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江苏省泰州市姜堰区2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·姜堰期中）已知向量，，若，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·姜堰期中）在 的展开式中， 的系数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高二下·姜堰期中）从5名大学毕业生中挑选3个人，分别担任三个班的实习班主任，甲、乙至少有1人入选，则不同的安排方法有（　　）种
A．9 B．36 C．54 D．72
4．（2025高二下·姜堰期中）若随机事件A，B满足，，，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高二下·姜堰期中）已知随机变量X的分布列为
0 1
若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·姜堰期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·姜堰期中）各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如六进制数转换为十进制数的算法为.若将六进制数转换为十进制数，则转换后的数被除所得的余数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·姜堰期中）已知3名医生和3名护士排成一排拍合照，若医生甲不站两端，3名护士中至多有2名相邻，则不同的排法共有（　　）种.
A．72 B．144 C．288 D．408
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·姜堰期中）下列说法正确的有（　　）
A．从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，共有种不同方法
B．平面内有个点，以其中个点为端点的线段共有条
C．从、、、、五个数中任取两个相减可以得到个不相等的差
D．个不同的小球放入编号为、、、的个盒子中，恰有一个空盒的放法有种
10．（2025高二下·姜堰期中）在长方体中，，，E、F分别是、的中点，则下列结论中成立的是（　　）
A．平面
B．平面
C．点到平面的距离为
D．直线到平面的距离为
11．（2025高二下·姜堰期中）如图，“杨辉三角”是二项式系数在压角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（　　）
A．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为120
B．在“杨辉三角”第行中，从左到右只有第6个数是该行的最大值，则为12
C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则
D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·姜堰期中）计算　 　.（用数字作答）
13．（2025高二下·姜堰期中）某工厂3个车间生产同一件计算机配件，3个车间产量分别占总产量的25%，30%，45%，这3个车间的次品率依次为6%，5%，5%.任取一个配件是次品的概率为　 　.
14．（2025高二下·姜堰期中）空间四面体中，，，且，，则直线与直线所成角的余弦值为　 　
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·姜堰期中）从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选取3个数字，试问：
（1）能组成多少个没有重复数字的三位数
（2）能组成多少个没有重复数字的三位偶数
16．（2025高二下·姜堰期中）已知的展开式中，各项的二项式系数的和为.
（1）求展开式中所有项的系数之和；
（2）求展开式中系数最大的有理项.
17．（2025高二下·姜堰期中）已知三棱锥中，，，，，点为的中点，点满足，点满足.
（1）求的长；
（2）求的值.
18．（2025高二下·姜堰期中）现有A、B两个不透明的袋子，A袋中装有2个红球、2个白球，B袋中装有1个红球、2个白球.玩家甲和玩家乙分别参与摸球游戏，每人各参与一次且互不影响，得分高者获胜游戏规则是：玩家先从袋子A中随机摸出2个球，
情况1：摸出的2个球颜色相同，则将这2个球放入袋子B中，然后从袋子B中随机摸出2个球；若摸出2个球同色，则玩家获得8分，若摸出2个球不同色，则玩家获得4分；
情况2：摸出的2个球颜色不同，则将这2个球放回袋子A中，然后从袋子A中再随机摸出2个球；若摸出2个球同色，则玩家获得6分，若摸出2个球不同色，则玩家获得4分.
（1）求玩家甲在游戏中得8分的概率；
（2）求玩家乙在游戏中获胜的概率；
（3）设玩家甲和玩家乙在游戏中得分的总和为X，求X的分布列和数学期望.
19．（2025高二下·姜堰期中）如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）设，若二面角的正弦值为，求实数的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，由，得，
所以.
故答案为：A
【分析】空间向量共线时，对应坐标成比例，利用这一性质列出比例式，分别求出x和y的值，再计算xy。
2．【答案】A
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】 的展开式通项为 ，令 ，得 .
因此， 的系数为 .
故答案为：A.
【分析】写出二项展开式的通项，令 的指数为3，求出参数的值，代入通项即可计算出 的系数.
