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浙江省金华市曙光学校2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题
一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2025高一下·金东期中）若O，A，B是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是
A． B．
C． D．
2．（2025高一下·金东期中）设复数，则的实部与虚部的和为（　　）
A． B．1 C．5 D．7
3．（2025高一下·金东期中）若在中，，则等于 （　　）
A． B． C． D．
4．（2025高一下·金东期中）为了解某小区户主对楼层的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取40%的户主进行调查，已知该居民小区户主人数和户主对楼层的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的低层户主中满意的人数分别为（　　）．
A．240，32 B．320，32 C．240，80 D．320，80
5．（2025高一下·金东期中）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（　　）
A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5
6．（2025高一下·金东期中）自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱.已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·金东期中） 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（　　）
A．与为对立事件 B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件
8．（2025高一下·金东期中）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知分别是三个内角的对边，且，，若点P为的费马点，则（　　）
A． B． C． D．
二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9．（2025高一下·金东期中）下列说法中正确的是（　　）
A．圆柱的母线和它的轴可以不平行
B．圆柱 圆锥 圆台的底面都是圆面
C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
D．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括一个圆柱 两个圆锥
10．（2025高一下·金东期中）高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（　　）
A．学生成绩众数估计为75分
B．考生成绩的第75百分位成绩估计为80分
C．在内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01
D．从和内各抽1名学生，抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13
11．（2025高一下·金东期中）三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．若面积为，则周长的最小值为12
C．当，时，
D．若，，则面积为
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（2025高一下·金东期中）若向量与向量方向相反，则　 　．
13．（2025高一下·金东期中）某班成立了两个数学兴趣小组，组人，组人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，组的平均成绩为分，方差为，组的平均成绩为分，方差为．则在这次测试中全班学生方差为　 　．
14．（2025高一下·金东期中）A与B二人进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，A手中有3张两两不同的牌，B手上有4张牌，其中3张牌与A手中的牌相同，另一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同．游戏规则为：
（ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，A先从B手中抽取；
（ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃；
（ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家；
假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同，则A获胜的概率为　 　．
四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）
15．（2025高一下·金东期中）已知复数的共轭复数为.
（1）若，求：；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，且，求的取值范围.
16．（2025高一下·金东期中）如图，在中，是上的点，，，，.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
17．（2025高一下·金东期中）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数；
（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②．
18．（2025高一下·金东期中）袋中装有大小完全相同的6个红球，3个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2.
（1）每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率；
（2）从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件第一次取到的是红球，事件第二次取到了标记数字1的球，求，并判断事件与事件是否相互独立.
19．（2025高一下·金东期中）在锐角中，内角的对边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量减法运算
【解析】【解答】解：由平面向量的线性运算可知，.
故答案为：B
【分析】根据平面向量减法的三角形法则：从起点指向终点的向量，等于终点位置向量减去起点位置向量，直接推导 的表达式。
2．【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念
【解析】【解答】解：由知实部为3，虚部为，故实部与虚部的和为.
故答案为：A.
【分析】根据复数的定义，形如 （）的数中， 是实部， 是虚部，本题直接提取实部和虚部后求和即可。
3．【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：根据正弦定理有，
由余弦定理得，
所以.
故答案为：A
【分析】利用正弦定理将正弦比转化为边长比，再通过余弦定理求出 cosB，最后结合同角三角函数的平方关系计算 sinB。
4．【答案】B
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图
【解析】【解答】解：由图1所示，可得小区共有（人），
则样本容量为（人）．
低层户主共有400人，满意率为20%，
故抽取的低层户主中满意的人数为（人）.
故答案为：B．
【分析】 先从扇形图中算出小区总户数，按 40% 的抽样比例求出样本容量；再针对低层住户，先算出抽样人数，结合满意率求出其中满意的人数。
5．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由随机事件和互斥可知，
由，
将代入计算可得，
又和对立，可得，解得.
