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甘肃武威市武威第十七中学、武威第四中学2025-2026学年第二学期九年级一模数学试卷
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．若式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．
3．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，等腰的顶角，将绕点A逆时针旋转，的对应边恰好经过点C，则旋转角的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的直径，，是上两点，连接，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．我国计划在2026年发射嫦娥七号探测器，开展月球南极的科学探测．某校航天社团为筹备航天主题科普展，准备从“玉兔一号月球车”“嫦娥五号返回舱”“嫦娥六号钻取器”“嫦娥七号飞跃器”“鹊桥中继星”这五个航天科普模型中随机选取两个布置展区，则恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点和点都是反比例函数的图象上的两点，下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
8．如图，中，点、分别为、上一点，、交于，且，．则值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知抛物线与轴负半轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴与轴的交点为，当时，的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
10．如图， 二次函数的图象与 x 轴负半轴相交于A、B 两点， 与 y轴相交于点 C，对称轴为直线，且，则下列结论：
；；；关于 x 的方程有一个根为；其中正确的结论个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题
11．因式分解：_____．
12．若方程的两根分别为和，则________．
13．如图，正方形的边在的边上，点在边上，，，点为射线上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当取最小值时，则___________．
14．如图，是的切线，点是上一点，连接，，连接并延长交于点，的延长线交于点，若，，则________．
15．如图，，是反比例函数图象上的点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接，，若，，则的值为_______．
16．如图，点是内部一点，且，延长交于点．已知，则______．
17．如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交射线，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，3为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，，则__________．
18．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的表面积为______．
三、解答题
19．如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是．
(1)将向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到，请画出，并直接写出点的坐标为___________；
(2)画出关于原点对称的，并直接写出点的坐标为___________．
20．计算或解方程：
(1)解方程：；
(2)计算：．
21．某飞机模型今年月份的销售量是件，月份的销售量是件．
(1)若月份到月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率；
(2)另据市场调查发现，该飞机模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？
22．在中，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，旋转角为，点的对应点为点，点的对应点为点．如图所示，设边与交于点，边分别交于点．
(1)求证：；
(2)当为等腰三角形时，请直接写出的长；
23．如图， 是的切线，为切点，是的直径，是上的一点，，连接交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数(k为常数，且，)的图象交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点是反比例函数图象在第一象限上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长．
25．如图，为的直径，点在上，与过点的切线垂直，垂足为，过点的切线与的延长线交于点，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)若点为的中点，，求的长．
26．为监测湘江水位变化及沿岸地形，测绘人员在长沙橘子洲头操控一架无人机进行高空测量．如图，无人机在湘江上方距水面的处，测得南岸点与北岸点的俯角分别为和，已知三点共线（点为在水平面上的垂直投影），且．求观测点之间的距离．（结果保留根号）
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）经过点，其对称轴是直线．点A在这个抛物线上，其横坐标为m，点B，C的坐标分别为，，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点构造矩形．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)当点A，B重合时，求m的值；
(3)当抛物线的最低点在矩形的边上时，设该矩形与抛物线交点的纵坐标和抛物线最低点的纵坐标之差为，求h的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B B D A B B A C
1．C
【详解】解：的相反数是．
2．B
【详解】解：∵式子有意义，
∴且，
解得且．
3．B
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得．
4．B
【详解】解：∵等腰的顶角，
∴；
由旋转得，，
∴，
∴，
∴旋转角的度数为．
5．D
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
