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江苏省淮安市淮安区2024-2025学年高一下学期期中学业水平质量监测数学试题
一、单选题（共8小题满分40分）
1．（2025高一下·淮安期中）复数在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025高一下·淮安期中）已知点，则与向量方向相反的单位向量为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·淮安期中）已知向量满足，且，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高一下·淮安期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
5．（2025高一下·淮安期中）在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，已知，，，则隧道DE的长度为（　　）
A． B． C．10 D．
6．（2025高一下·淮安期中）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·淮安期中）在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·淮安期中）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则周长的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题（共3小题满分18分）
9．（2025高一下·淮安期中）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（　　）
A．若，则 B．若．则
C．若，则 D．若，则
10．（2025高一下·淮安期中）已知点M在所在平面内一点，则（　　）
A．若M为BC中点，，则是在方向上的投影向量
B．若，则面积比
C．若，，的夹角两两相等，，，则
D．若为边长为2的正三角形，M为AB的中点，点E在线段BC上运动，则的取值范围为
11．（2025高一下·淮安期中）设的内角的对边分别为，下列结论正确的是（　　）
A．若满足条件的三角形有2个，则的取值范围为
B．面积的最大值为3
C．周长的最大值为
D．若为锐角三角形，则的取值范围是
三、填空题（共3小题满分15分）
12．（2025高一下·淮安期中）在中，，，，若为中点，则长为　 　.
13．（2025高一下·淮安期中）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为　 　.
14．（2025高一下·淮安期中）勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形．已知正三角形边长为2，点P为圆弧上的一点，且满足：，则的值为　 　．
四、解答题（共5大题满分77分）
15．（2025高一下·淮安期中）设复数，.
（1）若是实数，求；
（2）在复平面内，复数所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
16．（2025高一下·淮安期中）已知向量满足与的夹角为.
（1）求；
（2）当为何值时，向量与垂直？
17．（2025高一下·淮安期中）在①②③这三个条件中任选一个，补充在下面横线中，并加以解答.在锐角中，内角所对的边分别为，且满足__________.
（1）求角；
（2）若，求面积的取值范围.
18．（2025高一下·淮安期中）定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为.
（1）若，，求最大值及对应的取值集合；
（2）若向量的“积函数”满足，求的值；
（3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系.
19．（2025高一下·淮安期中）在三棱锥中，，，，，的中点为，点在线段上，且满足.
（1）求证：；
（2）当平面平面时，
①求点到平面的距离；
②若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
所以在复平面内所对应的点坐标为，在第三象限.
故答案为：C
【分析】要确定复数在复平面对应点的位置，需先将复数化为标准的代数形式 （ 为实数），再根据实部 和虚部 的符号判断所在象限。
2．【答案】B
【知识点】单位向量；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由点，可得，且，
则与向量方向相反的单位向量.
故答案为：B.
【分析】先求出向量的坐标与模长，再根据单位向量和相反向量的定义，计算与方向相反的单位向量。
3．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
则在上的投影向量为.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积求投影向量坐标的方法，从而得出在上的投影向量的坐标.
4．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，
所以
，
所以
则，即，故.
因为，，
所以，
当时，所以或.
若，则.
若，则.
当时，（舍去），
因此的形状为直角三角形.
故答案为：C
【分析】先利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换求出角B，再通过已知三角等式求出角A，最终确定三角形的形状。
5．【答案】D
【知识点】解三角形；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，，
在中，由正弦定理得，
，
因为，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以，
故答案为：D
【分析】先将俯角转化为三角形内角，在△BPC中用正弦定理求出PB，再在△PAB中用正弦定理求出AB，最后用AB减去AD和EB的长度得到DE。
6．【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
，，
，，
，
故答案为：A
【分析】将目标角拆分为，先根据角的范围确定和的符号与值，再代入两角差的余弦公式计算。
7．【答案】C
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：易知 两两垂直，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
则．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：D．
【分析】建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，即可求异面直线与所成角的余弦值．
8．【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由得，
又，，，所以，即，故．
由正弦定理，得，
，
故的周长，
因为为锐角三角形，所以，得，
在上单调递减，
所以，
故的周长的取值范围为．
故答案为：B
【分析】先结合余弦定理和三角恒等变换求出角C，再利用正弦定理表示出b、c，得到周长的表达式；根据锐角三角形的条件确定角A的范围，结合三角函数的单调性求出周长的取值范围。
9．【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误；
B，设，由，得，
则，因此，，B正确；
C，取，满足，而，，C错误；
D，由，得都是实数，因此，D正确.