故答案为：B
【分析】先利用互斥事件的概率加法公式求出 P(A)，再根据对立事件的概率性质计算 P(C)。
6．【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：根据题意，甲、乙两人中至少有一人射中10环的对立事件为甲、乙两人都没有射中10环，则甲、乙两人都没有射中10环的概率，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率.
故答案为：D．
【分析】根据题意，甲、乙两人中至少有一人射中10环的对立事件为甲、乙两人都没有射中10环，先计算甲、乙两人都没有射中10环的概率，再利用对立事件的概率公式计算可得.
7．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下：
，共36个样本点．
则事件包括，共6个，，
事件包括
，共18个，，
事件包括，共5个，，
事件包括，共6个，.
对于A，，所以与不为对立事件，故A错误；
对于B，事件包括，则，又，，
所以，即与不相互独立，故B错误；
对于C，事件包括，则，又，，
所以，即与相互独立，故C正确；
对于D，事件包括，则，即与不为互斥事件，故D错误.
故选：C.
【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由即可判断A；由即可判断B；由即可判断C，由即可判断D.
8．【答案】C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；两角和与差的余弦公式；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：，
即，
又，
，
即，
， 又.
由三角形内角和性质知：△ABC内角均小于120°，结合题设易知：P点一定在三角形的内部，
再由余弦定理知，，，
，
.
由等号左右两边同时乘以可得：
，
.
故答案为：C.
【分析】先通过三角恒等变换和余弦定理求出角 与 的值，再利用“费马点”定义（连线两两成 ），结合向量数量积公式计算 。
9．【答案】B,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】A：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故A错误；
B：圆柱 圆锥 圆台的底面都是圆面，故B正确；
C：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故错误；
D：图①是一个等腰梯形，为较长的底边，
以边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，
如图②，包括一个圆柱 两个圆锥，正确；
故答案为：BD.
【分析】根据圆柱、圆锥、圆台的定义和性质，以及旋转体的形成规则，逐一分析每个选项的正确性。
10．【答案】A,B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；用频率估计概率；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由频率分布直方图得，成绩在的频率最高，所以估计成绩的众数为75分，故A正确；
因为，所以估计第75百分位成绩为80分，故B正确；
因为成绩在内的人数为，所以随机抽取一名学生访谈，甲被抽取的概率为，故C错误；
记从抽取的1名学生为a，从抽取的1名学生为b，从抽取的2名学生为c，d，则从这4人中抽取2人，所有的可能结果为ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种，其中不同组的有ab，ac，ad，bc，bd，共5种，所以这2人来自不同组的概率为，故D错误；
故答案为：AB.
【分析】根据频率分布直方图的性质，分别计算众数、第 75 百分位数，并结合古典概型判断各选项正误。
11．【答案】A,B,D
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，由题意可得，
整理得，
由正弦定理边角互化得，
又由余弦定理得，所以，A正确；
当时，，所以，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以，B正确；
由当，时，，解得，C错误；
由，得，由正弦定理得解得，
又因为，
所以，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】先对已知等式化简，结合正弦定理、余弦定理求出角C，再分别分析面积、周长、边长及面积计算的命题真假。
12．【答案】
【知识点】平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】解：若向量与向量方向相反可得：，
因为方向相反所以x=-4
故答案为：-4
【分析】两个向量方向相反，说明它们共线且系数为负数，即 （），利用向量共线的坐标关系列方程求解。
13．【答案】
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：依题意可知，
，，，，
∴（分），
∴全班学生的平均成绩为分，
所以，全班学生成绩的方差为：
故答案为：.
【分析】利用各层方差与总体方差之间的关系式，从而得出全班学生的方差.
