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第五单元数学广角——鸽巢问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．把红、黄、蓝三种颜色的小球各12个放到一个盒子里，要保证一次摸到两个同色的小球，一次至少要摸出（ ）个小球。
A．13 B．4 C．5 D．25
2．六年级有200名学生，他们分别订阅了甲、乙、丙、丁四种杂志中的一种、两种、三种或四种、至少有（ ）名学生订阅的杂志种类相同。
A．13 B．14 C．15 D．50
3．13个小朋友中，至少有（ ）小朋友在同一个月过生日。
A．1个 B．2个
C．11个 D．7个
4．把红、黄、蓝、绿、白五种颜色的球12个放到一个盒子里，至少取（ ）个球，可以保证取到两个颜色相同的球。
A．6 B．13 C．5 D．2
5．在一个不透明的箱子里放了大小相同的红、黄、蓝三种颜色的玻璃珠各5粒．要保证每次摸出的玻璃珠中一定有3粒是同颜色的，则每次至少要摸（ ）粒玻璃珠．
A．3 B．5 C．7 D．无法确定
6．下列描述正确的有（　　）句。
（1）9个连续偶数的平均数是90，这些数中最小的一个是2，最大的是18。
（2）暗室里有红、绿、黄三种颜色的袜子若干只，为确保取出一双相同颜色的袜子，最少要取4只。
（3）某班共有学生48人，其中27人会游泳，25人会骑自行车，有12人既不会游泳也不会骑自行车，那么这个班既会游泳又会骑自行车的有16人。
（4）一个楼梯共有10级，如果每次能向上迈一级或两级，登上这10级楼梯，一共有89种不同的走法。
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．把15个学生分到6个组，总有一个组至少有( )人。
8．通过预习，我知道了把（n＋1）个物体放入n个鸽巢中，则至少有一个鸽巢中至少放进( )个物体。
9．把至少( )个苹果放入6个果盘里，那么总有某个果盘里至少有2个苹果。
10．从、、、、、、、、、、和中至多选出( )个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍。
11．有20张扑克牌（不同花色的5，6，7，8，9各4张），洗一下牌反扣在桌子上，至少摸出( )张才能保证有两张牌的颜色（红或黑）是相同的，至少摸出( )张才能保证四种花色的牌都有，至少摸出( )张才能保证有三张同一花色的。
12．从一副扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出( )张，才能保证至少有2张是同花色的。
13．一把钥匙只能开一把锁。现在有10把不同的锁和11把不同的钥匙，如果要找出每把锁的钥匙，最多需要试( )次才能把每把锁和每把钥匙都正确配对。
三、判断题
14．要保证从一副完整的扑克牌（54张）中，抽到一张黑桃至少要抽取42张。( )
15．把7个苹果分给4个小朋友，总有一个小朋友至少分到2个苹果。( )
16．任意找13个小朋友，他们中肯定有两个人的属相相同。( )
17．把一些书放进5个抽屉中（任何一个抽屉不能空着），要保证总有一个抽屉至少有3本，那么这些书至少需要有11本。( )
18．在50个同学里，至少有6个同学是在同一个月出生的。( )
四、解答题
19．一个口袋里有红球、黄球、白球和花球四种颜色的球，小阳闭着眼睛，每次摸出一个球，他想摸出两个颜色相同的球，至少要摸多少次才能一定达到要求？
20．8个学生解8道题目。
（1）若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被过两个学生中的一个解出。
（2）如果每道题只有4个学生解出，那么（1）的结论一般不成立。
试构造一个例子说明这点。
21．某次投篮比赛，5名队员共投进33个球，一定有一名队员至少投进了多少个球？
22．有红、黄、蓝三种颜色的小球各110个，混放在一个布袋里，一次至少摸出多少个球，才能保证有5个是同一种颜色的？
23．一排有20个座位，其中有些座位已经有人，若新来一个人，他无论坐在何处，都有一个人与他相邻，则原来至少有多少人就座？