故答案为：BD
【分析】A：复数的模是实数可比较范围，但复数本身若含虚部，无法与实数建立大小关系，因此该命题不成立。
B：复数的模为非负实数，两个非负实数相加为0，当且仅当两个模均为0，而模为0的复数只能是0，故。
C：模仅反映复数在复平面内到原点的距离，与复数的代数运算结果无必然等价关系，举反例可直接证伪。
D：只有实数能比较大小，若，则、必为实数，实数的减法运算满足大小关系传递，故。
10．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A，两边平方得，即，
即，且是角的角平分线，又M为BC中点，即是等腰三角形，，
则是在方向上的投影向量，故A正确；
B，因为，所以点在线段上，如图所示
取的四等分点，靠近的点为，取的四等分点，靠近的点为，连接，
则有且，所以的高是的高的，
所以，故B错误；
C，
，，故C正确；
D，以为原点，边所在的直线为轴，边所在的直线为轴，建立如图所示的平面坐标系
易知直线的方程为，设，
因为，所以，
，
又，所以当时，取最小值为，
当时，取最大值为3，
所以，即，故正确．
故答案为：ACD
【分析】A：由M是BC中点得，结合单位向量和已知条件推出AM是∠BAC角平分线，故△ABC为等腰三角形且AM⊥BC，因此是在方向的投影向量，命题成立。
B：将变形得，两三角形同高，面积比等于底边比而非，命题错误。
C：三向量夹角两两相等为120°，通过计算，利用数量积公式展开求值再开方，得模长为2，命题成立。
D：建立坐标系，设E点参数，将表示为关于参数的二次函数，根据参数范围求最值，得取值范围为，命题成立。
11．【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A，由有2个及正弦定理得且，
因此的取值范围为，A正确；
B，由余弦定理得12，
因此，当且仅当时取等号，
由，所以面积的最大值，B错误；
C，由余弦定理得12，
因此，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为，C正确；
D，由为锐角三角形，得，，
由正弦定理得，D正确．
故答案为：ACD
【分析】A：由正弦定理得，三角形有2个解需满足且，解得，命题成立。
B：由余弦定理得，面积，最大值为而非3，命题错误。
C：将变形，结合基本不等式得，周长最大值为，命题成立。
D：由正弦定理化为，结合锐角三角形确定的范围，再通过三角变换得，命题成立。
12．【答案】
【知识点】解三角形；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，，，
所以，则，
由余弦定理得：，
故，
由余弦定理得：，
若为中点，则在中，，
由余弦定理得：，
故.
故答案为：.
【分析】先通过三角形面积公式求出AB的长度，再用余弦定理求AC，最后结合中线长公式（或向量、余弦定理）计算BE的长度。
13．【答案】
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：取的中点，连接、，
因为，，
所以，且，
又平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，所以直线与平面所成角，
又平面，平面，所以，所以，
所以，则，
即直线与平面所成角的大小为.
故答案为：
【分析】通过几何法找直线与平面所成角：先证明BD⊥平面PAC，得到∠BPD为直线PB与平面PAC所成角，再利用直角三角形边角关系计算角度。
14．【答案】1
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；向量在几何中的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图，以为原点建立平面直角坐标系，
因为弧在圆上，设，，
则，
设点到直线的距离为，
由，可得，
由，，，
可得直线的方程为：，即，
故点到直线的距离，
因为在直线上方，所以，
所以，故，
由，，，
可得
，
则的值为1．
故答案为：1．
【分析】建立平面直角坐标系，设，，利用的面积和点到直线的距离公式求出，再根据数量积的坐标表示进行计算，从而得出的值．
15．【答案】（1）解：由题意可知，，
若是实数，则，得，
所以，，，
则；
（2）解：，
因为复数表示第四象限的点，所以，
得.
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【分析】(1) 先计算 ，根据其为实数的条件求出 的值，再计算 及其共轭复数。
(2) 对 进行复数除法运算并化简，根据第四象限点的实部、虚部符号列不等式组，求解 的范围。
（1）由题意可知，，
若是实数，则，得，
所以，，，
则；
（2），
因为复数表示第四象限的点，所以，
得.
