资源简介

江苏省镇江中学2024~2025学年度高二下学期期中考试模拟数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·镇江期中）从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，
第一个路口有种选择，第二个路口有种选择，最后一个路口有种选择，
由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为种.
故答案为：B.
【分析】本题可通过分步乘法计数原理或排列数公式计算，核心是先选 3 人再分配到 3 个路口，体现 “选排结合” 的排列问题特征。
2．（2025高二下·镇江期中）下列说法中错误的是（　　）
A．样本数据3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数是8
B．线性回归直线一定经过样本点的中心
C．两个随机变量相关系数越小，表明两个变量相关性越弱
D．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好
【答案】C
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A，因为，所以第80百分位数是8，故A正确；
B，根据线性回归直线的定义，线性回归直线一定经过样本点的中心，故B正确；
C，两个随机变量相关系数的绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故C错误；
D，根据残差意义可知，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故D正确.
故答案为：C.
【分析】A：根据百分位数定义，先计算位置索引，再确定对应数值。
B：线性回归直线的性质决定其必过样本中心点。
C：相关系数的相关性强弱由绝对值决定，而非系数本身的大小。
D：残差平方和是衡量模型拟合效果的核心指标，值越小拟合越好。
3．（2025高二下·镇江期中）的值是（　　）
A． B．1 C．0 D．22024
【答案】A
【知识点】二项展开式
【解析】【解答】解：由二项式定理得：
.
故答案为：A.
【分析】观察式子的结构特征，符合二项式定理 的展开形式，可直接逆用公式求解。
4．（2025高二下·镇江期中）函数的单调增区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
因为，所以，
令，即，所以，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：B.
【分析】先确定函数定义域，再通过导数法求导并解导数大于 0 的不等式，得到函数的单调递增区间。
5．（2025高二下·镇江期中）若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：当曲线在点的切线与直线平行时，点到直线的距离的最小，
由，可得，
令，解得或（舍去），则，
所以平行于直线与曲线相切的切点坐标为，
由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.
所以点到直线的距离的最小值为.
故答案为：C.
【分析】曲线上一点到直线的最短距离，等价于与已知直线平行的曲线切线的切点到直线的距离。先求导数得到切线斜率等于直线斜率时的切点坐标，再代入点到直线距离公式计算最小值。
6．（2025高二下·镇江期中）三个数，，的大小顺序为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，则，
当时，则，可得，
可知在上单调递减，
因为，，，
且，则，所以．
故答案为：D．
【分析】构造函数，通过导数研究函数单调性，再将、转化为函数在不同点的函数值，利用单调性比较大小。
7．（2025高二下·镇江期中）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（　　）
A．
B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等
C．记第n行的第个数为，则
D．第20行中第8个数与第9个数之比为
【答案】D
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意，由数表可得：第行的第个数为，
由此分析选项：
A，，A错误；
B，第2023行中从左往右第1013个数为，第1014个数为，两者不相等，B错误；
C，记第行的第个数为，则，则，C错误；
D，第20行中第8个数为，第9个数为，则两个数的比为，D正确．
故答案为：D．
【分析】A：利用，计算得结果为119，并非120，命题不成立。
B：第2023行第1013、1014个数对应、，，二者不相等。
C：第行第个数为，求和式等价于，而非，命题错误。
D：第行第个数为，计算与的比值，约分后得，命题成立。
8．（2025高二下·镇江期中）某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”“复变函数”“微分几何”“数值分析”“拓扑学”五门选修课程，要求学院每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（　　）
A．150种 B．210种 C．300种 D．540种
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】由题意可知三年修完五门课程，且每年至多选三门，
则每位同学每年所修课程数可以分为0，2，3或1，1，3或1，2，2．
若按1，2，2选修五门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，
再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式；
若按0，2，3选修四门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，
再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式；
若按1，1，3选修四门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，
再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式．
所以每位同学的不同选修方式有种．
故答案为：B．
【分析】由题意可知三年修完五门课程，且每年至多选三门，则每位同学每年所修课程数可以分为0，2，3或1，1，3或1，2，2，由分步乘法计数原理可得不同的选修方式数，再由加法计数原理计算可得答案.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二下·镇江期中）给出下列说法，其中正确的是（　　）
A．数据，，，，，，，的极差与众数之和为
B．已知一组数据，，，，，的平均数为，则这组数据的中位数是
C．已知某班共有人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第名，则小明成绩是全班数学成绩的第百分位数
D．一组不完全相同数据，， ，的方差为，则数据，，，的方差为
【答案】A,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A，数据，，，，，，，的极差为，众数为，所以数据，，，，，，，极差与众数之和为，A正确；
B，由题意可知，解得：，所以数据为：，，，，，，数据的中位数为，B错误；
C，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第名，若成绩从低到高排序，小明的成绩排在第位，又因为，
又因为考试分数排名为由高分到低分，所以全班数学成绩的第百分位数应为：第班级成绩的第名与第名同学成绩的平均数，所以小明的成绩不是全班数学成绩的第百分位数，C错误；
D，因为，，，的方差为3，根据方差性质，，，，的方差为，D正确.
