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江苏省无锡市天一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·锡山期中）函数的导数为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：B.
【分析】利用导数的运算法则以及复合函数求导法则求解即可.
2．（2025高二下·锡山期中）已知随机变量，Y服从两点分布，若，，则（　　）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：因为随机变量，
所以，
解得（舍去，注意：），
则．
故答案为：C．
【分析】利用二项分布的概率公式得出p的值，再利用两点分布概率公式计算得出的值.
3．（2025高二下·锡山期中）展开式中的常数项为（　　）
A．3 B．-3 C．7 D．-7
【答案】D
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：根据二项式定理，展开式的通项公式为（其中）．
与展开式中项相乘得到常数项，
令，则，解得．
将代入通项公式可得，
那么与相乘得到的常数项为．
与展开式中常数项相乘得到常数项，
令，则，解得．
将代入通项公式可得，
那么与相乘得到的常数项为．
将上述两部分常数项相加，可得展开式中的常数项为．
展开式中的常数项为．
故答案为：D．
【分析】要找到展开式的常数项，需先写出的通项公式，再分别分析和与该二项式相乘得到常数项的两种情况，最后将两种情况的常数项相加得到结果。
4．（2025高二下·锡山期中）青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】依题意，至少答对一个问题的概率是.
故答案为：A
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式求解，可得答案.
5．（2025高二下·锡山期中）下列说法不正确的是（　　）
A．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好
B．若随机变量，且，则
C．若随机变量，则方差
D．若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，则乙组数据的线性相关性更强
【答案】D
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】A，决定系数越大，说明模型拟合的效果越好，故A正确；
B，随机变量，则，则，故B正确；
C，因为随机变量，则方差，故C正确；
D，因为甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，且，所以甲组数据的线性相关性更强，故D不正确.
故答案为：D
【分析】A：决定系数 是衡量回归模型拟合效果的指标， 越接近1，模型拟合效果越好。
B：正态分布关于均值对称，利用对称性计算区间概率。
C：直接套用二项分布的方差公式 计算。
D：相关系数的线性相关性强弱由绝对值决定，绝对值越大相关性越强。
6．（2025高二下·锡山期中）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由已知，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
即，，所以
故答案为：D
【分析】 函数在区间上单调递增等价于其导数在该区间上恒大于等于 0，通过参变分离将问题转化为求函数在区间上的最小值，进而确定参数的取值范围。
7．（2025高二下·锡山期中）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全概率公式；条件概率；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：设事件为检验结果呈现阳性，事件为此人患病，
因为，
，
所以.
故答案为：C.
【分析】先设事件，利用条件概率和全概率公式求得，再利用贝叶斯公式求解即可.
8．（2025高二下·锡山期中）二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二进制数(）对应的十进制数记为，即其中， ，则在中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为（　　）
A．1910 B．1990 C．12252 D．12523
【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：根据题意得 ，
因为在中恰好有2个0的有=28种可能，即所有符合条件的二进制数 的个数为28．
所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现=28次，，…，2，均出现=21次，所以满足中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的和为
故答案为：D．
【分析】本题需先确定二进制数的位数与0的分布规则，再利用组合数统计各数位（）在所有符合条件的数中出现的次数，最后结合等比数列求和计算总和。
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二下·锡山期中）某种产品的价格x（单位：元/kg）与需求量y（单位：kg）之间的对应数据如下表所示：
x 10 15 20 25 30
y 12 11 9 7 6
根据表中的数据可得回归直线方程，则以下正确的是（　　）
A．相关系数
B．第一个样本点对应的残差为-0.2
C．
D．若该产品价格为35元/kg，则日需求量大约为4.2kg
【答案】B,C,D
【知识点】线性回归方程；回归分析；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：由对应数据可知，增大，减小，是负相关关系，
所以相关系数
，
，
代入后得，
所以，
即，
所以相关系数，
故A错误，C正确；
由回归直线方程，当时，，
所以第一个样本点对应的残差为，故B正确；
当时，，故D正确.
故选：BCD.
【分析】观察数据的变化关系即可判断相关系数正负，利用求得回归方程，利用残差公式得到残差，并根据回归直线方程进行预测.
