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江苏省宿迁市沭阳华冲高级中学2024-2025学年高一下学期期中调研测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·沭阳期中）已知复数，则（　　）
A． B．2 C． D．
2．（2025高一下·沭阳期中）的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·沭阳期中）中，“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025高一下·沭阳期中）设，则（　　）.
A． B． C． D．
5．（2025高一下·沭阳期中）已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高一下·沭阳期中）设，，，则有（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·沭阳期中）若非零向量满足，且，则为（　　）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．底边与腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形
8．（2025高一下·沭阳期中）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则值为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9．（2025高一下·沭阳期中）下列说法正确的是（　　）
A．若都是单位向量，则
B．在四边形中，若，则四边形是平行四边形
C．若，则
D．若是平面内的一组基底，则和也能作为一组基底
10．（2025高一下·沭阳期中）已知圆O内接四边形中，，，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．四边形的面积为
C．该外接圆的直径为 D．
11．（2025高一下·沭阳期中）在中， 角，，的对边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则有一解
B．若，则有两解
C．面积的最大值为
D．若是锐角三角形，则的取值范围为.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·沭阳期中）已知i是虚数单位，则　 　
13．（2025高一下·沭阳期中）点O是△ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的　 　心．
14．（2025高一下·沭阳期中）已知，且，则　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·沭阳期中）设复数，.
（1）若是实数，求；
（2）在复平面内，复数所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
16．（2025高一下·沭阳期中）在平面直角坐标系中，已知点，点满足．
（1）若，求；
（2）若，求的坐标．
17．（2025高一下·沭阳期中）设分别为三个内角，，的对边， 已知.
（1）求；
（2）若，是的平分线且交于点， 求线段的长.
18．（2025高一下·沭阳期中）已知向量，，设函数.
（1）求函数的最小正周期：
（2）若，且，求的值；
（3）在中， 若，求的取值范围.
19．（2025高一下·沭阳期中）如图，已知矩形钢板PABQ，AB=6米，AP长不限，现截取一块直角梯形模板EABN(E、N分别在AP、BQ上)，且满足腰AB 上存在点M， 使得 设 米.
（1）设 求f(θ)的表达式：
（2）当AM 的长为多少时，模板EABN的面积S最小，并求出这个最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：复数，则.
故答案为：D.
【分析】根据复数的乘法运算化简复数z，再根据复数的求模公式求解即可.
2．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：.
故答案为：C
【分析】先利用诱导公式将cos75 转化为sin15 ，再套用两角和的正弦公式化简，最后代入特殊角的三角函数值得到结果。
3．【答案】C
【知识点】充要条件；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：因为，由大角对大边可得，
由正弦定理得，且，
所以，故，充分性成立，
同理当时，，，
由正弦定理可得，
由大边对大角可得，必要性成立，
“”是“”的充要条件.
故答案为：C
【分析】结合三角形的大角对大边性质和正弦定理，分别证明“A>B”对“sinA>sinB”的充分性和必要性。
4．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
因为，所以，
所以.
故答案为：B
【分析】利用完全平方公式和二倍角正弦公式，将根号下的式子化为，再根据的范围判断与的大小，去掉绝对值后化简。
5．【答案】D
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为平面向量，，
则，
所以，向量在方向上的投影向量的坐标为：
.
故答案为：D.
【分析】利用数量积的定义和数量积求投影向量坐标的方法，则得出向量在向量上的投影向量的坐标.
6．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：
因为当时，为增函数，
所以，故
故答案为：C.
【分析】分别利用两角差的正弦公式、二倍角正切公式、二倍角余弦公式化简、、，得到它们对应的正弦值，再根据正弦函数在上的单调性比较大小。
7．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：设的中点为，连接，
由，所以垂直平分，
，
，，
，，
三角形为等边三角形．
故答案为：D．
【分析】通过向量运算分析边的关系，再利用向量数量积公式求出角A，结合边和角的特征判定三角形形状。
8．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，
由共线，可得，即，则，
，
则，
.
故答案为：D.
【分析】以为基向量表示，根据共线，求得的值，再利用基底表示和，最后根据向量的数量积运算求解即可.