3．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：当甲、乙两人中有1人入选，先选出2人中的1人，再从剩下的3个人中选出2个，
最后将其分配到3个班级，故有种；
当甲、乙两人都入选，则先从剩下的3人中选出1人，再将其分配到3个班级，故有种；
所以，共有种不同的选派方法.
故答案为：C
【分析】采用分类计数的思路，将“甲、乙至少有 1 人入选”拆分为“甲、乙恰有 1人入选”和“甲、乙都入选”两类，分别计算每类的选法与班级分配数，最后相加得到总方法数。
4．【答案】A
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：已知，，根据条件概率公式，可得.
将，代入上式，可得.
已知，，根据条件概率公式，可得.
故答案为：A.
【分析】利用条件概率公式，先由已知的 P(B∣A) 和 P(A) 求出联合概率 P(AB)，再代入公式计算 P(A∣B)。
5．【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意可得，
则，解得．
故答案为：D.
【分析】先根据分布列计算随机变量的期望 ，再代入方差公式 ，结合题目给出的 建立方程，求解 的值。
6．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：如下图所示：
因为、、、四点共面，且、不共线，
则存在、，使得，
即，
所以，
因为四边形为平行四边形，所以，即，
所以，
设，则，
因为、、不共面，所以，解得，所以，
又因为，故，
故答案为：C.
【分析】利用空间向量共面定理：若四点共面，则其中一点到另外三点的向量可表示为另外两向量的线性组合.将所有向量用 、、 表示，通过系数对应相等建立方程组，求解 。
7．【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：，
因为
，
因为能被整除，
所以，将六进制数转换为十进制数，则转换后的数被除所得的余数是.
故答案为：D.
【分析】先将六进制数按等比数列求和公式转化为十进制数，得到 ，再利用二项式定理展开，分析其除以7的余数。
8．【答案】D
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先考虑甲不站两端的情况，甲在中间4个位置中任选一个位置，其余5人全排列，共有种；
再考虑甲不站两端且3名护士相邻的情况，将3名护士看作一个整体，则共有4个位置可供选择，
甲先在中间2个位置中任选一个位置，其余3人全排列，以及3名护士全排列，共有种，
则满足题意的排法共有种.
故答案为：D
【分析】采用间接法计数：先算出医生甲不站两端的所有排法，再减去甲不站两端且3名护士全部相邻的排法，剩余即为满足“甲不站两端且护士至多2名相邻”的排法。
9．【答案】A,B,D
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】A，从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，共有种不同的方法，A正确；
B，平面内有个点，以其中个点为端点的线段共有条，B正确；
C，从、、、、五个数中任取两个相减，可得到得差的集合为，所以，从、、、、五个数中任取两个相减可以得到个不相等的差，C错误；
D，个不同的小球放入编号为、、、的个盒子中，恰有一个空盒，
先将个小球分为三组，每组小球的数量分别为、、，不同的分组方法种数为种，
然后从个盒子中取出个盒子，将组小球放入这三个盒子，
因此，恰有个空盒的放法种数为，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：从 6 件不同礼物中选 3 件送给 3 名同学，属于排列问题（顺序不同送法不同），用排列数计算。
B：平面内 6 个点中任取 2 个作线段，属于组合问题（线段无方向），用组合数计算。
C：任取两数相减，需枚举所有差值并去重，统计不相等的差的个数。
D：4 个不同小球放入 4 个盒子恰有 1 个空盒，需先分组（2，1，1），再分配到 3 个盒子，用分组分配法计算。
10．【答案】A,B,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：以直线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在中，如图：
则，
，所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
因为，又平面，
所以平面，故A正确；
所以直线到平面的距离为点到平面的距离，又，
所以点到平面的距离为，
所以直线到平面的距离为，故D正确；
设平面的一个法向量为，又，
则，令，得，
又，所以，所以平面，故B正确；
设平面的一个法向量为，又，
则，令，得，
则点到平面的距离为，故C错误.