故选：AD
【分析】根据极差、众数、平均数、中位数、百分位数的定义，以及方差的性质，对每个选项进行计算与判断.
10．（2025高二下·镇江期中）现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（　　）
A．不同的安排方法共有种
B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种
C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种
D．若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种
【答案】A,C,D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A，安排4人参加3项工作，每人有3种安排方法，则有种安排方法，故A正确；
B，恰有一项工作无人去参加，则首先从3项工作中选1项无人参加有，
再将4人安排到两项工作有种，故一共有种安排方法，故B错误；
C，每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，
若甲、乙同组，则有种，若甲、乙不同组，则种分组方法，又甲乙不能去参加项工作，
则安排不含甲乙的一组参加工作，剩下的两组安排参加、两项工作，则种，
综上，一共有种安排方法，故C正确；
D，每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，先分组，再分配，则不同的安排方法有种，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：每个同学独立选择一项工作，用分步乘法计数原理计算总方法数。
B：先选一项无人参加的工作，再将 4 人分配到剩余两项工作，需排除全在其中一项的情况，修正原解析的计算错误。
C：每项工作都有人去时，人员分组为 (1，1，2)，分甲乙同组和不同组两类，结合 “甲乙不能去 A” 的约束计数。
D：先按 (1，1，2) 分组，再将三组分配到三项工作，用分组分配法计算总方法数。
11．（2025高二下·镇江期中）已知关于的方程有两个不等的实根，且，则下列说法正确的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】指数函数单调性的应用；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：方程，可化为，
因为方程有两个不等的实根，
所以与有两个不同的交点，
令，则，
令，可得，
当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，
，
当时，，且，当时，，
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，
故，
当时，，，
根据以上信息，可得函数的大致图象如下：
，且，故A正确．
因为，
构造，
，
在上单调递增，
，
，即，
由在单调递增
所以，故B正确．
对于C，由，，
所以，
又，所以，则，所以，故C错误．
对于D，由，可得，
所以，D正确．
故答案为：ABD．
【分析】本题通过构造函数 f(x)=xex，利用导数研究函数单调性与极值、数形结合及构造函数法证明不等式，逐一验证选项。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·镇江期中）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率直方图如图所示，其中支出在[20，30）内的同学有10人，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：
由频率直方图可得，支出在内的频率为，
所以有
故答案为：.
【分析】频率分布直方图中，所有矩形面积之和为 1（即频率总和为 1）。先算出 [20，30) 外的频率，再得到该组频率，最后结合频数求出样本容量 n。
13．（2025高二下·镇江期中）在的展开式中，x2y5项的系数是　 　.
【答案】-12
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的通项为，
令此时，
令此时，
所以展开式中，x2y5项的系数是.
