边长为、，
∴四边形的周长是，
故①②正确．
连接、
∵四边形是矩形，
∴，
由三角形中位线定理可知，，， ，
∴四边形是平行四边形，且，
∴四边形是菱形；
故③正确．
由题意可知，四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，．
∴每得到一个新四边形，它的面积为原四边形面积的一半，
∴四边形的面积为，故④错误．
14．
过点A作于点O，取点H为的中点，连接，证明，则的最小值即为的最小值．当时取最小值，证明的长为，所以根据勾股定理求出的长，则的最小值即为的长．
解：如图，过点A作于点O，取点H为的中点，连接，
则，
点G是的中点，
，
在菱形中，，，
，
，
即，
，
，
则当最小时，最小，
如图，当时，取最小值，
点是的中点，，
，
，
，
，
根据勾股定理可得，
，
即最小值为．
15．4
由，可得，，结合、分别是、的中点，可得，进一步可得答案．
解：连接．

∵的面积为24，，
∴，，
、分别是、的中点，
，，，
．
16．2或3
分两种情况讨论：①设t秒后四边形是平行四边形；根据题意得：厘米，厘米，由得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，由得出方程，解方程即可．
解：①设经过t秒四边形是平行四边形，
根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴， 解得，
即经过2秒四边形为平行四边形；
②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形，
根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴ 解得．
综上，经过2秒或3秒直线将四边形截出一个平行四边形．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解．
17．
本题主要考查了平行线间的距离，关键是掌握三角形的面积公式．根据三角形的面积和点到直线的距离解答即可．
解：因为在直角三角形中，，，，，
所以点到的距离，
因为，
所以与的距离是．
18．见解析
此题主要考查了平行线的判定以及多边形内角和定理，根据已知得出是解题关键．
根据题意结合四边形内角和定理得出，则即可得出答案．
证明：在四边形中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．(1)证明见解析
(2)
（1）由菱形的性质可得，结合，，命题得证；
（2）根据矩形和菱形的性质可得，，从而计算出菱形的面积．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴．
20．(1)见解析
(2)
（1）根据平行四边形的性质得到，，再根据点，分别为，的中点，得到四边形的对角线互相平分，从而得证；
（2）运用勾股定理求出，再根据斜边上的中线等于斜边的一半求出即可．
（1）证明：在平行四边形中，对角线，交于点，
，，
点，分别为，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
（2），，
，
，
点为的中点，，
．
掌握平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解．
21．(1)见解析
(2)，，，．
本题主要考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定，三角形的中位线定理等：
（1）根据三角形中位线定理及平行线的判定，分别证明和即可；
（2）根据全等三角形的判定定理，分别证明与，，，全等即可．
（1）∵点是边的中点，点为中点，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，，．
∴．
∵点为中点，
∴ ．
又∵，，
∴．
∵，点是中点，
∴．
∵点是边的中点，点为中点，，
∴．
∴，．
∴．
∴．
∴．
∵点是边的中点，点为中点，
∴．
∵点是中点，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
又∵，，
∴．
综上所述，图中与全等的三角形为，，，．
22．(1)见解析
(2)见解析
（1）由平行四边形的性质得，，再由平行线的性质得，则，然后由证明即可；
（2）由平行四边形的性质得，，再由全等三角形的性质得，进而得，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
又，
；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
由（1）可知，，
，
＋＋，
即，
四边形是平行四边形．
23．(1)①菱形；②
(2)四边形是菱形，证明见解析
（）①由折叠可知对角线互相垂直且平分，据此即可得解；②先求出菱形的面积和边长，再利用等面积即可得解；
（）由折叠可得，，由矩形可得，从而有，进而可证，则有，再根据菱形的判定即可求证．
（1）解：①由折叠可知：与互相垂直平分，
∴四边形为菱形．
故答案为：菱形；
②由折叠可得：，，
∴，菱形边长，
∴菱形的高为；
（2）解：四边形是菱形，证明如下：如图③，
由折叠可得：，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是菱形．
本题考查了轴对称的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)①；②见解析
（1）①根据正方形的性质以及同角的余角相等，找到相等的边和角，利用证明，进而可得；
②根据正方形的性质得内角为，根据证明，得，进而得，从而证明；
（2）①先根据勾股定理求的长，记与相交于点，由翻折得、，根据等面积法得，进而根据计算；
②根据正方形和翻折性质得，根据，翻折后和的性质证明，根据等腰三角形三线合一得，由得，由得，由翻折得，等量代换后，根据证明．
（1）选择①，证明如下：
证明：四边形是正方形，
，，
，
，，，
，
在和中，
，
，
；
选择②，证明如下：
证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（2）①解：四边形是正方形，，
，
在中，，
由翻折得，垂直平分，
记与相交于点，则，且，
在中，
，即，
解得，，
；
②证明：由翻折得，，，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
由翻折得，垂直平分，
是等腰三角形，是的角平分线，
，
在中，，，
在中，，，
，
，
，，
在和中，
，
．

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