故答案为：ABD
【分析】 建立空间直角坐标系，将几何问题转化为向量运算。通过计算向量坐标，利用向量平行 / 垂直的判定方法判断线面关系，再借助平面法向量计算点到平面、直线到平面的距离，逐一验证选项。
11．【答案】A,D
【知识点】二项式定理；二项展开式；二项式系数；组合数公式
【解析】【解答】A，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，A正确；
B，由从左到右只有第6个数是该行的最大值，得共有11个数，因此，B错误；
C，第行的第个数为，
，C错误；
D，，
则是展开式中项的系数，
而，展开式中项的系数为，
因此，D正确.
故答案为：AD
【分析】利用杨辉三角与组合数的对应关系，结合组合数性质、二项式定理，逐一分析各选项：
A：将每行第3列数字对应为组合数，用组合数求和公式计算。
B：根据二项式系数的对称性与最大值位置判断行数。
C：将杨辉三角的数对应为组合数，代入求和式后用二项式定理展开验证。
D：利用二项式乘积展开式的系数关系，证明平方和等于指定项系数。
12．【答案】
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据排列数和组合数的定义，分别计算与的值，再将结果相加得到最终答案。
13．【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：由题意，3个车间产量分别占总产量的25%，30%，45%，次品率依次为6%，5%，5%，
∴任取一个配件是次品的概率为：，
故答案为：.
【分析】这是全概率公式的应用，将 “任取一件为次品” 这一事件拆解为三个车间分别生产次品的互斥事件，用各车间产量占比乘以对应次品率后求和，得到总次品概率。
14．【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：在空间四面体中，，，
将四面体补成长方体，
则，解得，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
因为为的中点，则，由，可得，
所以，，
所以.
因此，直线与直线所成角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】将四面体补成长方体，利用已知边长建立空间直角坐标系，求出点坐标后得到向量 和 ，再通过向量夹角公式计算直线 与 所成角的余弦值。
15．【答案】（1）解：从给定的7个数字中任取3个进行排列，有种方法，其中百位数字是0的有个，
所以没有重复数字的三位数个数是.
（2）解：个位数字是0的三位数有个，个位数字是之一的三位数有个，
所以没有重复数字的三位偶数个数是.
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】 (1) 要组成无重复数字的三位数，需先确定百位不能为0，可通过总排列数减去百位为0的排列数，或直接分步确定百位、十位、个位的选数方法来计算。
(2) 要组成无重复数字的三位偶数，需按个位是否为 0 分类讨论：个位为 0 时百位和十位可自由选数；个位为2、4、6时，百位需排除0和个位数字，再计算两类的数量之和。
（1）从给定的7个数字中任取3个进行排列，有种方法，其中百位数字是0的有个，
所以没有重复数字的三位数个数是.
（2）个位数字是0的三位数有个，个位数字是之一的三位数有个，
所以没有重复数字的三位偶数个数是.
16．【答案】（1）解：的展开式中，各项的二项式系数的和为，解得，
所以，展开式中所有项的系数和为.
（2）解：的展开式通项为，
令，可得，
时，；时，；时，.
所以，展开式中系数最大的有理项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【分析】(1) 二项式系数和为，先由 求出，再令二项式中所有字母为1，得到展开式所有项的系数和。
(2) 写出通项公式，令的指数为整数筛选出有理项，再比较各有理项系数大小，找出系数最大的项。
（1）的展开式中，各项的二项式系数的和为，解得，
所以，展开式中所有项的系数和为.
（2）的展开式通项为，
令，可得，
时，；时，；时，.
所以，展开式中系数最大的有理项为.
17．【答案】（1）解：在三棱锥中，点为的中点，，
，而，，
，
所以
.
（2）解：由，得，
所以
.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】(1) 建立空间向量基底，利用中点和向量分点关系将 用 、、 表示，再通过向量模长公式结合数量积计算 。
(2) 同理用基底表示 与 ，再利用数量积运算律展开代入数据计算。
（1）在三棱锥中，点为的中点，，
，而，，
，
所以
.
（2）由，得，
所以
.