9．【答案】B,D
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的基本定理；相等向量
【解析】【解答】解：A：若都是单位向量，则模长相等，方向不一定相等，A错误；
B：在四边形中，若，则与平行且相等，四边形是平行四边形，B正确；
C：向量不能比较大小，C说法错误；
D：若是平面内的一组基底，则不共线，
假设和共线，即，
所以，此时无解，
所以和不共线，和也能作为一组基底，D正确；
故答案为：BD
【分析】本题围绕平面向量的核心概念（单位向量、平行四边形判定、向量性质、基底定义）展开，需逐一辨析每个选项的逻辑正误，聚焦向量模长、方向、共线关系三个关键维度判断。
10．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】A：由题意可知，，，所以，
即，且，所以，则，，故A正确；
B：，故B正确；
C：中，根据余弦定理，即，设四边形外接圆的半径为，则，即，故C错误；
D：取的中点，由垂径定理，结合向量数量积的几何意义可知，
，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】利用圆内接四边形对角互补的性质，结合余弦定理求出角；再将四边形拆分为两个三角形求面积；通过正弦定理求外接圆直径；最后利用向量分解和几何意义计算数量积。
11．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、由正弦定理，可得，解得，
因为，所以，则有一解，故A正确；
B、若，则，解得，，则有一解，故B错误；
C、由余弦定理，可得，当时等号成立，
则，即面积的最大值为，故C正确；
D、由，则，，且，得，
则，，
即的范围是，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】直接利用正弦定理求解即可判断AB；利用余弦定理，结合基本不等式求解即可判断C；利用正弦定理将边转化为角，结合角的范围求解即可判断D.
12．【答案】0
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】解：.
故答案为：0
【分析】利用虚数单位的幂运算周期性（，，，），分别计算各项的值再求和。
13．【答案】垂
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解： ，即
同理可得：，
点为的垂心
故答案为：垂
【分析】利用向量数量积的分配律与垂直的向量判定（），将已知等式变形，提取公因式后推导向量垂直关系，最终依据垂心定义（三角形三条高线的交点）判定点的位置。
14．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：，
即，
即，且
则.
故答案为：.
【分析】将表示为，再根据两角和差的余弦公式化简求解即可.
15．【答案】（1）解：由题意可知，，
若是实数，则，得，
所以，，，
则；
（2）解：，
因为复数表示第四象限的点，所以，
得.
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【分析】(1) 先计算 ，根据其为实数的条件求出 的值，再计算 及其共轭复数。
(2) 对 进行复数除法运算并化简，根据第四象限点的实部、虚部符号列不等式组，求解 的范围。
（1）由题意可知，，
若是实数，则，得，
所以，，，
则；
（2），
因为复数表示第四象限的点，所以，
得.
16．【答案】（1）解：由题可得，，，
因为，所以，解得．
（2）解：由题可知，，
因为，所以，解得，
所以，即的坐标为．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】(1) 求解时，先根据确定点的坐标，进而得到的坐标；利用向量垂直的充要条件（数量积为0）列方程，解出的值。
(2) 求解点坐标时，先表示出与的坐标；依据向量平行的充要条件（对应坐标成比例）列方程，求出后，反推得到点的坐标。
（1）由题可得，，，
因为，所以，解得．
（2）由题可知，，
因为，所以，解得，
所以，即的坐标为．
17．【答案】（1）解：由正弦定理可知，
所以，即，则，
因为，所以，则，
所以；
（2）解：因为，所以，
则，解得.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】(1) 求解角：利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换求出；
(2) 求解的长：利用三角形面积的分割性质（），结合角平分线性质与三角形面积公式列式计算。
（1）由正弦定理可知，
所以，即，则，
因为，所以，则，
所以；
（2）因为，所以，
则，解得.
18．【答案】（1）解：
，
所以的最小正周期；
（2）解：，
由，则，则，
则
；
（3）解：，，，
所以，则，
，
由，，
所以，则，
所以的取值范围是.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1)先通过向量数量积展开，再利用三角恒等变换将化简为的形式，最后根据周期公式求最小正周期。
(2)代入得到，根据的范围确定的范围，求出，再利用两角差的正弦公式求。
(3)由求出角，将转化为关于的三角函数，再根据的范围求取值范围。
（1）
，
所以的最小正周期；
（2），
由，则，则，
则
；
（3），，，
所以，则，
，
由，，
所以，则，
所以的取值范围是.
19．【答案】（1）解：如图所示，
因为，可得，
所以，
在直角中，，
在直角中，，
由，可得，所以.
（2）解：由（1）知：
在直角中，，
在直角中，，
所以直角梯形的面积为：，
因为，所以，所以，
当且仅当时，即时，即时，等号成立，
当时，（米），此时取得最小值为平方米.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；三角函数中的恒等变换应用；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1) 利用全等三角形性质、直角三角形边角关系，结合三角恒等变换，推导出 的表达式；
(2) 先根据直角梯形面积公式表示出 关于 的函数，再利用基本不等式求面积的最小值，并反推此时 的长度。
（1）解：如图所示，因为，可得，
所以，
在直角中，，
在直角中，，
由，可得，所以.
（2）解：由（1）知：
在直角中，，
在直角中，，
所以直角梯形的面积为：，
因为，所以，所以，
当且仅当时，即时，即时，等号成立，
当时，（米），此时取得最小值为平方米.