故答案为：-12
【分析】要找到 展开式中 项的系数，需先写出 的通项，再分别与 和 相乘，筛选出能得到 的项并计算系数和。
14．（2025高二下·镇江期中）若函数存在两个极值点，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题意知：的定义域为，，
有两个极值点，为的两根，
，又，解得：；，，
；
令，则，
当时，恒成立，在上单调递减，
，则的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先通过导数求极值点的条件确定的范围，再利用韦达定理化简，最后通过导数研究函数单调性求取值范围。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应与出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·镇江期中）若展开式前三项的二项式系数之和为22．
（1）求展开式中二项式系数最大的项及所有二项式系数和；
（2）求展开式中的常数项．
【答案】（1）解：由题意可知，，即，
得或（舍），
则展开式中最大的二项式系数为，所以展开式中二项式系数最大的项为第项，
即，
所有二项式系数和为.
（2）解：，
令，得，则，
故展开式中的常数项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【分析】(1) 先根据前三项二项式系数之和列方程求出 ，再利用二项式系数的对称性找到系数最大的项，最后用 求所有二项式系数和。
(2) 写出通项公式，令 的指数为 ，求出 后代入计算常数项。
（1）由题意可知，，即，
得或（舍），
则展开式中最大的二项式系数为，所以展开式中二项式系数最大的项为第项，
即，
所有二项式系数和为.
（2），
令，得，则，
故展开式中的常数项为.
16．（2025高二下·镇江期中）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（单位：百千克）与某种液体肥料每亩使用量（单位：千克）之间的对应数据的散点图如图所示．
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数，并说明线性相关性的强弱（相关系数精确到小数点后2位，若，则线性相关程度很高）；
（2）求关于的线性回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少百千克．
附：数据和公式：；回归方程：，其中．相关系数：．
【答案】（1）解：根据题意，可得，
且，
，
，
可得，
因为时线性相关程度很高，所以与线性相关性很强．
（2）解：由，则，
所以线性回归方程为，
当时，，
即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克．
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】(1) 利用题目给出的求和数据，直接代入相关系数公式计算 ，根据 与 的大小关系判断线性相关性强弱。
(2) 先根据最小二乘法公式计算回归系数 ，再由 、 求出截距 ，得到线性回归方程；最后将 代入方程预测产量增加量。
（1）根据题意，可得，
且，
，
，
可得，
因为时线性相关程度很高，所以与线性相关性很强．
（2）由，则，
所以线性回归方程为，
当时，，
即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克．
17．（2025高二下·镇江期中）已知函数，若有极大值，且极大值为2．
（1）求的值；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：易知函数的定义域为，
根据题意可得，令，得，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减；
所以，
解得
（2）解：由（1）知，
因为，所以可化为，
设，
所以，则在上恒成立，
即可得在上单调递减，，
因此的取值范围是
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 先对函数求导，找到极值点，结合极大值为 2 的条件列方程求解a的值；
(2) 将恒成立问题转化为函数最值问题，构造新函数后求导分析单调性，进而确定b的取值范围。
（1）易知函数的定义域为，
根据题意可得，令，得，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减；
所以，
解得
（2）由（1）知，
因为，所以可化为，
设，
所以，则在上恒成立，
即可得在上单调递减，，
因此的取值范围是
18．（2025高二下·镇江期中）设.
（1）求；
（2）若是，，，，中唯一的最大值，求的所有可能取值；
（3）若，求.
【答案】（1）解：由，
令，可得；
令，可得；
所以.
（2）解：由题意知的展开式的通项为，，
所以，.
因为是中唯一的最大值，
可得，即，解得，
所以的所有可能取值为20，21，22.
（3）解：由题意可得：，
所以，，
则.
因为，
所以.
【知识点】二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】(1) 利用赋值法，分别令 和 ，得到所有项系数和与常数项，相减得结果。
(2) 写出二项式系数通项 ，根据 是唯一最大值列不等式组，求解 的取值。
(3) 换元后将 改写为 ，展开后得到 ，再利用组合数性质求和。
（1）由，
令，可得；
令，可得；
所以.