18．【答案】（1）解：玩家甲在游戏中得8分，则包括以下两种情况：
甲从袋子A中随机摸出2个红球，再将这2个球放入袋子B中后从袋子B中随机摸出2个球同色；
甲从袋子A中随机摸出2个白球，再将这2个球放入袋子B中后从袋子B中随机摸出2个白球.
所以玩家甲在游戏中得8分的概率为.
（2）解：由（1）玩家在游戏中得8分的概率为，
玩家在游戏中得6分的概率为，
玩家在游戏中得4分的概率为，
玩家乙在游戏中获胜的情况有以下三种情况：
甲获得4分，玩家乙在游戏中得6分获胜，此情况发生的概率为；
甲获得4分，玩家乙在游戏中得8分获胜，此情况发生的概率为；
甲获得6分，玩家乙在游戏中得8分获胜，此情况发生的概率为；
所以玩家乙在游戏中获胜的概率为；
（3）解：由题意可得，
所以，，
，，
，
所以X的分布列为
X 8 10 12 14 16
P
所以.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1) 玩家甲得8分需满足：先从A袋摸出2个同色球，再从操作后的B袋摸出2个同色球，分步计算概率后相乘。
(2) 先分别求出甲、乙得4分、6分、8分的概率，再枚举乙得分高于甲的所有情况，求和得到乙获胜的概率。
(3) 确定总分X的所有可能取值，分别计算对应概率得到分布列，再代入期望公式求解。
（1）玩家甲在游戏中得8分，则包括以下两种情况：
甲从袋子A中随机摸出2个红球，再将这2个球放入袋子B中后从袋子B中随机摸出2个球同色；
甲从袋子A中随机摸出2个白球，再将这2个球放入袋子B中后从袋子B中随机摸出2个白球.
所以玩家甲在游戏中得8分的概率为.
（2）由（1）玩家在游戏中得8分的概率为，
玩家在游戏中得6分的概率为，
玩家在游戏中得4分的概率为，
玩家乙在游戏中获胜的情况有以下三种情况：
甲获得4分，玩家乙在游戏中得6分获胜，此情况发生的概率为；
甲获得4分，玩家乙在游戏中得8分获胜，此情况发生的概率为；
甲获得6分，玩家乙在游戏中得8分获胜，此情况发生的概率为；
所以玩家乙在游戏中获胜的概率为；
（3）由题意可得，
所以，，
，，
，
所以X的分布列为
X 8 10 12 14 16
P
所以.
19．【答案】（1）证明：在图1中，连接，交于点，，.
因为，，，，且，
所以，，.
因为，所以.
所以图2中，，，平面，所以平面.
平面.所以.
（2）解：又因为，由，即，所以.
所以两两垂直，以为原点，建立如图空间直角坐标系.
则，，，，，.
因为为中点，所以.
所以，，.
设平面的法向量为，
则，
取.
设直线与平面所成的角为，
则.
（3）解：因为，所以
所以，即.
则，，，.
设平面的法向量为，
则，
取.
设平面的法向量为，
则，
取.
设二面角为，由得：.
即，
整理得：，
解得：或.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 先在平面图形中证明 ，折叠后 、，结合线面垂直判定定理证明 平面 ，从而得到 ；
(2) 以 为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，利用空间向量求平面 的法向量，再结合直线与平面所成角的向量公式求解正弦值；
(3) 设 表示出 点坐标，分别求平面 和平面 的法向量，利用二面角的正弦值列方程求解 。
（1）在图1中，连接，交于点，，.
因为，，，，且，
所以，，.
因为，所以.
所以图2中，，，平面，所以平面.
平面.所以.
（2）又因为，由，即，所以.
所以两两垂直，以为原点，建立如图空间直角坐标系.
则，，，，，.
因为为中点，所以.
所以，，.
设平面的法向量为，
则，
取.
设直线与平面所成的角为，
则.
（3）因为，所以
所以，即.
则，，，.
设平面的法向量为，
则，
取.
设平面的法向量为，
则，
取.
设二面角为，由得：.