《第五单元数学广角——鸽巢问题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B B B A C C
1．B
【分析】由于袋子里共有红、黄、蓝三种颜色的球各12个，如果一次取3个，最差情况为红、黄、蓝三种颜色各一个，所以只要再多取一个球，就能保证取到两个颜色相同的球。据此解答。
【详解】3＋1＝4（个）
故答案为：B
【点睛】解决抽屉原理问题的关键是根据最差原理对问题进行分析。
2．B
【分析】订阅杂志的类型有15种，即：第1种，都订阅甲杂志；第2种，都订阅乙杂志；第3种，都订阅丙杂志；第4种，都订阅丁杂志；第5种，只订阅甲乙杂志；第6种，只订阅甲丙杂志；第7种，只订阅甲丁杂志；第8种，只订阅乙丙 杂志；第9种，只订阅乙丁杂志；第10种，只订阅丙丁杂志；第11种，只订阅甲乙丙杂志；第12种，甲乙丁杂志；第13种，只订阅甲丙丁杂志，第14种，只订阅乙丙丁杂志；第15种，只订阅甲乙丙丁杂志；然后要把200个人放进这15种类型，那么就是200÷15＝13……5，要使一种类型人数最少，所以最后5个人要分散放到15种类型。相同的人数至少有13＋1＝14人。也就是至少有14个学生订阅的杂志种类相同。
【详解】由分析可知，
订阅杂志的类型有15种，
200÷15＝13……5
13＋1＝14人。
故答案为：B。
【点睛】此题属于典型的抽屉原理的习题，应明确：把不同的订阅方法看做抽屉，把参与订阅的学生看做元素。
3．B
【分析】－年共有12个月，这12个月相当于12个抽屉，13÷ 12＝ 1（个） ……1（个），即平均每月出生一个小朋友，还余1个小朋友，根据抽屉原理可知，至少有1＋1＝2个小朋友在同一个月过生日.
【详解】13÷ 12＝ 1（个） ……1（个）
1＋1＝2（个）
答：至少有2个小朋友在同一个月过生日.
故答案为：B
【点睛】在此类问题中，至少数＝物体数除以抽屉数的商＋1 （有余数的情况下）。
4．A
【分析】建立抽屉：把红、黄、白、绿、蓝五种颜色分别看作5个抽屉，考虑最差情况：取出颜色不同的5个球，分别放在不同的抽屉里，此时再任意取出1个球，无论放到哪个抽屉，都能出现1个抽屉里有相同颜色的2个球，5＋1＝6（个）；
【详解】5＋1＝6（个）
故答案为：A
5．C
【分析】把红、黄、蓝三种颜色看做3个抽屉，考虑最差情况：每种颜色都摸出2粒，则一共摸出2×3=6粒玻璃珠，此时再任意摸出一粒，必定能出现3粒玻璃珠颜色相同，据此即可解答．
【详解】2×3+1=7（粒），
答：至少摸出7粒玻璃珠，可以保证取到3粒颜色相同的玻璃珠．
故选C．
6．C
【详解】（1）相邻两个偶数相差2，由此可设这9个连续的偶数中的中间的那个为x，则这9个连续偶数的和为：x﹣2×4＋x﹣2×3＋…＋x＋x＋2＋…＋x＋2×4＝9x，则其平均数为9x÷9＝x，即90，则最小的为90﹣2×4＝82，最大的为90＋2×4＝98。所以，9个连续偶数的平均数是90，这些数中最小的一个是2，最大的是18是错误的。
（2）暗室中共有3种不同颜色的袜子，最差情况是取出三只后，每种颜色各一只，此时只要再取出一只即能确保取出一双相同颜色的袜子，即最少取出3＋1＝4只；正确。
（3）由题意可知，游泳或骑自行车会其中至少一项的有48－12＝36人，这36人中，不会游泳的有36－27＝9人，不会骑自行车的有36－25＝11人，则班既会游泳又会骑自行车的有36﹣（9＋11）＝16人；正确。
（4）如果有一级，则有一种走法：1；如有两级，则有2级走法即：1，1，如果有3级有3种：111，12，21；四级有5种：1111，22，121，211，112；…，由此可以发现，从第3个数开始，每一个数都等于它前面的2个数之和。共有10级，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，则到第十级共有89种不同走；正确。
所以，（1）（3）（4）的描述都是正确的，共3句。
故答案为：C
7．3
【分析】考虑最差情况，15÷6＝2（个）……3（个），说明每个组平均分2个学生，还余下3个，2＋1＝3，总有一个组至少有3人，据此解答即可。