14．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：记初始手上张牌时，胜的概率为，
①当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为
若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为，
若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为，
若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 甲不可能获胜，此情况不存在，
所以，解得，
②当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为
若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为，
若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为，
若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 甲不可能获胜，此情况不存在，
所以，解得，
③当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为
若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜的概率为，
若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为，
若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”，此轮结束后有3张牌，包含一张“鬼牌”，有2张牌，当再抽一次时，有2张牌，包含一张“鬼牌”，有1张牌，有2张牌，包含一张“鬼牌”，有1张牌，此时胜的对立事件为当有1张牌，有2张牌，包含一张“鬼牌”，此时胜，
则若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”，胜的概率为，所以，解得，
故答案为：.
【分析】通过状态递推与分类讨论求解A获胜的概率，先定义A持有n张普通牌、B持有n张普通牌加1张鬼牌时A的获胜概率为P ，从最小状态P1开始逐步推导至P2、P3，每次抽牌分抽到普通牌和鬼牌两类，结合条件概率建立递推方程求解.
15．【答案】(1)解：由题意得，，，则，
于是得，
所以；
(2)解：由(1)及得：，即，则，
因为在复平面内对应的点在第四象限，于是得，解得，
所以的取值范围为.
【知识点】复数的模；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【分析】(1) 利用共轭复数定义和复数模的性质，直接计算 。
(2) 先根据复数运算和相等条件求出 、 的关系，再结合第四象限点的坐标符号列不等式求解 的范围。
16．【答案】解：（1）在中，
又，所以.
（2）由（1）知，，所以，
又，所以，，
由，知，
所以
【知识点】解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 在 中，已知三边长度，直接用余弦定理求出 ，进而得到角 。
(2) 先由三角形内角和求出 ，再解 得到 和 的长度，最后用三角形面积公式计算 的面积。
17．【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，解得，身高在及以上的学生人数（人）．
（2）解：的人数占比为％，
的人数占比为％，
所以该校100名生学身高的75％分位数落在，
设该校100名生学身高的75％分位数为，
则％，解得，
故该校100名生学身高的75％分位数为．
（3）解：由题得①；②
又
同理，
∴
.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1) 利用频率分布直方图中所有矩形面积和为 1 的性质求解x，再计算身高 170cm 及以上的频率，结合总人数求对应人数；
(2) 先确定 75% 分位数所在的区间，再根据分位数计算公式求解；
(3) ①根据加权平均数的定义推导总样本平均数；
②利用方差的定义和代数变形，结合总平均数公式推导总样本方差。
18．【答案】（1）解：第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为3，
即抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率：，
第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为3，
即抽到的是蓝2红1或者蓝1红2的概率，
则所求的概率为.
（2）解：“第一次取到的是红球”的概率，
“第二次取到了标记数字1的球”即取到的是数字2，1或者1，1，概率，
“第一次取到红球且第二次取到了标记数字1的球”即抽到的为红1数字1或者红2数字1，概率.
因为成立，所以事件与事件相互独立.
【知识点】条件概率与独立事件；条件概率
【解析】【分析】(1) 有放回抽取两次，需分“先红后蓝”和“先蓝后红”两类，分别计算满足“1个红球且数字和为3”的概率，再相加。
(2) 先分别计算 、，再计算 ，验证 是否成立，判断事件独立性。
（1）第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为3，即抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率：，
第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为3即抽到的是蓝2红1或者蓝1红2的概率，
则所求的概率为.
（2）“第一次取到的是红球”的概率，
“第二次取到了标记数字1的球”即取到的是数字2，1或者1，1，概率，
“第一次取到红球且第二次取到了标记数字1的球”即抽到的为红1数字1或者红2数字1，概率.
因为成立，所以事件与事件相互独立.
19．【答案】（1）解：
整理得，故
又，所以；
（2）解：由锐角知，
得，
故
，
因为，得，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；解三角形的实际应用；辅助角公式
【解析】【分析】(1) 利用向量数量积公式和余弦定理，将已知等式转化为关于 的表达式，进而求出角 。
(2) 由 得 ，将 化简为单一三角函数，结合锐角三角形角的范围求取值范围。
（1）整理得，故
又，所以；
（2）由锐角知，
得，
故
，
因为，得，
所以.