即，
整理得：，
解得：或.
1 / 1江苏省泰州市姜堰区2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·姜堰期中）已知向量，，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，由，得，
所以.
故答案为：A
【分析】空间向量共线时，对应坐标成比例，利用这一性质列出比例式，分别求出x和y的值，再计算xy。
2．（2025高二下·姜堰期中）在 的展开式中， 的系数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】 的展开式通项为 ，令 ，得 .
因此， 的系数为 .
故答案为：A.
【分析】写出二项展开式的通项，令 的指数为3，求出参数的值，代入通项即可计算出 的系数.
3．（2025高二下·姜堰期中）从5名大学毕业生中挑选3个人，分别担任三个班的实习班主任，甲、乙至少有1人入选，则不同的安排方法有（　　）种
A．9 B．36 C．54 D．72
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：当甲、乙两人中有1人入选，先选出2人中的1人，再从剩下的3个人中选出2个，
最后将其分配到3个班级，故有种；
当甲、乙两人都入选，则先从剩下的3人中选出1人，再将其分配到3个班级，故有种；
所以，共有种不同的选派方法.
故答案为：C
【分析】采用分类计数的思路，将“甲、乙至少有 1 人入选”拆分为“甲、乙恰有 1人入选”和“甲、乙都入选”两类，分别计算每类的选法与班级分配数，最后相加得到总方法数。
4．（2025高二下·姜堰期中）若随机事件A，B满足，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：已知，，根据条件概率公式，可得.
将，代入上式，可得.
已知，，根据条件概率公式，可得.
故答案为：A.
【分析】利用条件概率公式，先由已知的 P(B∣A) 和 P(A) 求出联合概率 P(AB)，再代入公式计算 P(A∣B)。
5．（2025高二下·姜堰期中）已知随机变量X的分布列为
0 1
若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意可得，
则，解得．
故答案为：D.
【分析】先根据分布列计算随机变量的期望 ，再代入方差公式 ，结合题目给出的 建立方程，求解 的值。
6．（2025高二下·姜堰期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：如下图所示：
因为、、、四点共面，且、不共线，
则存在、，使得，
即，
所以，
因为四边形为平行四边形，所以，即，
所以，
设，则，
因为、、不共面，所以，解得，所以，
又因为，故，
故答案为：C.
【分析】利用空间向量共面定理：若四点共面，则其中一点到另外三点的向量可表示为另外两向量的线性组合.将所有向量用 、、 表示，通过系数对应相等建立方程组，求解 。
7．（2025高二下·姜堰期中）各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如六进制数转换为十进制数的算法为.若将六进制数转换为十进制数，则转换后的数被除所得的余数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：，
因为
，
因为能被整除，
所以，将六进制数转换为十进制数，则转换后的数被除所得的余数是.
故答案为：D.
【分析】先将六进制数按等比数列求和公式转化为十进制数，得到 ，再利用二项式定理展开，分析其除以7的余数。
8．（2025高二下·姜堰期中）已知3名医生和3名护士排成一排拍合照，若医生甲不站两端，3名护士中至多有2名相邻，则不同的排法共有（　　）种.
A．72 B．144 C．288 D．408
【答案】D
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先考虑甲不站两端的情况，甲在中间4个位置中任选一个位置，其余5人全排列，共有种；
再考虑甲不站两端且3名护士相邻的情况，将3名护士看作一个整体，则共有4个位置可供选择，
甲先在中间2个位置中任选一个位置，其余3人全排列，以及3名护士全排列，共有种，
则满足题意的排法共有种.