16．【答案】（1）解：由与的夹角为，得，
所以.
（2）解：由向量与垂直，得
，解得，
所以当时，向量与垂直.
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1) 先利用向量数量积的定义求出，再结合向量模的运算公式展开计算模长；
(2) 根据向量垂直的充要条件（数量积为0）列出方程，代入、、的值求解。
（1）由与的夹角为，得，
所以.
（2）由向量与垂直，得
，解得，
所以当时，向量与垂直.
17．【答案】（1）解：选择①，，
由余弦定理得出，
，，
又因为，，，
，.
选择②，因为，所以，
由正弦定理可得，
则，，
因为，所以，
又因为，所以.
选择③，由和正弦定理可得，
又因为，所以，
则，
，则，所以，
，则，故.
（2）解：因为，由正弦定理，得，
所以，
因为为锐角三角形，
所以，故，
则，，，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）若选①：根据余弦定理结合正弦定理和同角三角函数基本关系式以及三角形中角C的取值范围，从而得出角C的值；若选②：根据正弦定理和三角恒等变换以及三角形中角C的取值范围，从而得出角C的值；若选③：利用正弦定理结合诱导公式和二倍角的正弦公式、角C的取值范围和三角函数值在各象限的符号，从而得出角C的值.
（2）由结合正弦定理可得，再结合锐角三角形中角A的取值范围和正切型函数的图象求值域的方法，从而得出面积的取值范围.
（1）选择①，，
由余弦定理，
，，
又，，，
，；
选择②，因为，所以，
由正弦定理可得，
则，，
又，所以，因为，所以；
选择③，由，由正弦定理可得，
又，所以，则，
，则，则，
，则，故；
（2），由正弦定理，得，
所以，
因为为锐角三角形，所以，故，
则，，，
所以.
18．【答案】（1）解：若，，则，
当时，即，，函数有最大值，
函数的最大值为，对应的取值集合为；
（2）解：，
令，所以，
所以，，
即，，所以；
（3）解：因为，，
所以
，
所以
，
此时存在满足，，，
当且仅当时等号成立，
所以，即，，
所以成立，
且，则，
，
当时有最小值，
所以的最小值为.
【知识点】两角和与差的正切公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】(1) 利用辅助角公式将函数化为单一正弦函数，根据正弦函数的性质求最大值及对应的集合。
(2) 将表示为的形式，代入已知条件，利用三角恒等变换求出。
(3) 先求出的表达式，根据其最大值得到、与、的关系，再将转化为二次函数求最小值，并判断、的关系。
（1）若，，则，
当时，即，，函数有最大值，
函数的最大值为，对应的取值集合为；
（2），
令，所以，
所以，，
即，，所以；
（3）因为，，
所以
，
所以
，
此时存在满足，，，
当且仅当时等号成立，
所以，
即，，
所以成立，
且，
则，
，
当时有最小值，
所以的最小值为.
19．【答案】（1）证明：连接，，
，为的中点，
，
，为的中点，
，
则平面，
又因为平面，
.
（2）解：①过点作于，连接，，
又因为平面平面，，
平面，
令，，
，
，
则，，，
平面，，
在中，由，得，，
，故点到平面的距离为.
②记平面与平面的夹角为，作交于点，连接，
，，
是的中位线，，
，
，
，
，
，
，
，
所以平面为平面与平面的公共垂面，
故，
在中，，，
可得，
又因为，，
则.
【知识点】平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）连接，，根据线面垂直的判定定理证出直线平面，从而证出.
（2）①过点作于，连接，，令，在中利用勾股定理求出的值，从而求出点到平面的距离.
②记平面与平面的夹角为，作交于点，连接，得出平面为平面与平面的公共垂面，可得是平面与平面的夹角，由余弦函数的定义得出平面与平面夹角的余弦值.
（1）连接，，
，为的中点，，
，为的中点，，
平面，
又平面，；
（2）①过点作于，连，，
平面平面，，
平面，令，
，
，，
则，，，
平面，，
在中，由，得，，
，故点到平面的距离为；
②记平面与平面的夹角为，作交于点，连接，
，，
是的中位线，，
，，
，，
，，
，所以平面为平面与平面的公共垂面，
故，在中，，，
可求得，又，，
则.