6．A
【详解】解：设“玉兔一号月球车”“嫦娥五号返回舱”“嫦娥六号钻取器”“嫦娥七号飞跃器”“鹊桥中继星”分别为，
可画树状图为：
由树状图可知一共有20种等可能性的结果数，其中恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的结果数有2种，
∴恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的概率是．
7．B
【详解】解：由条件可知反比例函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大，
A、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故A不正确，不符合题意；
B、当时，，，此时点A在第二象限，点B在第四象限，，故B正确，符合题意；
C、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故C不正确，不符合题意；
D、当时，，，此时点A在第四象限，点B在第二象限，，故D不正确，不符合题意．
8．B
【详解】解：过点作，交于点，
∵， ，
∴(两直线平行，内错角相等)，
又∵(对顶角相等)，
∴，
∴，
∵，
∴（平行线判定相似），
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
设，则，
，
∴．
9．A
【详解】解：∵抛物线，
令，得，
又在轴负半轴，
∴，得，
抛物线与轴交点为，，
∴对称轴为，对称轴与轴交点，
将代入抛物线解析式，得，
∴顶点，．
过作交的延长线于，
∴，
在中，，，
其中，
∵，
∴，
解得．
10．C
【详解】解：由抛物线的开口可知：，
由抛物线与y轴的交点可知：，
由抛物线的对称轴可知：，
∴，
∴，故①正确；
当时，，
故②正确；
∵，
∴，故③错误；
∵，，，
∴，
代入得到
，
∴，
∵，
∴，
∵，点的坐标为，点位于轴正半轴，点位于轴负半轴，
∴点的坐标为．
因为二次函数的图象过点，可得
．
化简，得
．
∵．
∴将代入，得
．
可得．
所以，点的坐标为．
设点的坐标为．
根据题意可得
．
则．
所以，点的坐标为．
所以，关于的方程的两个解为，．
故④正确；
综上可知， 正确的是①②④．
11．
【详解】解： ．
12．/
【详解】解：在方程中，，，
∴，
13．
【详解】解：连接，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴当取最小值时，也取得最小值，
∴当时，取得最小值，
如图，作于点，延长交于点，
∵，，四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得．
14．
【详解】解：是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
．
15．
【详解】解：如图，连接．
，
，
，
，
．
16．
【详解】解：过点作交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴．
17．/
【详解】解：如图，连接，交于点，
由题意得：，，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
18．
【详解】解：观察三视图发现该几何体为圆锥，
其底面直径为，母线长为，
所以其侧面积为：，底面积为：，
所以全面积为：．
故答案为：．
19．(1)图见解析，
(2)图见解析，
【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为；
（2）解：如图，即为所求，点的坐标为．
20．(1)；
(2)5
【详解】（1）解：，
，
解得；
（2）解：
．
21．(1)
(2)
元
【详解】（1）解：设月平均增长率为，
根据题意可得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
，
答：月平均增长率为；
（2）解：设应降价元，则每天的销量为件，每个模型的利润为元，
根据题意可得：，
整理可得：，
解得：，，
为了尽量减少库存，应降价元，
答：售价应降低元．
22．(1)见解析
(2)或
【详解】（1）证明：将绕点按逆时针方向旋转，得到，
则，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，
，则，则；
设，
当时，则点、、重合，构不成三角形，
故该种情况不存在；
当时，如图：
则，
而，
，
则，
由（1）知，，则，
则，
则；
当时，如图，
则，
则，
，
则，
则，
综上，或．
23．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的切线，
，
，
，，，
，
，
，
又点在上，
是的切线；
（2）解：，
，
又，，
，，
，
，
是的直径，是上的一点，
，
又，
．
∴
∴在中，．
24．(1)反比例函数的表达式为
(2)
【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上，
∴将代入，得：，即．
∵点在反比例函数的图象上，
∴将代入，得：，解得．
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴将代入，得：，解得，即．
∵轴，
∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，
将代入，得：，解得，即．
∴．
25．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，连接，
直线为的切线，
，
与切线垂直，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2），
，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
解得，
即．
26．
【详解】解：已知，，
无人机在处观测的俯角分别为和，
在中：，，
∴
在中：，，
∴，即，
解得：，
∴．
答：观测点之间的距离为．
27．(1)
(2)或
(3)1或36
【详解】（1）抛物线（b，c是常数）经过点，其对称轴是直线，
，解得，
该抛物线的函数解析式为．
（2）点在这个抛物线上，其横坐标为m，
．
点，重合，点，
，
解得或．
（3）解：，
抛物线的顶点坐标为．
抛物线的开口方向向上，
抛物线的最低点为．
点在这个抛物线上，
抛物线的最低点可能在，边上．
①抛物线的最低点在边上时，抛物线的最低点与点重合，如答图所示，
，
，
，，
点，均在y轴上，
该矩形与抛物线交点即为抛物线与轴的交点．
令，则，
抛物线与y轴交于点，
该矩形与抛物线交点的纵坐标为，
；
②抛物线的最低点在边上时，如答图所示，
，
，
，，，，
．
综上所述，的值为或．

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