1 / 1江苏省宿迁市沭阳华冲高级中学2024-2025学年高一下学期期中调研测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·沭阳期中）已知复数，则（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：复数，则.
故答案为：D.
【分析】根据复数的乘法运算化简复数z，再根据复数的求模公式求解即可.
2．（2025高一下·沭阳期中）的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：.
故答案为：C
【分析】先利用诱导公式将cos75 转化为sin15 ，再套用两角和的正弦公式化简，最后代入特殊角的三角函数值得到结果。
3．（2025高一下·沭阳期中）中，“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】充要条件；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：因为，由大角对大边可得，
由正弦定理得，且，
所以，故，充分性成立，
同理当时，，，
由正弦定理可得，
由大边对大角可得，必要性成立，
“”是“”的充要条件.
故答案为：C
【分析】结合三角形的大角对大边性质和正弦定理，分别证明“A>B”对“sinA>sinB”的充分性和必要性。
4．（2025高一下·沭阳期中）设，则（　　）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
因为，所以，
所以.
故答案为：B
【分析】利用完全平方公式和二倍角正弦公式，将根号下的式子化为，再根据的范围判断与的大小，去掉绝对值后化简。
5．（2025高一下·沭阳期中）已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为平面向量，，
则，
所以，向量在方向上的投影向量的坐标为：
.
故答案为：D.
【分析】利用数量积的定义和数量积求投影向量坐标的方法，则得出向量在向量上的投影向量的坐标.
6．（2025高一下·沭阳期中）设，，，则有（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：
因为当时，为增函数，
所以，故
故答案为：C.
【分析】分别利用两角差的正弦公式、二倍角正切公式、二倍角余弦公式化简、、，得到它们对应的正弦值，再根据正弦函数在上的单调性比较大小。
7．（2025高一下·沭阳期中）若非零向量满足，且，则为（　　）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．底边与腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：设的中点为，连接，
由，所以垂直平分，
，
，，
，，
三角形为等边三角形．
故答案为：D．
【分析】通过向量运算分析边的关系，再利用向量数量积公式求出角A，结合边和角的特征判定三角形形状。
8．（2025高一下·沭阳期中）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，
由共线，可得，即，则，
，
则，
.
故答案为：D.
【分析】以为基向量表示，根据共线，求得的值，再利用基底表示和，最后根据向量的数量积运算求解即可.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9．（2025高一下·沭阳期中）下列说法正确的是（　　）
A．若都是单位向量，则
B．在四边形中，若，则四边形是平行四边形
C．若，则
D．若是平面内的一组基底，则和也能作为一组基底
【答案】B,D
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的基本定理；相等向量
【解析】【解答】解：A：若都是单位向量，则模长相等，方向不一定相等，A错误；
B：在四边形中，若，则与平行且相等，四边形是平行四边形，B正确；
C：向量不能比较大小，C说法错误；
D：若是平面内的一组基底，则不共线，
假设和共线，即，
所以，此时无解，
所以和不共线，和也能作为一组基底，D正确；
故答案为：BD
【分析】本题围绕平面向量的核心概念（单位向量、平行四边形判定、向量性质、基底定义）展开，需逐一辨析每个选项的逻辑正误，聚焦向量模长、方向、共线关系三个关键维度判断。
10．（2025高一下·沭阳期中）已知圆O内接四边形中，，，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．四边形的面积为
C．该外接圆的直径为 D．
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】A：由题意可知，，，所以，
即，且，所以，则，，故A正确；
B：，故B正确；
C：中，根据余弦定理，即，设四边形外接圆的半径为，则，即，故C错误；
D：取的中点，由垂径定理，结合向量数量积的几何意义可知，
，故D正确.
故答案为：ABD
【分析】利用圆内接四边形对角互补的性质，结合余弦定理求出角；再将四边形拆分为两个三角形求面积；通过正弦定理求外接圆直径；最后利用向量分解和几何意义计算数量积。
11．（2025高一下·沭阳期中）在中， 角，，的对边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则有一解
B．若，则有两解
C．面积的最大值为
D．若是锐角三角形，则的取值范围为.
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、由正弦定理，可得，解得，
因为，所以，则有一解，故A正确；
B、若，则，解得，，则有一解，故B错误；
C、由余弦定理，可得，当时等号成立，
则，即面积的最大值为，故C正确；
D、由，则，，且，得，
则，，
即的范围是，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】直接利用正弦定理求解即可判断AB；利用余弦定理，结合基本不等式求解即可判断C；利用正弦定理将边转化为角，结合角的范围求解即可判断D.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·沭阳期中）已知i是虚数单位，则　 　
【答案】0
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】解：.