1 / 1浙江省金华市曙光学校2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题
一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2025高一下·金东期中）若O，A，B是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量减法运算
【解析】【解答】解：由平面向量的线性运算可知，.
故答案为：B
【分析】根据平面向量减法的三角形法则：从起点指向终点的向量，等于终点位置向量减去起点位置向量，直接推导 的表达式。
2．（2025高一下·金东期中）设复数，则的实部与虚部的和为（　　）
A． B．1 C．5 D．7
【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念
【解析】【解答】解：由知实部为3，虚部为，故实部与虚部的和为.
故答案为：A.
【分析】根据复数的定义，形如 （）的数中， 是实部， 是虚部，本题直接提取实部和虚部后求和即可。
3．（2025高一下·金东期中）若在中，，则等于 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：根据正弦定理有，
由余弦定理得，
所以.
故答案为：A
【分析】利用正弦定理将正弦比转化为边长比，再通过余弦定理求出 cosB，最后结合同角三角函数的平方关系计算 sinB。
4．（2025高一下·金东期中）为了解某小区户主对楼层的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取40%的户主进行调查，已知该居民小区户主人数和户主对楼层的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的低层户主中满意的人数分别为（　　）．
A．240，32 B．320，32 C．240，80 D．320，80
【答案】B
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图
【解析】【解答】解：由图1所示，可得小区共有（人），
则样本容量为（人）．
低层户主共有400人，满意率为20%，
故抽取的低层户主中满意的人数为（人）.
故答案为：B．
【分析】 先从扇形图中算出小区总户数，按 40% 的抽样比例求出样本容量；再针对低层住户，先算出抽样人数，结合满意率求出其中满意的人数。
5．（2025高一下·金东期中）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（　　）
A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由随机事件和互斥可知，
由，
将代入计算可得，
又和对立，可得，解得.
故答案为：B
【分析】先利用互斥事件的概率加法公式求出 P(A)，再根据对立事件的概率性质计算 P(C)。
6．（2025高一下·金东期中）自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱.已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：根据题意，甲、乙两人中至少有一人射中10环的对立事件为甲、乙两人都没有射中10环，则甲、乙两人都没有射中10环的概率，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率.
故答案为：D．
【分析】根据题意，甲、乙两人中至少有一人射中10环的对立事件为甲、乙两人都没有射中10环，先计算甲、乙两人都没有射中10环的概率，再利用对立事件的概率公式计算可得.
7．（2025高一下·金东期中） 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（　　）
A．与为对立事件 B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下：
，共36个样本点．
则事件包括，共6个，，
事件包括
，共18个，，
事件包括，共5个，，
事件包括，共6个，.
对于A，，所以与不为对立事件，故A错误；
对于B，事件包括，则，又，，
所以，即与不相互独立，故B错误；
对于C，事件包括，则，又，，
所以，即与相互独立，故C正确；
对于D，事件包括，则，即与不为互斥事件，故D错误.
故选：C.
【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由即可判断A；由即可判断B；由即可判断C，由即可判断D.
8．（2025高一下·金东期中）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知分别是三个内角的对边，且，，若点P为的费马点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；两角和与差的余弦公式；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：，
即，
又，
，
即，
， 又.
由三角形内角和性质知：△ABC内角均小于120°，结合题设易知：P点一定在三角形的内部，
再由余弦定理知，，，
，
.
由等号左右两边同时乘以可得：
，
.
故答案为：C.
【分析】先通过三角恒等变换和余弦定理求出角 与 的值，再利用“费马点”定义（连线两两成 ），结合向量数量积公式计算 。
二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9．（2025高一下·金东期中）下列说法中正确的是（　　）
A．圆柱的母线和它的轴可以不平行
B．圆柱 圆锥 圆台的底面都是圆面
C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
D．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括一个圆柱 两个圆锥
【答案】B,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】A：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故A错误；
B：圆柱 圆锥 圆台的底面都是圆面，故B正确；
C：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故错误；
D：图①是一个等腰梯形，为较长的底边，
以边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，
如图②，包括一个圆柱 两个圆锥，正确；
故答案为：BD.