故答案为：D
【分析】采用间接法计数：先算出医生甲不站两端的所有排法，再减去甲不站两端且3名护士全部相邻的排法，剩余即为满足“甲不站两端且护士至多2名相邻”的排法。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·姜堰期中）下列说法正确的有（　　）
A．从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，共有种不同方法
B．平面内有个点，以其中个点为端点的线段共有条
C．从、、、、五个数中任取两个相减可以得到个不相等的差
D．个不同的小球放入编号为、、、的个盒子中，恰有一个空盒的放法有种
【答案】A,B,D
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】A，从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，共有种不同的方法，A正确；
B，平面内有个点，以其中个点为端点的线段共有条，B正确；
C，从、、、、五个数中任取两个相减，可得到得差的集合为，所以，从、、、、五个数中任取两个相减可以得到个不相等的差，C错误；
D，个不同的小球放入编号为、、、的个盒子中，恰有一个空盒，
先将个小球分为三组，每组小球的数量分别为、、，不同的分组方法种数为种，
然后从个盒子中取出个盒子，将组小球放入这三个盒子，
因此，恰有个空盒的放法种数为，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：从 6 件不同礼物中选 3 件送给 3 名同学，属于排列问题（顺序不同送法不同），用排列数计算。
B：平面内 6 个点中任取 2 个作线段，属于组合问题（线段无方向），用组合数计算。
C：任取两数相减，需枚举所有差值并去重，统计不相等的差的个数。
D：4 个不同小球放入 4 个盒子恰有 1 个空盒，需先分组（2，1，1），再分配到 3 个盒子，用分组分配法计算。
10．（2025高二下·姜堰期中）在长方体中，，，E、F分别是、的中点，则下列结论中成立的是（　　）
A．平面
B．平面
C．点到平面的距离为
D．直线到平面的距离为
【答案】A,B,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：以直线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在中，如图：
则，
，所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
因为，又平面，
所以平面，故A正确；
所以直线到平面的距离为点到平面的距离，又，
所以点到平面的距离为，
所以直线到平面的距离为，故D正确；
设平面的一个法向量为，又，
则，令，得，
又，所以，所以平面，故B正确；
设平面的一个法向量为，又，
则，令，得，
则点到平面的距离为，故C错误.
故答案为：ABD
【分析】 建立空间直角坐标系，将几何问题转化为向量运算。通过计算向量坐标，利用向量平行 / 垂直的判定方法判断线面关系，再借助平面法向量计算点到平面、直线到平面的距离，逐一验证选项。
11．（2025高二下·姜堰期中）如图，“杨辉三角”是二项式系数在压角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（　　）
A．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为120
B．在“杨辉三角”第行中，从左到右只有第6个数是该行的最大值，则为12
C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则
D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
【答案】A,D
【知识点】二项式定理；二项展开式；二项式系数；组合数公式
【解析】【解答】A，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，A正确；
B，由从左到右只有第6个数是该行的最大值，得共有11个数，因此，B错误；
C，第行的第个数为，
，C错误；
D，，
则是展开式中项的系数，
而，展开式中项的系数为，
因此，D正确.
故答案为：AD
【分析】利用杨辉三角与组合数的对应关系，结合组合数性质、二项式定理，逐一分析各选项：
A：将每行第3列数字对应为组合数，用组合数求和公式计算。
B：根据二项式系数的对称性与最大值位置判断行数。
C：将杨辉三角的数对应为组合数，代入求和式后用二项式定理展开验证。
D：利用二项式乘积展开式的系数关系，证明平方和等于指定项系数。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·姜堰期中）计算　 　.（用数字作答）
【答案】
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据排列数和组合数的定义，分别计算与的值，再将结果相加得到最终答案。
13．（2025高二下·姜堰期中）某工厂3个车间生产同一件计算机配件，3个车间产量分别占总产量的25%，30%，45%，这3个车间的次品率依次为6%，5%，5%.任取一个配件是次品的概率为　 　.
【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：由题意，3个车间产量分别占总产量的25%，30%，45%，次品率依次为6%，5%，5%，
∴任取一个配件是次品的概率为：，
故答案为：.
【分析】这是全概率公式的应用，将 “任取一件为次品” 这一事件拆解为三个车间分别生产次品的互斥事件，用各车间产量占比乘以对应次品率后求和，得到总次品概率。
14．（2025高二下·姜堰期中）空间四面体中，，，且，，则直线与直线所成角的余弦值为　 　
【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：在空间四面体中，，，
将四面体补成长方体，
则，解得，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
因为为的中点，则，由，可得，
所以，，
所以.