1 / 1江苏省淮安市淮安区2024-2025学年高一下学期期中学业水平质量监测数学试题
一、单选题（共8小题满分40分）
1．（2025高一下·淮安期中）复数在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
所以在复平面内所对应的点坐标为，在第三象限.
故答案为：C
【分析】要确定复数在复平面对应点的位置，需先将复数化为标准的代数形式 （ 为实数），再根据实部 和虚部 的符号判断所在象限。
2．（2025高一下·淮安期中）已知点，则与向量方向相反的单位向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单位向量；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由点，可得，且，
则与向量方向相反的单位向量.
故答案为：B.
【分析】先求出向量的坐标与模长，再根据单位向量和相反向量的定义，计算与方向相反的单位向量。
3．（2025高一下·淮安期中）已知向量满足，且，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
则在上的投影向量为.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积求投影向量坐标的方法，从而得出在上的投影向量的坐标.
4．（2025高一下·淮安期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，
所以
，
所以
则，即，故.
因为，，
所以，
当时，所以或.
若，则.
若，则.
当时，（舍去），
因此的形状为直角三角形.
故答案为：C
【分析】先利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换求出角B，再通过已知三角等式求出角A，最终确定三角形的形状。
5．（2025高一下·淮安期中）在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，已知，，，则隧道DE的长度为（　　）
A． B． C．10 D．
【答案】D
【知识点】解三角形；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，，
在中，由正弦定理得，
，
因为，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以，
故答案为：D
【分析】先将俯角转化为三角形内角，在△BPC中用正弦定理求出PB，再在△PAB中用正弦定理求出AB，最后用AB减去AD和EB的长度得到DE。
6．（2025高一下·淮安期中）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
，，
，，
，
故答案为：A
【分析】将目标角拆分为，先根据角的范围确定和的符号与值，再代入两角差的余弦公式计算。
7．（2025高一下·淮安期中）在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：易知 两两垂直，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
则．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：D．
【分析】建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，即可求异面直线与所成角的余弦值．
8．（2025高一下·淮安期中）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则周长的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由得，
又，，，所以，即，故．
由正弦定理，得，
，
故的周长，
因为为锐角三角形，所以，得，
在上单调递减，
所以，
故的周长的取值范围为．
故答案为：B
【分析】先结合余弦定理和三角恒等变换求出角C，再利用正弦定理表示出b、c，得到周长的表达式；根据锐角三角形的条件确定角A的范围，结合三角函数的单调性求出周长的取值范围。
二、多选题（共3小题满分18分）
9．（2025高一下·淮安期中）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（　　）
A．若，则 B．若．则
C．若，则 D．若，则
【答案】B,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误；
B，设，由，得，
则，因此，，B正确；
C，取，满足，而，，C错误；
D，由，得都是实数，因此，D正确.
故答案为：BD
【分析】A：复数的模是实数可比较范围，但复数本身若含虚部，无法与实数建立大小关系，因此该命题不成立。
B：复数的模为非负实数，两个非负实数相加为0，当且仅当两个模均为0，而模为0的复数只能是0，故。
C：模仅反映复数在复平面内到原点的距离，与复数的代数运算结果无必然等价关系，举反例可直接证伪。
D：只有实数能比较大小，若，则、必为实数，实数的减法运算满足大小关系传递，故。
10．（2025高一下·淮安期中）已知点M在所在平面内一点，则（　　）
A．若M为BC中点，，则是在方向上的投影向量
B．若，则面积比
C．若，，的夹角两两相等，，，则
D．若为边长为2的正三角形，M为AB的中点，点E在线段BC上运动，则的取值范围为
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A，两边平方得，即，
即，且是角的角平分线，又M为BC中点，即是等腰三角形，，