【详解】15÷6＝2（个）……3（个）；
2＋1＝3（个）
【点睛】本题考查了抽屉原理的灵活利用，解答本题时要从最差情况入手考虑。
8．2
【详解】根据鸽巢问题抽屉原则一：把（n＋1）个物体放入n个鸽巢中，则至少有一个鸽巢中至少放进2个物体。
9．7
【分析】用果盘的个数加上1，即可求出把至少几个苹果放入6个果盘里，那么总有某个果盘里至少有2个苹果。
【详解】6＋1＝7（个）
【点睛】本题考查抽屉原理的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
10．
【分析】将这12个数中能够与其它数构成2倍关系的数分成1组，不能与其它数构成2倍关系的数单独作为1组，然后再考虑如何从每一组中取出合适的数。
【详解】把这12个数分成6个组：
第1组：1，2，4，8
第2组：3，6，12
第3组：5，10
第4组：7
第5组：9
第6组：11
每组中相邻两数都是2倍关系，不同组中没有2倍关系；
选没有2倍关系的数，第1组最多2个（1，4或2，8或，），第2组最多2个（3，12），第3组只有1个，第4，5，6组都可以取1个，一共个；
如果任意取9个数，一定是从第1、2、3中取，不论取哪一个，一定可以和原来取的数构成2倍的关系。
【点睛】本题考查的也是抽屉原理，这里关键是如何根据2倍关系将这些数进行分组。
11． 3 16 11
【分析】从最坏的情况考虑，假如前2次摸到2种颜色1红和1黑，那么再摸一次无论是什么颜色都能保证有两张牌的颜色（红或黑）是相同的。
从最坏的情况考虑，假如3种花色的牌5，6，7，8，9各3张都摸完了，就剩同一种的花色，那么再摸一次能保证四种花色的牌都有。
从最坏的情况考虑，假如2种花色的牌5，6，7，8，9各2张都摸完了，那么再摸一次能保证能保证有三张同一花色的。
【详解】有2种颜色的扑克牌，只要摸出的扑克牌数比它们的颜色种数多1，就能保证有有两张牌的颜色（红或黑）是相同的。。
2＋1＝3（张）
答：至少摸出3张才能保证有两张牌的颜色（红或黑）是相同的。
有四种花色的牌，每种花色的牌各有5张，3种花色的牌有15张，只要摸出的扑克牌数比15多1，就能保证四种花色的牌都有。
5×3＋1
＝15＋1
＝16（张）
答：至少摸出16张才能保证四种花色的牌都有。
有四种花色的牌，每种花色的牌各有5张，2种花色的牌有10张，只要摸出的扑克牌数比10多1，就能保证有三张同一花色的。
5×2＋1
＝10＋1
＝11（张）
答：至少摸出 11张才能保证有三张同一花色的。
【点睛】此类题此题主要考查了鸽巢原理的运用，要从最坏的情况考虑。
12．5
【分析】从扑克牌中抽取两张王牌，要求在剩下的52张中抽出任意几张，至少有2张是同花色的，假设抽出的4张是4个花色，那么再抽1张，肯定有和前4张重复的；
根据上述分析，可知先抽4张，最后再抽1张，即可保证至少有2张是同花色的，据此解答。
【详解】最差抽出的4张是4个花色，再抽1张，无论是什么色，一定有2张是同一花色。所以在剩下的52张中任意抽出5张，才能保证至少有2张是同花色的。
【点睛】本题考查鸽巢原理，解答本题的关键是掌握抽屉原理。
13．55
【分析】考虑最倒霉的情况，第1把锁，前10把钥匙都不匹配，那么第11把钥匙一定匹配，需要尝试10次；第2把锁，前9把钥匙都不匹配，那么第10把钥匙一定匹配，需要尝试9次；依此类推，每把锁最多需要尝试的次数依次为10、9、8、7、6、5、4、3、2、1次。
【详解】（次）
【点睛】本题考查的是最不利原则，最不利原则就是要考虑最不利于自己的情况。
14．√
【分析】一副扑克牌有54张，每种花色都有13张牌，把这四种花色看作四个抽屉，考虑最差情况：红桃、方块、梅花、大小王都全部抽出，则再任意抽出一张，必定是黑桃，据此即可解答问题。
【详解】13×3＋2＋1
＝39＋2＋1
＝42（张）
即要抽出42张来，才能保证一定有一张黑桃；所以原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
15．√
【解析】略
16．√
