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第2 课时 勾股定理的应用(一)
易错点睛
如图，一架长为5米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙ON 上，梯子底端B 距离墙ON 有3米.若梯子顶端A 下滑1米到C 点，则梯子的底端B 向右滑动的距离BD 为 米.
A基础题夯实
知识点 勾股定理的应用
1.(2025连云港中考)如图，长为3m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度 h 为 m.
2.(2025天门)如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”(如图中的实线).其实他们仅仅少走了 m，却踩伤了花草.
3.如图，为了加固一个高2m，宽3m的大门，需在相对角的顶点间加一根木条，则木条的长为 m.
4.如图，离水面点A 高度为8 m的岸上点C 处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17 m，当船移动到点 D 的位置时，绳子DC 的长为10m，则船向岸边移动了 m.
5.如图，过圆锥的顶点 P 和底面圆的直径AB 的平面截得截面△PAB，其中点O是圆锥底面圆的圆心.已知PA=26，AB=20，求圆锥的高.
6.如图所示，线段AB 是电线杆的一条固定拉线，AB=2.5m,BC=1.5m,另一条与AB 长度相同的拉线 在地面上的固定点 到杆底C的距离 求电线杆上两固定点 A 和A 之间的距离.
B中档题运用
7.(2025莆田)“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何 ”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5,DC=1,BD=BA,则BC 的长为 .
8.如图，一段楼梯高 BC 是6m，斜边AC长10m，在楼梯上铺地毯，地毯至少长 m.
9.如图，一支长为18cm铅笔放在内部底面直径是9 cm，内壁高12cm的圆柱体笔筒中，则这支铅笔露在笔筒外面的部分至少为 cm.
10.如图，一架长25 m的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A 处时，它的底端位于 B处，底端与墙角O处的距离为 7 m.
(1)求这架云梯的顶端A 处的高度；
(2)当这架云梯的顶端下滑4m 时，底端也沿OB 的向外移动4m 吗
C 综合题探究
11.(2025江岸区)如图,A,B 两个村在河CD 的同侧,A,B 两村到河的距离分别为AC=1km,BD=3km,CD=3km,，现要在河边CD 上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需6 000元.请你在河岸CD 上画出水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W(元).
第2课时勾股定理的应用(一)
易错点睛
如图，一架长为5米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙ON 上，梯子底端B 距离墙ON 有3米.若梯子顶端A 下滑1米到C 点，则梯子的底端B 向右滑动的距离BD 为 1 米.
A基础题夯实
知识点 勾股定理的应用
1.(2025连云港中考)如图，长为3m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度 h 为 2.4 m.
2.(2025天门)如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”(如图中的实线).其实他们仅仅少走了 4 m，却踩伤了花草.
3.(教材P T 改编)如图，为了加固一个高2m，宽3m的大门，需在相对角的顶点间加一根木条，则木条的长为 m.
4.如图，离水面点A 高度为8 m的岸上点C 处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子 BC 的长为17 m，当船移动到点 D 的位置时，绳子 DC 的长为10 m，则船向岸边移动了 9 m.
5.(教材 P T 改编)如图，过圆锥的顶点 P 和底面圆的直径AB 的平面截得截面△PAB，其中点O是圆锥底面圆的圆心.已知 PA=26，AB=20，求圆锥的高.
解:由题意,得PA=PB=26,OA=OB=10,PO⊥AB,在 Rt△PAO 中,根据勾股定理,
∴PO=24,
∴圆锥的高为24.
6.如图所示,线段AB 是电线杆的一条固定拉线,AB=2.5m,BC=1.5m ,另一条与AB 长度相同的拉线A B 在地面上的固定点B 到杆底C 的距离. 求电线杆上两固定点A 和A 之间的距离.
解：在 中，根据勾股定理，
在 中，根据勾股定理，
∴电线杆上两固定点A 和 之间的距离为1.3m.
B中档题运用
7.(2025 莆田)“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何 ”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5,DC=1,BD=BA,则 BC 的长为 12 .
8.如图，一段楼梯高 BC 是6m，斜边 AC 长10 m，在楼梯上铺地毯，地毯至少长 14 m.
9.如图，一支长为18cm铅笔放在内部底面直径是 9 cm，内壁高12 cm的圆柱体笔筒中，则这支铅笔露在笔筒外面的部分至少为 3 cm.
10.如图，一架长 25 m的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A 处时，它的底端位于 B处，底端与墙角O处的距离为 7 m.
(1)求这架云梯的顶端 A 处的高度；
(2)当这架云梯的顶端下滑 4m 时，底端也沿OB 的向外移动4m 吗
解:(1)由题意,得AO⊥BO,
在 Rt△AOB 中,
根据勾股定理，
∴AO=24,
∴这架云梯的顶端 A 处的高度为24 m;
(2)当这架云梯的顶端下滑4m 到达A'处时，底端沿OB 向外移动到 B'处,A'O=AO-AA'=24-4=20,
在 Rt△A'OB'中,根据勾股定理,
∴B'O=15,BB'=B'O-BO=15-7=8,
∴当这架云梯的顶端下滑4m 时，底端沿 OB 的向外移动8m.
C综合题探究
11.(2025 江岸区)如图,A,B 两个村在河CD 的同侧,A,B 两村到河的距离分别为AC=1 km,BD=3km,CD=3km,现要在河边CD 上建一水厂分别向A,B 两村输送自来水,铺设水管的工程费每千米需6000元.请你在河岸CD 上画出水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W(元).
解：作点 A 关于CD 的对称点A'，连接A'B 交CD 于点O,点O 为所求水厂位置，
则A'B 为最短，铺设费用最省.
过点 A'作A'F⊥BD 交BD 的延长线于点F,
∴W=5×6000=30 000(元).

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