因此，直线与直线所成角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】将四面体补成长方体，利用已知边长建立空间直角坐标系，求出点坐标后得到向量 和 ，再通过向量夹角公式计算直线 与 所成角的余弦值。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·姜堰期中）从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选取3个数字，试问：
（1）能组成多少个没有重复数字的三位数
（2）能组成多少个没有重复数字的三位偶数
【答案】（1）解：从给定的7个数字中任取3个进行排列，有种方法，其中百位数字是0的有个，
所以没有重复数字的三位数个数是.
（2）解：个位数字是0的三位数有个，个位数字是之一的三位数有个，
所以没有重复数字的三位偶数个数是.
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】 (1) 要组成无重复数字的三位数，需先确定百位不能为0，可通过总排列数减去百位为0的排列数，或直接分步确定百位、十位、个位的选数方法来计算。
(2) 要组成无重复数字的三位偶数，需按个位是否为 0 分类讨论：个位为 0 时百位和十位可自由选数；个位为2、4、6时，百位需排除0和个位数字，再计算两类的数量之和。
（1）从给定的7个数字中任取3个进行排列，有种方法，其中百位数字是0的有个，
所以没有重复数字的三位数个数是.
（2）个位数字是0的三位数有个，个位数字是之一的三位数有个，
所以没有重复数字的三位偶数个数是.
16．（2025高二下·姜堰期中）已知的展开式中，各项的二项式系数的和为.
（1）求展开式中所有项的系数之和；
（2）求展开式中系数最大的有理项.
【答案】（1）解：的展开式中，各项的二项式系数的和为，解得，
所以，展开式中所有项的系数和为.
（2）解：的展开式通项为，
令，可得，
时，；时，；时，.
所以，展开式中系数最大的有理项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【分析】(1) 二项式系数和为，先由 求出，再令二项式中所有字母为1，得到展开式所有项的系数和。
(2) 写出通项公式，令的指数为整数筛选出有理项，再比较各有理项系数大小，找出系数最大的项。
（1）的展开式中，各项的二项式系数的和为，解得，
所以，展开式中所有项的系数和为.
（2）的展开式通项为，
令，可得，
时，；时，；时，.
所以，展开式中系数最大的有理项为.
17．（2025高二下·姜堰期中）已知三棱锥中，，，，，点为的中点，点满足，点满足.
（1）求的长；
（2）求的值.
【答案】（1）解：在三棱锥中，点为的中点，，
，而，，
，
所以
.
（2）解：由，得，
所以
.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】(1) 建立空间向量基底，利用中点和向量分点关系将 用 、、 表示，再通过向量模长公式结合数量积计算 。
(2) 同理用基底表示 与 ，再利用数量积运算律展开代入数据计算。
（1）在三棱锥中，点为的中点，，
，而，，
，
所以
.
（2）由，得，
所以
.
18．（2025高二下·姜堰期中）现有A、B两个不透明的袋子，A袋中装有2个红球、2个白球，B袋中装有1个红球、2个白球.玩家甲和玩家乙分别参与摸球游戏，每人各参与一次且互不影响，得分高者获胜游戏规则是：玩家先从袋子A中随机摸出2个球，
情况1：摸出的2个球颜色相同，则将这2个球放入袋子B中，然后从袋子B中随机摸出2个球；若摸出2个球同色，则玩家获得8分，若摸出2个球不同色，则玩家获得4分；
情况2：摸出的2个球颜色不同，则将这2个球放回袋子A中，然后从袋子A中再随机摸出2个球；若摸出2个球同色，则玩家获得6分，若摸出2个球不同色，则玩家获得4分.
（1）求玩家甲在游戏中得8分的概率；
（2）求玩家乙在游戏中获胜的概率；
（3）设玩家甲和玩家乙在游戏中得分的总和为X，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）解：玩家甲在游戏中得8分，则包括以下两种情况：
甲从袋子A中随机摸出2个红球，再将这2个球放入袋子B中后从袋子B中随机摸出2个球同色；
甲从袋子A中随机摸出2个白球，再将这2个球放入袋子B中后从袋子B中随机摸出2个白球.