【分析】一年有12个月，那么可以看作是12个抽屉，13个小朋友看作13个元素，根据抽屉原理：把13个小朋友平均分配在12个抽屉中：13÷12＝1（个） 1（个），那么每个抽屉都有1人，那么剩下的1人，无论放到哪个抽屉都会出现2个人在同一个抽屉里。
【详解】13÷12＝1（个） 1（个）
1＋1＝2（个）
即他们中肯定至少有两个人的属相相同。
故答案为：√
【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。
17．√
【分析】抽屉原理（鸽巢原理）：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m个物体放进n个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。由抽屉原理可知：要使其中一个抽屉至少有3本，则这些书的本数至少要比抽屉数的（3－1）倍多1本，即抽屉数×（其中一个抽屉至少有的本数－1）＋1＝这些书至少的本数。
【详解】5×（3－1）＋1
＝5×2＋1
＝10＋1
＝11（本）
所以这些书至少需要11本。原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。
18．×
【分析】把一年12个月看作12个抽屉，把50名同学看作50个元素，那么每个抽屉需要放4个，剩下的2个不论怎么放，总有一个抽屉里至少有5个，据此解答。
【详解】50÷12＝4（个）……2（个）
至少有：4＋1＝5（个）同学是同一个月出生；
故答案为：×
【点睛】本题的解题关键是利用抽屉原理解决实际问题。
19．5次
【详解】一共有四种颜色的球，当每次摸出的球颜色都互不相同时，摸到第5个时，一定会和前面摸出的四个球其中的一个颜色相同，这样就可以保证一定有两个颜色相同的球了．
答：至少要摸5次才能一定达到要求。
20．见详解
【分析】可以把解题最多的人解出的题目数量设为未知数，表示出8个人解出的题目的数量，根据解出的题目数量的要求进行分类讨论。
【详解】（1）设解题最多的人解出x道题，将解出的题数相加，八个人至多解出8x道，另一方面，每题至少被5个人解出，八个人至少解出40道题，所以；
当时，结论成立；
当时，必有人解出剩下的一道题，这两人为所求；
当时，剩下的两道题，各有5人解出，，所以至少有一人同时解出这两道题，他与解题最多的人为所求；
当时，另三道题每道各有5人解出，设这三道题是6、7、8，解出6的人数与解出7的人数之和为10，而除解题最多的人外只有7人，所以，有三人同时解出6、7二题，又解出8的人数为5人，，所以必有一人同时解出6、7、8这三道题，他与解题最多的人为所求。
（2）如下表所示，其中汉字代表题号，数字代表学生，标√代表该位置对应的题目被该位置对应的学生解出。
一 二 三 四 五 六 七 八
1 √ √ √ √
2 √ √ √ √
3 √ √ √ √
4 √ √ √ √
5 √ √
6 √ √ √ √
7 √ √ √ √
8 √ √ √ √
构造出的情况不唯一，合理即可。
【点睛】本题考查的是抽屉原理问题，对于这种复杂的抽屉问题，最关键的是如何构造抽屉。
21．7个
【分析】将此问题看作鸽巢问题。5名队员相当于5个鸽巢，33个进球相当于33只鸽子，将33个进球平均分配给5名队员，每名队员进6个球，还剩3个进球，剩余的3个进球无论分给哪名队员，总会有一名队员至少进7个球。
【详解】33÷5＝6（个） 3（个）
6＋1＝7（个）
答：一定有一名队员至少投进了7个球。
【点睛】本题考查了抽屉原理，能根据题意正确列式是解题关键。
22．13个球
【详解】建立鸽巢：把红黄蓝三种颜色分别看做3个鸽巢．
考虑最差情况：摸出12个小球，每个鸽巢都有4个小球，此时再任意摸出1个小球，无论放到哪个鸽巢都会出现5个颜色相同的小球，所以12+1=13（个）．
答：一次至少摸出13个球，才能保证有5个是同一种颜色的．
23．7人
【详解】20÷3=6（人）…2（个）
6+1=7（人）
答：原来至少有7人就坐．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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