10．（2025高二下·锡山期中）一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球 两个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个.记事件为“第次取到的球是红球”，事件为“两次取到的球颜色相同”，事件为“两次取到的球颜色不同”，则（　　）
A．与互斥 B．
C． D．与相互独立
【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件；条件概率
【解析】【解答】A，与可以同时发生，即两次取到的都是红球，则与不互斥，故A错误；
B，箱子中有大小形状均相同的两个红球、两个白球，则，故B正确；
C，，，则，故C正确；
D，，，，则有与相互独立，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】A：互斥事件要求不能同时发生，判断 与 是否能同时发生。
B：利用古典概型或全概率公式计算第二次取到红球的概率。
C：根据条件概率公式 ，先计算联合概率和边缘概率。
D：独立事件满足 ，分别计算两边概率验证等式是否成立。
11．（2025高二下·锡山期中）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（　　）
A．第10行所有数字的和为1024
B．
C．第9行所有数字的平方和等于
D．若第行第个数记为，则
【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；组合数的基本计算
【解析】【解答】A：在杨辉三角中，第10行的所有的数字之和为，A正确；
B：由公式得：，B错误；
C：在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字，
即，
因为
对应相乘可得的系数为，
而二项式展开式的通项公式，，
当时，，则的系数为，
所以，
所以第9行所有数字的平方和等于，C正确；
D：第行的第个数为，所以
即，D正确.
故答案为：ACD
【分析】A：杨辉三角第 行数字和为 ，直接代入 计算。
B：利用组合数性质 进行累加求和。
C：利用二项式定理，第 行数字平方和等于 。
D：将求和式逆用二项式定理，化简为 。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·锡山期中）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布，则　 　．（精确到0.01）
参考数据：若，则，，．
【答案】
【知识点】正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：
【分析】用正态分布的参数与对称性，将目标区间转化为已知概率区间，结合参考数据完成概率计算.先提取分布参数，将目标区间端点用均值与标准差表示，再借助正态分布的对称性拆分区间，代入给定参考概率求解.
13．（2025高二下·锡山期中）某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为　 　.（用数字作答）
【答案】360
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：(1)计算0人参加“舞动青春”社团的方法数：
将名同学分配到“书法协会”、“红袖添香”和“羽乒协会”三个社团，且每个社团至多两人参加.
可先将人分成，，三组，有种，
再将这三组在三个社团上全排列，可得，故方法数为种；
(2)计算人参加“舞动青春”社团的方法数：
先从人中选人参加“舞动青春”社团，有种.
然后将剩下的人分配到“书法协会”、“红袖添香”和“羽乒协会”三个社团，且每个社团至多两人参加，
可将人按照，或，，分组.
① 若按照，分组，则有种，再将分好的两组全排列，安排到三个社团中的两个，
则有种，故方法数为种；
② 若按照，，分组，则有种，再将这三组在三个社团上全排列，
则有，故方法数为种.
故有人参加“舞动青春”社团的方法数为种.
综上(1)，(2)，这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为：种.
故答案为：360.
【分析】分0 人参加 “舞动青春”和1 人参加 “舞动青春”两种情况，结合排列组合的分组分配公式计算，最后用分类加法计数原理求和。
14．（2025高二下·锡山期中）若存在实数a，b使得，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：不等式，
令，求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，，
因此，，当且仅当时取等号，则，，
于是，结合已知条件，
此时，，即，所以．
故答案为：．
【分析】先将不等式变形为可利用经典不等式的形式，构造辅助函数求其最小值，结合不等式取等条件求出a、b的值，进而得到a+b。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·锡山期中）已知函数，且当时，有极值－5．
（1）求的值；
（2）求在上的值域．
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
因为当时，有极值－5，
所以，解得，
则，
当时，单调递减；当时，单调递增，
即当时，有极小值，
故；
（2）解：由（1）知，
令，得，
的值随的变化情况如下表：
－4 －1 3 4
+ 0 － 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值－5 单调递增
由表可知在上的最大值为，最小值为，
即在上的值域为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导函数，根据极值点列方程求解，注意检验即可；
（2）由（1）知，令，得，利用导数判断函数的单调性写出极值和最值，求函数的值域即可.