（2）由题意知的展开式的通项为，，
所以，.
因为是中唯一的最大值，
可得，即，解得，
所以的所有可能取值为20，21，22.
（3）由题意可得：，
所以，，
则.
因为，
所以.
19．（2025高二下·镇江期中）已知，．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）是的极值点，求证：．
【答案】（1）解：的定义域是，
，
①时，，在单调递增，
②时，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
综上：时，在单调递增，
时，在递减，在递增；
（2）解：（ⅰ）由（1）知要使有两个零点，则，此时在上单调递减，在单调递增，
依题意需，
此时，故，
而，，
当时，令，
则，故，
∴，∴，
由零点存在定理知，在与上分别存在唯一零点．
（ⅱ）因为，，令，
由，
即，
而，
即，
由，，只需证，
令，
则，
令，则，
故在上单调递增，，
故在上单调递增，；
∴
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1) 先求导，再根据 的正负分类讨论导数符号，从而确定函数单调性。
(2)(i) 结合(1)的单调性，分析函数极小值符号，利用零点存在定理确定 的范围；(ii) 先求出极值点 ，再通过构造函数、变量替换证明不等式。
（1）的定义域是，
，
①时，，在单调递增，
②时，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
综上：时，在单调递增，
时，在递减，在递增；
（2）（ⅰ）由（1）知要使有两个零点，则，
此时在上单调递减，在单调递增，
依题意需，
此时，故，
而，，
当时，令，
则，故，
∴，∴，
由零点存在定理知，在与上分别存在唯一零点．
（ⅱ）因为，，令，
由，
即，
而，
即，
由，，只需证，
令，
则，
令，则，
故在上单调递增，，
故在上单调递增，；
∴
1 / 1江苏省镇江中学2024~2025学年度高二下学期期中考试模拟数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·镇江期中）从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
2．（2025高二下·镇江期中）下列说法中错误的是（　　）
A．样本数据3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数是8
B．线性回归直线一定经过样本点的中心
C．两个随机变量相关系数越小，表明两个变量相关性越弱
D．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好
3．（2025高二下·镇江期中）的值是（　　）
A． B．1 C．0 D．22024
4．（2025高二下·镇江期中）函数的单调增区间为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高二下·镇江期中）若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·镇江期中）三个数，，的大小顺序为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·镇江期中）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（　　）
A．
B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等
C．记第n行的第个数为，则
D．第20行中第8个数与第9个数之比为
8．（2025高二下·镇江期中）某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”“复变函数”“微分几何”“数值分析”“拓扑学”五门选修课程，要求学院每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（　　）
A．150种 B．210种 C．300种 D．540种
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二下·镇江期中）给出下列说法，其中正确的是（　　）
A．数据，，，，，，，的极差与众数之和为
B．已知一组数据，，，，，的平均数为，则这组数据的中位数是
C．已知某班共有人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第名，则小明成绩是全班数学成绩的第百分位数
D．一组不完全相同数据，， ，的方差为，则数据，，，的方差为
10．（2025高二下·镇江期中）现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（　　）
A．不同的安排方法共有种
B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种
C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种
D．若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种
11．（2025高二下·镇江期中）已知关于的方程有两个不等的实根，且，则下列说法正确的有（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·镇江期中）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率直方图如图所示，其中支出在[20，30）内的同学有10人，则的值为　 　．
13．（2025高二下·镇江期中）在的展开式中，x2y5项的系数是　 　.
14．（2025高二下·镇江期中）若函数存在两个极值点，则的取值范围是　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应与出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·镇江期中）若展开式前三项的二项式系数之和为22．
（1）求展开式中二项式系数最大的项及所有二项式系数和；
（2）求展开式中的常数项．
16．（2025高二下·镇江期中）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（单位：百千克）与某种液体肥料每亩使用量（单位：千克）之间的对应数据的散点图如图所示．
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数，并说明线性相关性的强弱（相关系数精确到小数点后2位，若，则线性相关程度很高）；
（2）求关于的线性回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少百千克．
附：数据和公式：；回归方程：，其中．相关系数：．
17．（2025高二下·镇江期中）已知函数，若有极大值，且极大值为2．
（1）求的值；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
18．（2025高二下·镇江期中）设.