故答案为：0
【分析】利用虚数单位的幂运算周期性（，，，），分别计算各项的值再求和。
13．（2025高一下·沭阳期中）点O是△ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的　 　心．
【答案】垂
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解： ，即
同理可得：，
点为的垂心
故答案为：垂
【分析】利用向量数量积的分配律与垂直的向量判定（），将已知等式变形，提取公因式后推导向量垂直关系，最终依据垂心定义（三角形三条高线的交点）判定点的位置。
14．（2025高一下·沭阳期中）已知，且，则　 　.
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：，
即，
即，且
则.
故答案为：.
【分析】将表示为，再根据两角和差的余弦公式化简求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·沭阳期中）设复数，.
（1）若是实数，求；
（2）在复平面内，复数所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可知，，
若是实数，则，得，
所以，，，
则；
（2）解：，
因为复数表示第四象限的点，所以，
得.
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【分析】(1) 先计算 ，根据其为实数的条件求出 的值，再计算 及其共轭复数。
(2) 对 进行复数除法运算并化简，根据第四象限点的实部、虚部符号列不等式组，求解 的范围。
（1）由题意可知，，
若是实数，则，得，
所以，，，
则；
（2），
因为复数表示第四象限的点，所以，
得.
16．（2025高一下·沭阳期中）在平面直角坐标系中，已知点，点满足．
（1）若，求；
（2）若，求的坐标．
【答案】（1）解：由题可得，，，
因为，所以，解得．
（2）解：由题可知，，
因为，所以，解得，
所以，即的坐标为．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】(1) 求解时，先根据确定点的坐标，进而得到的坐标；利用向量垂直的充要条件（数量积为0）列方程，解出的值。
(2) 求解点坐标时，先表示出与的坐标；依据向量平行的充要条件（对应坐标成比例）列方程，求出后，反推得到点的坐标。
（1）由题可得，，，
因为，所以，解得．
（2）由题可知，，
因为，所以，解得，
所以，即的坐标为．
17．（2025高一下·沭阳期中）设分别为三个内角，，的对边， 已知.
（1）求；
（2）若，是的平分线且交于点， 求线段的长.
【答案】（1）解：由正弦定理可知，
所以，即，则，
因为，所以，则，
所以；
（2）解：因为，所以，
则，解得.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】(1) 求解角：利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换求出；
(2) 求解的长：利用三角形面积的分割性质（），结合角平分线性质与三角形面积公式列式计算。
（1）由正弦定理可知，
所以，即，则，
因为，所以，则，
所以；
（2）因为，所以，
则，解得.
18．（2025高一下·沭阳期中）已知向量，，设函数.
（1）求函数的最小正周期：
（2）若，且，求的值；
（3）在中， 若，求的取值范围.
【答案】（1）解：
，
所以的最小正周期；
（2）解：，
由，则，则，
则
；
（3）解：，，，
所以，则，
，
由，，
所以，则，
所以的取值范围是.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1)先通过向量数量积展开，再利用三角恒等变换将化简为的形式，最后根据周期公式求最小正周期。
(2)代入得到，根据的范围确定的范围，求出，再利用两角差的正弦公式求。
(3)由求出角，将转化为关于的三角函数，再根据的范围求取值范围。
（1）
，
所以的最小正周期；
（2），
由，则，则，
则
；
（3），，，
所以，则，
，
由，，
所以，则，
所以的取值范围是.
19．（2025高一下·沭阳期中）如图，已知矩形钢板PABQ，AB=6米，AP长不限，现截取一块直角梯形模板EABN(E、N分别在AP、BQ上)，且满足腰AB 上存在点M， 使得 设 米.
（1）设 求f(θ)的表达式：
（2）当AM 的长为多少时，模板EABN的面积S最小，并求出这个最小值.
【答案】（1）解：如图所示，
因为，可得，
所以，
在直角中，，
在直角中，，
由，可得，所以.
（2）解：由（1）知：
在直角中，，
在直角中，，
所以直角梯形的面积为：，
因为，所以，所以，
当且仅当时，即时，即时，等号成立，
当时，（米），此时取得最小值为平方米.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；三角函数中的恒等变换应用；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】(1) 利用全等三角形性质、直角三角形边角关系，结合三角恒等变换，推导出 的表达式；
(2) 先根据直角梯形面积公式表示出 关于 的函数，再利用基本不等式求面积的最小值，并反推此时 的长度。
（1）解：如图所示，因为，可得，
所以，
在直角中，，
在直角中，，
由，可得，所以.
（2）解：由（1）知：
在直角中，，
在直角中，，
所以直角梯形的面积为：，
因为，所以，所以，
当且仅当时，即时，即时，等号成立，
当时，（米），此时取得最小值为平方米.
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