（1）由，得，
又当时，有极值－5，所以，解得
所以，当时，单调递减；当时，单调递增．
所以当时，有极小值．
所以．
（2）由（1）知．
令，得，
的值随的变化情况如下表：
－4 －1 3 4
+ 0 － 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值－5 单调递增
由表可知在上的最大值为，最小值为，
即在上的值域为．
16．（2025高二下·锡山期中）为适应社会化安全宣传新形势新要求，充分发挥区域特色和示范效应，深入推进安全宣传进企业、进农村、进社区、进学校、进家庭，普及安全知识、培育安全文化，某单位用简单随机抽样的方法从A，B两个社区中抽取居民进行满意度调查，调查中有“满意”和“不满意”两个选项，调查的部分数据如下表所示：
社区 居民意见 合计
满意 不满意 　
A社区 30 　 45
B社区 　 　 55
合计 　 25 　
（1）完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为居民满意度与所在社区有关？
（2）现从已抽取的“不满意”的居民中随机抽取2位居民进行深入调研，用X表示抽取的“不满意”的居民来自A社区的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．
附：参考公式：，其中．
0.10 0.05 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
【答案】（1）解：根据题目数据可完善列联表：
社区 居民意见 合计
满意 不满意
A社区 30 15 45
B社区 45 10 55
合计 75 25 100
零假设为：居民满意度与所在社区不具有相关性.
根据列联表中的数据，
得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即认为居民满意度与所在社区无关.
（2）解：已抽取的“不满意”的居民中，A社区有15人，B社区有10人，所以随机变量的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
所以的分布列为
0 1 2
所以.
【知识点】独立性检验的应用；超几何分布；2×2列联表
【解析】【分析】(1) 先补全列联表，再代入卡方公式计算 值，与临界值 比较，判断是否有关联。
(2) 确定“不满意”居民中A、B社区人数，用超几何分布求 的分布列和期望。
（1）根据题目数据可完善列联表：
社区 居民意见 合计
满意 不满意
A社区 30 15 45
B社区 45 10 55
合计 75 25 100
零假设为：居民满意度与所在社区不具有相关性.
根据列联表中的数据，
得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即认为居民满意度与所在社区无关.
（2）已抽取的“不满意”的居民中，A社区有15人，B社区有10人，
所以随机变量的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
所以的分布列为
0 1 2
所以.
17．（2025高二下·锡山期中）某单位有11名外语翻译人员（每名翻译人员都能从事英语或俄语翻译），其中能从事英语翻译人，且满足，能从事俄语翻译6人．
（1）问既能从事英语翻译也能从事俄语翻译的有几人？
（2）现要从中选出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译俄语，则有多少种不同的选派方式？
【答案】（1）解：由，得，整理得：，
解得：，又且，，于是，
所以既能从事英语翻译也能从事俄语翻译的有人.
（2）解：由（1）知，只能从事英语翻译的5人，只能从事俄语翻译的3人，既能从事英语又能从事俄语的3人，按“多面手”的参与情况分成三类情况：
①多面手有1人入选，种；
②多面手有2人入选，种；
③多面手有3人入选，种．
综上所述，共有种选人方案．
【知识点】排列、组合的实际应用；排列数公式
【解析】【分析】(1) 先利用排列数公式解不等式求出 ，再用容斥原理计算“既能英语也能俄语”的人数。
(2) 按“多面手”（既能英语也能俄语）的入选人数分类，用组合数加法和乘法原理计算总选派方式。
（1）由，得，整理得：，
解得：，又且，，于是，
所以既能从事英语翻译也能从事俄语翻译的有人.
（2）由（1）知，只能从事英语翻译的5人，只能从事俄语翻译的3人，既能从事英语又能从事俄语的3人，
按“多面手”的参与情况分成三类情况：
①多面手有1人入选，种；
②多面手有2人入选，种；
③多面手有3人入选，种．
综上所述，共有种选人方案．
18．（2025高二下·锡山期中）同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗 其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩：
　 1 2 3 4 5 6
甲 25 21 27 27 23 25
乙 18 25 25 25 25 17
假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立.
（1）估计甲队每局获胜的概率；
（2）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；
（3）如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小
【答案】（1）解：由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为，
用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为.