（1）求；
（2）若是，，，，中唯一的最大值，求的所有可能取值；
（3）若，求.
19．（2025高二下·镇江期中）已知，．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）是的极值点，求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，
第一个路口有种选择，第二个路口有种选择，最后一个路口有种选择，
由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为种.
故答案为：B.
【分析】本题可通过分步乘法计数原理或排列数公式计算，核心是先选 3 人再分配到 3 个路口，体现 “选排结合” 的排列问题特征。
2．【答案】C
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A，因为，所以第80百分位数是8，故A正确；
B，根据线性回归直线的定义，线性回归直线一定经过样本点的中心，故B正确；
C，两个随机变量相关系数的绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故C错误；
D，根据残差意义可知，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故D正确.
故答案为：C.
【分析】A：根据百分位数定义，先计算位置索引，再确定对应数值。
B：线性回归直线的性质决定其必过样本中心点。
C：相关系数的相关性强弱由绝对值决定，而非系数本身的大小。
D：残差平方和是衡量模型拟合效果的核心指标，值越小拟合越好。
3．【答案】A
【知识点】二项展开式
【解析】【解答】解：由二项式定理得：
.
故答案为：A.
【分析】观察式子的结构特征，符合二项式定理 的展开形式，可直接逆用公式求解。
4．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
因为，所以，
令，即，所以，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：B.
【分析】先确定函数定义域，再通过导数法求导并解导数大于 0 的不等式，得到函数的单调递增区间。
5．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：当曲线在点的切线与直线平行时，点到直线的距离的最小，
由，可得，
令，解得或（舍去），则，
所以平行于直线与曲线相切的切点坐标为，
由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.
所以点到直线的距离的最小值为.
故答案为：C.
【分析】曲线上一点到直线的最短距离，等价于与已知直线平行的曲线切线的切点到直线的距离。先求导数得到切线斜率等于直线斜率时的切点坐标，再代入点到直线距离公式计算最小值。
6．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设，则，
当时，则，可得，
可知在上单调递减，
因为，，，
且，则，所以．
故答案为：D．
【分析】构造函数，通过导数研究函数单调性，再将、转化为函数在不同点的函数值，利用单调性比较大小。
7．【答案】D
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意，由数表可得：第行的第个数为，
由此分析选项：
A，，A错误；
B，第2023行中从左往右第1013个数为，第1014个数为，两者不相等，B错误；
C，记第行的第个数为，则，则，C错误；
D，第20行中第8个数为，第9个数为，则两个数的比为，D正确．
故答案为：D．
【分析】A：利用，计算得结果为119，并非120，命题不成立。
B：第2023行第1013、1014个数对应、，，二者不相等。
C：第行第个数为，求和式等价于，而非，命题错误。
D：第行第个数为，计算与的比值，约分后得，命题成立。
8．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】由题意可知三年修完五门课程，且每年至多选三门，
则每位同学每年所修课程数可以分为0，2，3或1，1，3或1，2，2．
若按1，2，2选修五门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，
再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式；
若按0，2，3选修四门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，
再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式；
若按1，1，3选修四门课程，则先将五门选修课分成三组，有种不同方式，
再分配到三个学年，共有种不同的分配方式，由分步乘法计数原理可得共有种不同的选修方式．
所以每位同学的不同选修方式有种．
故答案为：B．
【分析】由题意可知三年修完五门课程，且每年至多选三门，则每位同学每年所修课程数可以分为0，2，3或1，1，3或1，2，2，由分步乘法计数原理可得不同的选修方式数，再由加法计数原理计算可得答案.