则是在方向上的投影向量，故A正确；
B，因为，所以点在线段上，如图所示
取的四等分点，靠近的点为，取的四等分点，靠近的点为，连接，
则有且，所以的高是的高的，
所以，故B错误；
C，
，，故C正确；
D，以为原点，边所在的直线为轴，边所在的直线为轴，建立如图所示的平面坐标系
易知直线的方程为，设，
因为，所以，
，
又，所以当时，取最小值为，
当时，取最大值为3，
所以，即，故正确．
故答案为：ACD
【分析】A：由M是BC中点得，结合单位向量和已知条件推出AM是∠BAC角平分线，故△ABC为等腰三角形且AM⊥BC，因此是在方向的投影向量，命题成立。
B：将变形得，两三角形同高，面积比等于底边比而非，命题错误。
C：三向量夹角两两相等为120°，通过计算，利用数量积公式展开求值再开方，得模长为2，命题成立。
D：建立坐标系，设E点参数，将表示为关于参数的二次函数，根据参数范围求最值，得取值范围为，命题成立。
11．（2025高一下·淮安期中）设的内角的对边分别为，下列结论正确的是（　　）
A．若满足条件的三角形有2个，则的取值范围为
B．面积的最大值为3
C．周长的最大值为
D．若为锐角三角形，则的取值范围是
【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A，由有2个及正弦定理得且，
因此的取值范围为，A正确；
B，由余弦定理得12，
因此，当且仅当时取等号，
由，所以面积的最大值，B错误；
C，由余弦定理得12，
因此，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为，C正确；
D，由为锐角三角形，得，，
由正弦定理得，D正确．
故答案为：ACD
【分析】A：由正弦定理得，三角形有2个解需满足且，解得，命题成立。
B：由余弦定理得，面积，最大值为而非3，命题错误。
C：将变形，结合基本不等式得，周长最大值为，命题成立。
D：由正弦定理化为，结合锐角三角形确定的范围，再通过三角变换得，命题成立。
三、填空题（共3小题满分15分）
12．（2025高一下·淮安期中）在中，，，，若为中点，则长为　 　.
【答案】
【知识点】解三角形；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，，，
所以，则，
由余弦定理得：，
故，
由余弦定理得：，
若为中点，则在中，，
由余弦定理得：，
故.
故答案为：.
【分析】先通过三角形面积公式求出AB的长度，再用余弦定理求AC，最后结合中线长公式（或向量、余弦定理）计算BE的长度。
13．（2025高一下·淮安期中）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为　 　.
【答案】
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：取的中点，连接、，
因为，，
所以，且，
又平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，所以直线与平面所成角，
又平面，平面，所以，所以，
所以，则，
即直线与平面所成角的大小为.
故答案为：
【分析】通过几何法找直线与平面所成角：先证明BD⊥平面PAC，得到∠BPD为直线PB与平面PAC所成角，再利用直角三角形边角关系计算角度。
14．（2025高一下·淮安期中）勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形．已知正三角形边长为2，点P为圆弧上的一点，且满足：，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；向量在几何中的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图，以为原点建立平面直角坐标系，
因为弧在圆上，设，，
则，
设点到直线的距离为，
由，可得，
由，，，
可得直线的方程为：，即，
故点到直线的距离，
因为在直线上方，所以，
所以，故，
由，，，
可得
，
则的值为1．
故答案为：1．
【分析】建立平面直角坐标系，设，，利用的面积和点到直线的距离公式求出，再根据数量积的坐标表示进行计算，从而得出的值．
四、解答题（共5大题满分77分）
15．（2025高一下·淮安期中）设复数，.
（1）若是实数，求；
（2）在复平面内，复数所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可知，，
若是实数，则，得，
所以，，，
则；
（2）解：，
因为复数表示第四象限的点，所以，
得.
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【分析】(1) 先计算 ，根据其为实数的条件求出 的值，再计算 及其共轭复数。
(2) 对 进行复数除法运算并化简，根据第四象限点的实部、虚部符号列不等式组，求解 的范围。
（1）由题意可知，，
若是实数，则，得，
所以，，，
则；
（2），
因为复数表示第四象限的点，所以，
得.
16．（2025高一下·淮安期中）已知向量满足与的夹角为.
（1）求；
（2）当为何值时，向量与垂直？
【答案】（1）解：由与的夹角为，得，
所以.
（2）解：由向量与垂直，得
，解得，
所以当时，向量与垂直.
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1) 先利用向量数量积的定义求出，再结合向量模的运算公式展开计算模长；
(2) 根据向量垂直的充要条件（数量积为0）列出方程，代入、、的值求解。
（1）由与的夹角为，得，
所以.
（2）由向量与垂直，得
，解得，
所以当时，向量与垂直.