（2）解：随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
可得：，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3
所以数学期望．
（3）解：记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件，设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，
因两队积分相等，所以，即，则，
而，，
，
所以
，
因为，所以两队积分相等的概率小于
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率分布列；用频率估计概率
【解析】【分析】(1) 先统计甲队获胜的局数，结合频率与概率的关系，用频率估计概率求出甲队每局获胜的概率；
(2) 先确定甲队积分X的所有可能取值，再结合 “5 局 3 胜制” 的比赛规则和独立事件概率公式，分别计算各取值的概率，列出分布列后计算数学期望。
（1）由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为，
用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为.
（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
可得：，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3
所以数学期望．
（3）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件，
设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，
因两队积分相等，所以，即，则，
而，，
，
所以
，
因为，所以两队积分相等的概率小于
19．（2025高二下·锡山期中）已知函数，其中.
（1）证明：当时，；
（2）若时，有极小值，求实数的取值范围；
（3）对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为，则对任意恒成立，
可知在内单调递减，则，
所以当时，.
（2）解：因为，则，
令，则对任意恒成立，
可知在内单调递增，则，
当，即时，则对任意恒成立，即，
可知在内单调递增，无极值，不合题意；
当，即时，则在内存在唯一零点，
当时，，即；当时，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
可知存在极小值，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
（3）解：令，
则，
原题意等价于对任意恒成立，
且，则，解得，
若，因为，则，
则，
可知在内单调递增，则，即符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 先对求导，利用导数判断其在上的单调性，结合单调性证明；
(2) 对求导后构造新函数，分析的单调性，结合极值存在的条件分类讨论的取值范围；
(3) 将不等式变形后构造新函数，利用端点效应初步确定的范围，再代入验证其充分性。
（1）因为，则对任意恒成立，
可知在内单调递减，则，
所以当时，.
（2）因为，则，
令，则对任意恒成立，
可知在内单调递增，则，
当，即时，则对任意恒成立，即，
可知在内单调递增，无极值，不合题意；
当，即时，则在内存在唯一零点，
当时，，即；当时，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
可知存在极小值，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
（3）令，
则，
原题意等价于对任意恒成立，
且，则，解得，
若，因为，则，
则，
可知在内单调递增，则，即符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
1 / 1江苏省无锡市天一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·锡山期中）函数的导数为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025高二下·锡山期中）已知随机变量，Y服从两点分布，若，，则（　　）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
3．（2025高二下·锡山期中）展开式中的常数项为（　　）
A．3 B．-3 C．7 D．-7
4．（2025高二下·锡山期中）青年大学习是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回答．某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为，且两题是否答对相互之间没有影响，则至少答对一个问题的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高二下·锡山期中）下列说法不正确的是（　　）
A．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好
B．若随机变量，且，则
C．若随机变量，则方差
D．若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，则乙组数据的线性相关性更强
6．（2025高二下·锡山期中）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·锡山期中）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·锡山期中）二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二进制数(）对应的十进制数记为，即其中， ，则在中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为（　　）
A．1910 B．1990 C．12252 D．12523
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二下·锡山期中）某种产品的价格x（单位：元/kg）与需求量y（单位：kg）之间的对应数据如下表所示：
x 10 15 20 25 30
y 12 11 9 7 6
根据表中的数据可得回归直线方程，则以下正确的是（　　）
A．相关系数
B．第一个样本点对应的残差为-0.2
C．
D．若该产品价格为35元/kg，则日需求量大约为4.2kg
10．（2025高二下·锡山期中）一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球 两个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个.记事件为“第次取到的球是红球”，事件为“两次取到的球颜色相同”，事件为“两次取到的球颜色不同”，则（　　）
A．与互斥 B．
C． D．与相互独立
11．（2025高二下·锡山期中）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（　　）
A．第10行所有数字的和为1024
B．
C．第9行所有数字的平方和等于
D．若第行第个数记为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·锡山期中）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布，则　 　．（精确到0.01）
参考数据：若，则，，．
13．（2025高二下·锡山期中）某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为　 　.（用数字作答）
14．（2025高二下·锡山期中）若存在实数a，b使得，则的值为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·锡山期中）已知函数，且当时，有极值－5．
（1）求的值；
（2）求在上的值域．
16．（2025高二下·锡山期中）为适应社会化安全宣传新形势新要求，充分发挥区域特色和示范效应，深入推进安全宣传进企业、进农村、进社区、进学校、进家庭，普及安全知识、培育安全文化，某单位用简单随机抽样的方法从A，B两个社区中抽取居民进行满意度调查，调查中有“满意”和“不满意”两个选项，调查的部分数据如下表所示：
社区 居民意见 合计
满意 不满意 　
A社区 30 　 45
B社区 　 　 55
合计 　 25 　
（1）完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为居民满意度与所在社区有关？
（2）现从已抽取的“不满意”的居民中随机抽取2位居民进行深入调研，用X表示抽取的“不满意”的居民来自A社区的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．
附：参考公式：，其中．
0.10 0.05 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
17．（2025高二下·锡山期中）某单位有11名外语翻译人员（每名翻译人员都能从事英语或俄语翻译），其中能从事英语翻译人，且满足，能从事俄语翻译6人．
（1）问既能从事英语翻译也能从事俄语翻译的有几人？
（2）现要从中选出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译俄语，则有多少种不同的选派方式？
18．（2025高二下·锡山期中）同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗 其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩：
　 1 2 3 4 5 6
甲 25 21 27 27 23 25
乙 18 25 25 25 25 17
假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立.