9．【答案】A,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A，数据，，，，，，，的极差为，众数为，所以数据，，，，，，，极差与众数之和为，A正确；
B，由题意可知，解得：，所以数据为：，，，，，，数据的中位数为，B错误；
C，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第名，若成绩从低到高排序，小明的成绩排在第位，又因为，
又因为考试分数排名为由高分到低分，所以全班数学成绩的第百分位数应为：第班级成绩的第名与第名同学成绩的平均数，所以小明的成绩不是全班数学成绩的第百分位数，C错误；
D，因为，，，的方差为3，根据方差性质，，，，的方差为，D正确.
故选：AD
【分析】根据极差、众数、平均数、中位数、百分位数的定义，以及方差的性质，对每个选项进行计算与判断.
10．【答案】A,C,D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A，安排4人参加3项工作，每人有3种安排方法，则有种安排方法，故A正确；
B，恰有一项工作无人去参加，则首先从3项工作中选1项无人参加有，
再将4人安排到两项工作有种，故一共有种安排方法，故B错误；
C，每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，
若甲、乙同组，则有种，若甲、乙不同组，则种分组方法，又甲乙不能去参加项工作，
则安排不含甲乙的一组参加工作，剩下的两组安排参加、两项工作，则种，
综上，一共有种安排方法，故C正确；
D，每项工作都有人去，则人员分组只有（1、1、2）这种情况，先分组，再分配，则不同的安排方法有种，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：每个同学独立选择一项工作，用分步乘法计数原理计算总方法数。
B：先选一项无人参加的工作，再将 4 人分配到剩余两项工作，需排除全在其中一项的情况，修正原解析的计算错误。
C：每项工作都有人去时，人员分组为 (1，1，2)，分甲乙同组和不同组两类，结合 “甲乙不能去 A” 的约束计数。
D：先按 (1，1，2) 分组，再将三组分配到三项工作，用分组分配法计算总方法数。
11．【答案】A,B,D
【知识点】指数函数单调性的应用；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：方程，可化为，
因为方程有两个不等的实根，
所以与有两个不同的交点，
令，则，
令，可得，
当时，，函数在单调递减，
当时，，函数在单调递增，
，
当时，，且，当时，，
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，
故，
当时，，，
根据以上信息，可得函数的大致图象如下：
，且，故A正确．
因为，
构造，
，
在上单调递增，
，
，即，
由在单调递增
所以，故B正确．
对于C，由，，
所以，
又，所以，则，所以，故C错误．
对于D，由，可得，
所以，D正确．
故答案为：ABD．
【分析】本题通过构造函数 f(x)=xex，利用导数研究函数单调性与极值、数形结合及构造函数法证明不等式，逐一验证选项。
12．【答案】
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：
由频率直方图可得，支出在内的频率为，
所以有
故答案为：.
【分析】频率分布直方图中，所有矩形面积之和为 1（即频率总和为 1）。先算出 [20，30) 外的频率，再得到该组频率，最后结合频数求出样本容量 n。
13．【答案】-12
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：的通项为，
令此时，
令此时，
所以展开式中，x2y5项的系数是.
故答案为：-12
【分析】要找到 展开式中 项的系数，需先写出 的通项，再分别与 和 相乘，筛选出能得到 的项并计算系数和。
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题意知：的定义域为，，
有两个极值点，为的两根，
，又，解得：；，，
；
令，则，
当时，恒成立，在上单调递减，
，则的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先通过导数求极值点的条件确定的范围，再利用韦达定理化简，最后通过导数研究函数单调性求取值范围。
15．【答案】（1）解：由题意可知，，即，
得或（舍），
则展开式中最大的二项式系数为，所以展开式中二项式系数最大的项为第项，
即，
所有二项式系数和为.
（2）解：，
令，得，则，
故展开式中的常数项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【分析】(1) 先根据前三项二项式系数之和列方程求出 ，再利用二项式系数的对称性找到系数最大的项，最后用 求所有二项式系数和。
(2) 写出通项公式，令 的指数为 ，求出 后代入计算常数项。
（1）由题意可知，，即，
得或（舍），
则展开式中最大的二项式系数为，所以展开式中二项式系数最大的项为第项，
即，
所有二项式系数和为.