17．（2025高一下·淮安期中）在①②③这三个条件中任选一个，补充在下面横线中，并加以解答.在锐角中，内角所对的边分别为，且满足__________.
（1）求角；
（2）若，求面积的取值范围.
【答案】（1）解：选择①，，
由余弦定理得出，
，，
又因为，，，
，.
选择②，因为，所以，
由正弦定理可得，
则，，
因为，所以，
又因为，所以.
选择③，由和正弦定理可得，
又因为，所以，
则，
，则，所以，
，则，故.
（2）解：因为，由正弦定理，得，
所以，
因为为锐角三角形，
所以，故，
则，，，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）若选①：根据余弦定理结合正弦定理和同角三角函数基本关系式以及三角形中角C的取值范围，从而得出角C的值；若选②：根据正弦定理和三角恒等变换以及三角形中角C的取值范围，从而得出角C的值；若选③：利用正弦定理结合诱导公式和二倍角的正弦公式、角C的取值范围和三角函数值在各象限的符号，从而得出角C的值.
（2）由结合正弦定理可得，再结合锐角三角形中角A的取值范围和正切型函数的图象求值域的方法，从而得出面积的取值范围.
（1）选择①，，
由余弦定理，
，，
又，，，
，；
选择②，因为，所以，
由正弦定理可得，
则，，
又，所以，因为，所以；
选择③，由，由正弦定理可得，
又，所以，则，
，则，则，
，则，故；
（2），由正弦定理，得，
所以，
因为为锐角三角形，所以，故，
则，，，
所以.
18．（2025高一下·淮安期中）定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为.
（1）若，，求最大值及对应的取值集合；
（2）若向量的“积函数”满足，求的值；
（3）已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系.
【答案】（1）解：若，，则，
当时，即，，函数有最大值，
函数的最大值为，对应的取值集合为；
（2）解：，
令，所以，
所以，，
即，，所以；
（3）解：因为，，
所以
，
所以
，
此时存在满足，，，
当且仅当时等号成立，
所以，即，，
所以成立，
且，则，
，
当时有最小值，
所以的最小值为.
【知识点】两角和与差的正切公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】(1) 利用辅助角公式将函数化为单一正弦函数，根据正弦函数的性质求最大值及对应的集合。
(2) 将表示为的形式，代入已知条件，利用三角恒等变换求出。
(3) 先求出的表达式，根据其最大值得到、与、的关系，再将转化为二次函数求最小值，并判断、的关系。
（1）若，，则，
当时，即，，函数有最大值，
函数的最大值为，对应的取值集合为；
（2），
令，所以，
所以，，
即，，所以；
（3）因为，，
所以
，
所以
，
此时存在满足，，，
当且仅当时等号成立，
所以，
即，，
所以成立，
且，
则，
，
当时有最小值，
所以的最小值为.
19．（2025高一下·淮安期中）在三棱锥中，，，，，的中点为，点在线段上，且满足.
（1）求证：；
（2）当平面平面时，
①求点到平面的距离；
②若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：连接，，
，为的中点，
，
，为的中点，
，
则平面，
又因为平面，
.
（2）解：①过点作于，连接，，
又因为平面平面，，
平面，
令，，
，
，
则，，，
平面，，
在中，由，得，，
，故点到平面的距离为.
②记平面与平面的夹角为，作交于点，连接，
，，
是的中位线，，
，
，
，
，
，
，
，
所以平面为平面与平面的公共垂面，
故，
在中，，，
可得，
又因为，，
则.
【知识点】平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）连接，，根据线面垂直的判定定理证出直线平面，从而证出.
（2）①过点作于，连接，，令，在中利用勾股定理求出的值，从而求出点到平面的距离.
②记平面与平面的夹角为，作交于点，连接，得出平面为平面与平面的公共垂面，可得是平面与平面的夹角，由余弦函数的定义得出平面与平面夹角的余弦值.
（1）连接，，
，为的中点，，
，为的中点，，
平面，
又平面，；
（2）①过点作于，连，，
平面平面，，
平面，令，
，
，，
则，，，
平面，，
在中，由，得，，
，故点到平面的距离为；
②记平面与平面的夹角为，作交于点，连接，
，，
是的中位线，，
，，
，，
，，
，所以平面为平面与平面的公共垂面，
故，在中，，，
可求得，又，，
则.
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