（1）估计甲队每局获胜的概率；
（2）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；
（3）如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小
19．（2025高二下·锡山期中）已知函数，其中.
（1）证明：当时，；
（2）若时，有极小值，求实数的取值范围；
（3）对任意的恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：B.
【分析】利用导数的运算法则以及复合函数求导法则求解即可.
2．【答案】C
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：因为随机变量，
所以，
解得（舍去，注意：），
则．
故答案为：C．
【分析】利用二项分布的概率公式得出p的值，再利用两点分布概率公式计算得出的值.
3．【答案】D
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：根据二项式定理，展开式的通项公式为（其中）．
与展开式中项相乘得到常数项，
令，则，解得．
将代入通项公式可得，
那么与相乘得到的常数项为．
与展开式中常数项相乘得到常数项，
令，则，解得．
将代入通项公式可得，
那么与相乘得到的常数项为．
将上述两部分常数项相加，可得展开式中的常数项为．
展开式中的常数项为．
故答案为：D．
【分析】要找到展开式的常数项，需先写出的通项公式，再分别分析和与该二项式相乘得到常数项的两种情况，最后将两种情况的常数项相加得到结果。
4．【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】依题意，至少答对一个问题的概率是.
故答案为：A
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式求解，可得答案.
5．【答案】D
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】A，决定系数越大，说明模型拟合的效果越好，故A正确；
B，随机变量，则，则，故B正确；
C，因为随机变量，则方差，故C正确；
D，因为甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，且，所以甲组数据的线性相关性更强，故D不正确.
故答案为：D
【分析】A：决定系数 是衡量回归模型拟合效果的指标， 越接近1，模型拟合效果越好。
B：正态分布关于均值对称，利用对称性计算区间概率。
C：直接套用二项分布的方差公式 计算。
D：相关系数的线性相关性强弱由绝对值决定，绝对值越大相关性越强。
6．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由已知，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
即，，所以
故答案为：D
【分析】 函数在区间上单调递增等价于其导数在该区间上恒大于等于 0，通过参变分离将问题转化为求函数在区间上的最小值，进而确定参数的取值范围。
7．【答案】C
【知识点】全概率公式；条件概率；贝叶斯公式
【解析】【解答】解：设事件为检验结果呈现阳性，事件为此人患病，
因为，
，
所以.
故答案为：C.
【分析】先设事件，利用条件概率和全概率公式求得，再利用贝叶斯公式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：根据题意得 ，
因为在中恰好有2个0的有=28种可能，即所有符合条件的二进制数 的个数为28．
所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现=28次，，…，2，均出现=21次，所以满足中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的和为
故答案为：D．
【分析】本题需先确定二进制数的位数与0的分布规则，再利用组合数统计各数位（）在所有符合条件的数中出现的次数，最后结合等比数列求和计算总和。
9．【答案】B,C,D
【知识点】线性回归方程；回归分析；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：由对应数据可知，增大，减小，是负相关关系，
所以相关系数
，
，
代入后得，
所以，
即，
所以相关系数，
故A错误，C正确；
由回归直线方程，当时，，
所以第一个样本点对应的残差为，故B正确；
当时，，故D正确.
故选：BCD.