所以玩家甲在游戏中得8分的概率为.
（2）解：由（1）玩家在游戏中得8分的概率为，
玩家在游戏中得6分的概率为，
玩家在游戏中得4分的概率为，
玩家乙在游戏中获胜的情况有以下三种情况：
甲获得4分，玩家乙在游戏中得6分获胜，此情况发生的概率为；
甲获得4分，玩家乙在游戏中得8分获胜，此情况发生的概率为；
甲获得6分，玩家乙在游戏中得8分获胜，此情况发生的概率为；
所以玩家乙在游戏中获胜的概率为；
（3）解：由题意可得，
所以，，
，，
，
所以X的分布列为
X 8 10 12 14 16
P
所以.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1) 玩家甲得8分需满足：先从A袋摸出2个同色球，再从操作后的B袋摸出2个同色球，分步计算概率后相乘。
(2) 先分别求出甲、乙得4分、6分、8分的概率，再枚举乙得分高于甲的所有情况，求和得到乙获胜的概率。
(3) 确定总分X的所有可能取值，分别计算对应概率得到分布列，再代入期望公式求解。
（1）玩家甲在游戏中得8分，则包括以下两种情况：
甲从袋子A中随机摸出2个红球，再将这2个球放入袋子B中后从袋子B中随机摸出2个球同色；
甲从袋子A中随机摸出2个白球，再将这2个球放入袋子B中后从袋子B中随机摸出2个白球.
所以玩家甲在游戏中得8分的概率为.
（2）由（1）玩家在游戏中得8分的概率为，
玩家在游戏中得6分的概率为，
玩家在游戏中得4分的概率为，
玩家乙在游戏中获胜的情况有以下三种情况：
甲获得4分，玩家乙在游戏中得6分获胜，此情况发生的概率为；
甲获得4分，玩家乙在游戏中得8分获胜，此情况发生的概率为；
甲获得6分，玩家乙在游戏中得8分获胜，此情况发生的概率为；
所以玩家乙在游戏中获胜的概率为；
（3）由题意可得，
所以，，
，，
，
所以X的分布列为
X 8 10 12 14 16
P
所以.
19．（2025高二下·姜堰期中）如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）设，若二面角的正弦值为，求实数的值.
【答案】（1）证明：在图1中，连接，交于点，，.
因为，，，，且，
所以，，.
因为，所以.
所以图2中，，，平面，所以平面.
平面.所以.
（2）解：又因为，由，即，所以.
所以两两垂直，以为原点，建立如图空间直角坐标系.
则，，，，，.
因为为中点，所以.
所以，，.
设平面的法向量为，
则，
取.
设直线与平面所成的角为，
则.
（3）解：因为，所以
所以，即.
则，，，.
设平面的法向量为，
则，
取.
设平面的法向量为，
则，
取.
设二面角为，由得：.
即，
整理得：，
解得：或.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 先在平面图形中证明 ，折叠后 、，结合线面垂直判定定理证明 平面 ，从而得到 ；
(2) 以 为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，利用空间向量求平面 的法向量，再结合直线与平面所成角的向量公式求解正弦值；
(3) 设 表示出 点坐标，分别求平面 和平面 的法向量，利用二面角的正弦值列方程求解 。
（1）在图1中，连接，交于点，，.
因为，，，，且，
所以，，.
因为，所以.
所以图2中，，，平面，所以平面.
平面.所以.
（2）又因为，由，即，所以.
所以两两垂直，以为原点，建立如图空间直角坐标系.
则，，，，，.
因为为中点，所以.
所以，，.
设平面的法向量为，
则，
取.
设直线与平面所成的角为，
则.
（3）因为，所以
所以，即.
则，，，.
设平面的法向量为，
则，
取.
设平面的法向量为，
则，
取.
设二面角为，由得：.
即，
整理得：，
解得：或.
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