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20.2勾股定理的逆定理及其应用
第1课时 勾股定理的逆定理
易错点睛
已知△ABC 的三边a,b,c 满足 则△ABC 的形状是 .
【点睛】注意“且”与“或”的区别.
A基础题夯实
知识点1 勾股定理的逆定理
1.(2025大连)已知三角形的三条边长依次为3cm,4 cm,5cm,则该三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.在△ABC 中, 则△ABC 的形状是 .
3.若 则以a，b，c为边组成的三角形是 三角形.
4.(2025白云区)如图是由小正方形组成的网格，△ABC 的三个顶点A. B. C 都在小正方形的顶点上，则△ABC 是 三角形.
5.判断由线段a，b，c 组成的△ABC 是不是直角三角形：
(1)a=2,b=3,c=4; (2)a=1.5,b=2,c=2.5.
6.如图,在一个边长为15的正方形纸板ABCD 中裁剪出一个△ABE,若AE=12,BE=9,求剩余部分的面积.
知识点2 勾股数
7.下列各组数中，为勾股数的是( )
A.4,5,6 B.5,12,13 C. D.0.3,0.4,0.5
8.(2025扬州中考)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41.根据上述规律,写出第⑤组勾股数为 .
B中档题运用
9.以 为边的三角形是 三角形.
10.(2025 黄石)如图,以 的三边为直径的半圆的面积分别为12π，16π和28π,则 的面积为 .
11.已知三条线段的长分别为12，16，x，以这三条线段为边，恰好可以构成一个直角三角形，则x 的值为 .
12.如图,在 中,CD 是高,AD=2,BD=8,CD=4.判断 的形状，并说明理由.
13.如图,在钝角△ABC 中,∠A 为钝角,边AB,AC 的垂直平分线分别交BC 于点 D,E,且
(1)求 的度数；
(2)若 求 BC 的长.
C 综合题探究
14.(2025江岸区)如图,在四边形ABCD 中,
(1)求 的度数；
(2)连接BD,求 BD 的长.
20.2勾股定理的逆定理及其应用
第1课时 勾股定理的逆定理
易错点睛
已知△ABC 的三边a,b,c 满足 则△ABC 的形状是 等腰直角三角形 .
【点睛】注意“且”与“或”的区别.
A 基础题夯实
知识点1 勾股定理的逆定理
1.(2025大连)已知三角形的三条边长依次为3cm,4 cm,5cm ,则该三角形是(A)
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.在△ABC 中, 则△ABC 的形状是 等腰直角三角形 .
3.若 则以a，b，c为边组成的三角形是 直角 三角形.
4.(2025白云区)如图是由小正方形组成的网格，△ABC 的三个顶点A，B，C都在小正方形的顶点上，则△ABC 是 直角 三角形.
5.判断由线段a，b，c组成的△ABC 是不是直角三角形：
(1)a=2,b=3,c=4; (2)a=1.5,b=2,c=2.5.
解：
根据勾股定理，△ABC 不是直角三角形；
根据勾股定理的逆定理，△ABC 是直角三角形.
6.如图,在一个边长为15 的正方形纸板ABCD 中裁剪出一个△ABE,若AE=12,BE=9,求剩余部分的面积.
解：
∴△ABE 是直角三角形,∠AEB=90°,
∴剩余部分的面积为171.
知识点 2 勾股数
7.下列各组数中，为勾股数的是(B)
A.4,5,6 B.5,12,13 C.1, , D.0.3,0.4,0.5
8.(2025扬州中考)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41.根据上述规律,写出第⑤组勾股数为 11,60,61 .
B 中档题运用
9.以 为边的三角形是 直角 三角形.
10.(2025黄石)如图，以△ABC 的三边为直径的半圆的面积分别为12π，16π和28π,则△ABC 的面积为 32 .
11.已知三条线段的长分别为12，16，x，以这三条线段为边，恰好可以构成一个直角三角形，则x 的值为 20或4 .
12.如图,在△ABC 中,CD 是高,AD=2,BD=8,CD=4.判断△ABC 的形状,并说明理由.
解：△ABC 是直角三角形.理由：
∵CD 是△ABC 的高,
∴∠ADC=∠BDC=90°,在 Rt△ACD 中,
在 Rt△BCD 中, ∴∠ACB=90°,
13.如图,在钝角△ABC 中,∠A 为钝角,边 AB,AC 的垂直平分线分别交 BC 于点D,E,且
(1)求∠BAC 的度数;
(2)若∠B=15°,DE=2,求 BC 的长.
解:(1)连接 DA,EA.
∵边AB，AC 的垂直平分线分别交BC 于点D,E,
∴DA=DB,EA=EC,
∴∠DAB=∠B,∠EAC=∠C.
∴∠DAE=90°,
∴2∠B+2∠C+90°=180°,
∵AB=AD+BD=2+8=10,
∴△ABC 为直角三角形.
∴∠B+∠C=45°,∴∠BAC=135°;
(2)由(1)得∠DAB=∠B=15°,∠DAE=90°,
∴∠ADE=30°,
∴BD=AD= ,CE=AE=1,
C 综合题探究
14.(2025江岸区)如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,CD=10,AD=10
(1)求∠ADC 的度数;
(2)连接 BD,求 BD 的长.
解:(1)连接AC.
∵∠ABC=90°,AB=8,BC=6,
∵CD=10,AD=10
∴△ACD 是等腰直角三角形，
∴∠ADC=45°;
(2)过点 D 作DE⊥BC 交BC 的延长线于点 E,则∠DEC=90°,
∵△ACD 是直角三角形,∠ACD=90°,
∴∠DCE+∠ACB=90°.
∵∠ABC=90°,
∴∠CAB+∠ACB=90°,
∴∠DCE=∠CAB,
∴△ABC≌△CED(AAS),
∴AB=CE,BC=ED.
∵AB=8,BC=6,
∴CE=8,ED=6,
∴BE=BC+CE=8+6=14,

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