【分析】观察数据的变化关系即可判断相关系数正负，利用求得回归方程，利用残差公式得到残差，并根据回归直线方程进行预测.
10．【答案】B,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件；条件概率
【解析】【解答】A，与可以同时发生，即两次取到的都是红球，则与不互斥，故A错误；
B，箱子中有大小形状均相同的两个红球、两个白球，则，故B正确；
C，，，则，故C正确；
D，，，，则有与相互独立，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】A：互斥事件要求不能同时发生，判断 与 是否能同时发生。
B：利用古典概型或全概率公式计算第二次取到红球的概率。
C：根据条件概率公式 ，先计算联合概率和边缘概率。
D：独立事件满足 ，分别计算两边概率验证等式是否成立。
11．【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；组合数的基本计算
【解析】【解答】A：在杨辉三角中，第10行的所有的数字之和为，A正确；
B：由公式得：，B错误；
C：在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字，
即，
因为
对应相乘可得的系数为，
而二项式展开式的通项公式，，
当时，，则的系数为，
所以，
所以第9行所有数字的平方和等于，C正确；
D：第行的第个数为，所以
即，D正确.
故答案为：ACD
【分析】A：杨辉三角第 行数字和为 ，直接代入 计算。
B：利用组合数性质 进行累加求和。
C：利用二项式定理，第 行数字平方和等于 。
D：将求和式逆用二项式定理，化简为 。
12．【答案】
【知识点】正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：
【分析】用正态分布的参数与对称性，将目标区间转化为已知概率区间，结合参考数据完成概率计算.先提取分布参数，将目标区间端点用均值与标准差表示，再借助正态分布的对称性拆分区间，代入给定参考概率求解.
13．【答案】360
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：(1)计算0人参加“舞动青春”社团的方法数：
将名同学分配到“书法协会”、“红袖添香”和“羽乒协会”三个社团，且每个社团至多两人参加.
可先将人分成，，三组，有种，
再将这三组在三个社团上全排列，可得，故方法数为种；
(2)计算人参加“舞动青春”社团的方法数：
先从人中选人参加“舞动青春”社团，有种.
然后将剩下的人分配到“书法协会”、“红袖添香”和“羽乒协会”三个社团，且每个社团至多两人参加，
可将人按照，或，，分组.
① 若按照，分组，则有种，再将分好的两组全排列，安排到三个社团中的两个，
则有种，故方法数为种；
② 若按照，，分组，则有种，再将这三组在三个社团上全排列，
则有，故方法数为种.
故有人参加“舞动青春”社团的方法数为种.
综上(1)，(2)，这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为：种.
故答案为：360.
【分析】分0 人参加 “舞动青春”和1 人参加 “舞动青春”两种情况，结合排列组合的分组分配公式计算，最后用分类加法计数原理求和。
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：不等式，
令，求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，，
因此，，当且仅当时取等号，则，，
于是，结合已知条件，
此时，，即，所以．
故答案为：．
【分析】先将不等式变形为可利用经典不等式的形式，构造辅助函数求其最小值，结合不等式取等条件求出a、b的值，进而得到a+b。
15．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
因为当时，有极值－5，
所以，解得，
则，
当时，单调递减；当时，单调递增，
即当时，有极小值，
故；
（2）解：由（1）知，
令，得，
的值随的变化情况如下表：
－4 －1 3 4
+ 0 － 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值－5 单调递增
由表可知在上的最大值为，最小值为，
即在上的值域为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导函数，根据极值点列方程求解，注意检验即可；
（2）由（1）知，令，得，利用导数判断函数的单调性写出极值和最值，求函数的值域即可.
（1）由，得，
又当时，有极值－5，所以，解得
所以，当时，单调递减；当时，单调递增．
所以当时，有极小值．
所以．
（2）由（1）知．
令，得，
的值随的变化情况如下表：
－4 －1 3 4
+ 0 － 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值－5 单调递增
由表可知在上的最大值为，最小值为，
即在上的值域为．
16．【答案】（1）解：根据题目数据可完善列联表：
社区 居民意见 合计
满意 不满意
A社区 30 15 45
B社区 45 10 55
合计 75 25 100
零假设为：居民满意度与所在社区不具有相关性.
根据列联表中的数据，
得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即认为居民满意度与所在社区无关.