（2），
令，得，则，
故展开式中的常数项为.
16．【答案】（1）解：根据题意，可得，
且，
，
，
可得，
因为时线性相关程度很高，所以与线性相关性很强．
（2）解：由，则，
所以线性回归方程为，
当时，，
即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克．
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】(1) 利用题目给出的求和数据，直接代入相关系数公式计算 ，根据 与 的大小关系判断线性相关性强弱。
(2) 先根据最小二乘法公式计算回归系数 ，再由 、 求出截距 ，得到线性回归方程；最后将 代入方程预测产量增加量。
（1）根据题意，可得，
且，
，
，
可得，
因为时线性相关程度很高，所以与线性相关性很强．
（2）由，则，
所以线性回归方程为，
当时，，
即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克．
17．【答案】（1）解：易知函数的定义域为，
根据题意可得，令，得，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减；
所以，
解得
（2）解：由（1）知，
因为，所以可化为，
设，
所以，则在上恒成立，
即可得在上单调递减，，
因此的取值范围是
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 先对函数求导，找到极值点，结合极大值为 2 的条件列方程求解a的值；
(2) 将恒成立问题转化为函数最值问题，构造新函数后求导分析单调性，进而确定b的取值范围。
（1）易知函数的定义域为，
根据题意可得，令，得，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减；
所以，
解得
（2）由（1）知，
因为，所以可化为，
设，
所以，则在上恒成立，
即可得在上单调递减，，
因此的取值范围是
18．【答案】（1）解：由，
令，可得；
令，可得；
所以.
（2）解：由题意知的展开式的通项为，，
所以，.
因为是中唯一的最大值，
可得，即，解得，
所以的所有可能取值为20，21，22.
（3）解：由题意可得：，
所以，，
则.
因为，
所以.
【知识点】二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】(1) 利用赋值法，分别令 和 ，得到所有项系数和与常数项，相减得结果。
(2) 写出二项式系数通项 ，根据 是唯一最大值列不等式组，求解 的取值。
(3) 换元后将 改写为 ，展开后得到 ，再利用组合数性质求和。
（1）由，
令，可得；
令，可得；
所以.
（2）由题意知的展开式的通项为，，
所以，.
因为是中唯一的最大值，
可得，即，解得，
所以的所有可能取值为20，21，22.
（3）由题意可得：，
所以，，
则.
因为，
所以.
19．【答案】（1）解：的定义域是，
，
①时，，在单调递增，
②时，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
综上：时，在单调递增，
时，在递减，在递增；
（2）解：（ⅰ）由（1）知要使有两个零点，则，此时在上单调递减，在单调递增，
依题意需，
此时，故，
而，，
当时，令，
则，故，
∴，∴，
由零点存在定理知，在与上分别存在唯一零点．
（ⅱ）因为，，令，
由，
即，
而，
即，
由，，只需证，
令，
则，
令，则，
故在上单调递增，，
故在上单调递增，；
∴
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1) 先求导，再根据 的正负分类讨论导数符号，从而确定函数单调性。
(2)(i) 结合(1)的单调性，分析函数极小值符号，利用零点存在定理确定 的范围；(ii) 先求出极值点 ，再通过构造函数、变量替换证明不等式。
（1）的定义域是，
，
①时，，在单调递增，
②时，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
综上：时，在单调递增，
时，在递减，在递增；
（2）（ⅰ）由（1）知要使有两个零点，则，
此时在上单调递减，在单调递增，
依题意需，
此时，故，
而，，
当时，令，
则，故，
∴，∴，
由零点存在定理知，在与上分别存在唯一零点．
（ⅱ）因为，，令，
由，
即，
而，
即，
由，，只需证，
令，
则，
令，则，
故在上单调递增，，
故在上单调递增，；
∴
1 / 1

展开更多......

收起↑