【分析】根据圆柱、圆锥、圆台的定义和性质，以及旋转体的形成规则，逐一分析每个选项的正确性。
10．（2025高一下·金东期中）高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（　　）
A．学生成绩众数估计为75分
B．考生成绩的第75百分位成绩估计为80分
C．在内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01
D．从和内各抽1名学生，抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13
【答案】A,B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；用频率估计概率；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由频率分布直方图得，成绩在的频率最高，所以估计成绩的众数为75分，故A正确；
因为，所以估计第75百分位成绩为80分，故B正确；
因为成绩在内的人数为，所以随机抽取一名学生访谈，甲被抽取的概率为，故C错误；
记从抽取的1名学生为a，从抽取的1名学生为b，从抽取的2名学生为c，d，则从这4人中抽取2人，所有的可能结果为ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种，其中不同组的有ab，ac，ad，bc，bd，共5种，所以这2人来自不同组的概率为，故D错误；
故答案为：AB.
【分析】根据频率分布直方图的性质，分别计算众数、第 75 百分位数，并结合古典概型判断各选项正误。
11．（2025高一下·金东期中）三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．若面积为，则周长的最小值为12
C．当，时，
D．若，，则面积为
【答案】A,B,D
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，由题意可得，
整理得，
由正弦定理边角互化得，
又由余弦定理得，所以，A正确；
当时，，所以，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以，B正确；
由当，时，，解得，C错误；
由，得，由正弦定理得解得，
又因为，
所以，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】先对已知等式化简，结合正弦定理、余弦定理求出角C，再分别分析面积、周长、边长及面积计算的命题真假。
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（2025高一下·金东期中）若向量与向量方向相反，则　 　．
【答案】
【知识点】平面向量坐标表示的应用
【解析】【解答】解：若向量与向量方向相反可得：，
因为方向相反所以x=-4
故答案为：-4
【分析】两个向量方向相反，说明它们共线且系数为负数，即 （），利用向量共线的坐标关系列方程求解。
13．（2025高一下·金东期中）某班成立了两个数学兴趣小组，组人，组人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，组的平均成绩为分，方差为，组的平均成绩为分，方差为．则在这次测试中全班学生方差为　 　．
【答案】
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：依题意可知，
，，，，
∴（分），
∴全班学生的平均成绩为分，
所以，全班学生成绩的方差为：
故答案为：.
【分析】利用各层方差与总体方差之间的关系式，从而得出全班学生的方差.
14．（2025高一下·金东期中）A与B二人进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，A手中有3张两两不同的牌，B手上有4张牌，其中3张牌与A手中的牌相同，另一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同．游戏规则为：
（ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，A先从B手中抽取；
（ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃；
（ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家；
假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同，则A获胜的概率为　 　．
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：记初始手上张牌时，胜的概率为，
①当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为
若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为，
若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为，
若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 甲不可能获胜，此情况不存在，
所以，解得，
②当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为
若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为，
若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为，
若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 甲不可能获胜，此情况不存在，
所以，解得，
③当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为
若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜的概率为，
若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为，
若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”，此轮结束后有3张牌，包含一张“鬼牌”，有2张牌，当再抽一次时，有2张牌，包含一张“鬼牌”，有1张牌，有2张牌，包含一张“鬼牌”，有1张牌，此时胜的对立事件为当有1张牌，有2张牌，包含一张“鬼牌”，此时胜，
则若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”，胜的概率为，所以，解得，
故答案为：.
【分析】通过状态递推与分类讨论求解A获胜的概率，先定义A持有n张普通牌、B持有n张普通牌加1张鬼牌时A的获胜概率为P ，从最小状态P1开始逐步推导至P2、P3，每次抽牌分抽到普通牌和鬼牌两类，结合条件概率建立递推方程求解.