（2）解：已抽取的“不满意”的居民中，A社区有15人，B社区有10人，所以随机变量的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
所以的分布列为
0 1 2
所以.
【知识点】独立性检验的应用；超几何分布；2×2列联表
【解析】【分析】(1) 先补全列联表，再代入卡方公式计算 值，与临界值 比较，判断是否有关联。
(2) 确定“不满意”居民中A、B社区人数，用超几何分布求 的分布列和期望。
（1）根据题目数据可完善列联表：
社区 居民意见 合计
满意 不满意
A社区 30 15 45
B社区 45 10 55
合计 75 25 100
零假设为：居民满意度与所在社区不具有相关性.
根据列联表中的数据，
得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即认为居民满意度与所在社区无关.
（2）已抽取的“不满意”的居民中，A社区有15人，B社区有10人，
所以随机变量的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
所以的分布列为
0 1 2
所以.
17．【答案】（1）解：由，得，整理得：，
解得：，又且，，于是，
所以既能从事英语翻译也能从事俄语翻译的有人.
（2）解：由（1）知，只能从事英语翻译的5人，只能从事俄语翻译的3人，既能从事英语又能从事俄语的3人，按“多面手”的参与情况分成三类情况：
①多面手有1人入选，种；
②多面手有2人入选，种；
③多面手有3人入选，种．
综上所述，共有种选人方案．
【知识点】排列、组合的实际应用；排列数公式
【解析】【分析】(1) 先利用排列数公式解不等式求出 ，再用容斥原理计算“既能英语也能俄语”的人数。
(2) 按“多面手”（既能英语也能俄语）的入选人数分类，用组合数加法和乘法原理计算总选派方式。
（1）由，得，整理得：，
解得：，又且，，于是，
所以既能从事英语翻译也能从事俄语翻译的有人.
（2）由（1）知，只能从事英语翻译的5人，只能从事俄语翻译的3人，既能从事英语又能从事俄语的3人，
按“多面手”的参与情况分成三类情况：
①多面手有1人入选，种；
②多面手有2人入选，种；
③多面手有3人入选，种．
综上所述，共有种选人方案．
18．【答案】（1）解：由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为，
用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为.
（2）解：随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
可得：，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3
所以数学期望．
（3）解：记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件，设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，
因两队积分相等，所以，即，则，
而，，
，
所以
，
因为，所以两队积分相等的概率小于
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率分布列；用频率估计概率
【解析】【分析】(1) 先统计甲队获胜的局数，结合频率与概率的关系，用频率估计概率求出甲队每局获胜的概率；
(2) 先确定甲队积分X的所有可能取值，再结合 “5 局 3 胜制” 的比赛规则和独立事件概率公式，分别计算各取值的概率，列出分布列后计算数学期望。
（1）由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为，
用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为.
（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
可得：，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3
所以数学期望．
（3）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件，
设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，
因两队积分相等，所以，即，则，
而，，
，
所以
，
因为，所以两队积分相等的概率小于
19．【答案】（1）解：因为，则对任意恒成立，
可知在内单调递减，则，
所以当时，.
（2）解：因为，则，
令，则对任意恒成立，
可知在内单调递增，则，
当，即时，则对任意恒成立，即，
可知在内单调递增，无极值，不合题意；
当，即时，则在内存在唯一零点，
当时，，即；当时，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
可知存在极小值，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
（3）解：令，
则，
原题意等价于对任意恒成立，
且，则，解得，
若，因为，则，
则，
可知在内单调递增，则，即符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 先对求导，利用导数判断其在上的单调性，结合单调性证明；
(2) 对求导后构造新函数，分析的单调性，结合极值存在的条件分类讨论的取值范围；
(3) 将不等式变形后构造新函数，利用端点效应初步确定的范围，再代入验证其充分性。
（1）因为，则对任意恒成立，
可知在内单调递减，则，
所以当时，.
（2）因为，则，
令，则对任意恒成立，
可知在内单调递增，则，
当，即时，则对任意恒成立，即，
可知在内单调递增，无极值，不合题意；
当，即时，则在内存在唯一零点，
当时，，即；当时，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
可知存在极小值，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
（3）令，
则，
原题意等价于对任意恒成立，
且，则，解得，
若，因为，则，
则，
可知在内单调递增，则，即符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
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