四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）
15．（2025高一下·金东期中）已知复数的共轭复数为.
（1）若，求：；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，且，求的取值范围.
【答案】(1)解：由题意得，，，则，
于是得，
所以；
(2)解：由(1)及得：，即，则，
因为在复平面内对应的点在第四象限，于是得，解得，
所以的取值范围为.
【知识点】复数的模；共轭复数；复数运算的几何意义
【解析】【分析】(1) 利用共轭复数定义和复数模的性质，直接计算 。
(2) 先根据复数运算和相等条件求出 、 的关系，再结合第四象限点的坐标符号列不等式求解 的范围。
16．（2025高一下·金东期中）如图，在中，是上的点，，，，.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
【答案】解：（1）在中，
又，所以.
（2）由（1）知，，所以，
又，所以，，
由，知，
所以
【知识点】解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 在 中，已知三边长度，直接用余弦定理求出 ，进而得到角 。
(2) 先由三角形内角和求出 ，再解 得到 和 的长度，最后用三角形面积公式计算 的面积。
17．（2025高一下·金东期中）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数；
（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②．
【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，解得，身高在及以上的学生人数（人）．
（2）解：的人数占比为％，
的人数占比为％，
所以该校100名生学身高的75％分位数落在，
设该校100名生学身高的75％分位数为，
则％，解得，
故该校100名生学身高的75％分位数为．
（3）解：由题得①；②
又
同理，
∴
.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1) 利用频率分布直方图中所有矩形面积和为 1 的性质求解x，再计算身高 170cm 及以上的频率，结合总人数求对应人数；
(2) 先确定 75% 分位数所在的区间，再根据分位数计算公式求解；
(3) ①根据加权平均数的定义推导总样本平均数；
②利用方差的定义和代数变形，结合总平均数公式推导总样本方差。
18．（2025高一下·金东期中）袋中装有大小完全相同的6个红球，3个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2.
（1）每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率；
（2）从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件第一次取到的是红球，事件第二次取到了标记数字1的球，求，并判断事件与事件是否相互独立.
【答案】（1）解：第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为3，
即抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率：，
第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为3，
即抽到的是蓝2红1或者蓝1红2的概率，
则所求的概率为.
（2）解：“第一次取到的是红球”的概率，
“第二次取到了标记数字1的球”即取到的是数字2，1或者1，1，概率，
“第一次取到红球且第二次取到了标记数字1的球”即抽到的为红1数字1或者红2数字1，概率.
因为成立，所以事件与事件相互独立.
【知识点】条件概率与独立事件；条件概率
【解析】【分析】(1) 有放回抽取两次，需分“先红后蓝”和“先蓝后红”两类，分别计算满足“1个红球且数字和为3”的概率，再相加。
(2) 先分别计算 、，再计算 ，验证 是否成立，判断事件独立性。
（1）第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为3，即抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率：，
第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为3即抽到的是蓝2红1或者蓝1红2的概率，
则所求的概率为.
（2）“第一次取到的是红球”的概率，
“第二次取到了标记数字1的球”即取到的是数字2，1或者1，1，概率，
“第一次取到红球且第二次取到了标记数字1的球”即抽到的为红1数字1或者红2数字1，概率.
因为成立，所以事件与事件相互独立.
19．（2025高一下·金东期中）在锐角中，内角的对边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）解：
整理得，故
又，所以；
（2）解：由锐角知，
得，
故
，
因为，得，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；解三角形的实际应用；辅助角公式
【解析】【分析】(1) 利用向量数量积公式和余弦定理，将已知等式转化为关于 的表达式，进而求出角 。
(2) 由 得 ，将 化简为单一三角函数，结合锐角三角形角的范围求取值范围。
（1）整理得，故
又，所以；
（2）由锐角知，
得，
故
，
因为，得，
所以.
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