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浙江杭州学军中学2025-2026学年第一学期期末考试高三数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2026高三上·杭州期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，
即集合，集合，
则．
故答案为：C．
【分析】解一元二次不等式求得集合A，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2026高三上·杭州期末）已知z为复数，且，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的圆，
表示复平面内的点与点之间的距离.因为点与原点O的距离，
所以的最小值是，最大值是，
故的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】本题结合复数的几何意义，将复数模的问题转化为复平面上点与圆的距离问题求解。
3．（2026高三上·杭州期末）已知满足，则的形状一定是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由，可得，
由向量加法的几何意义知，对应的向量在的平分线上，
即的平分线与边AC垂直，故的形状一定是等腰三角形．
故答案为：A．
【分析】由变形可得，根据单位向量的定义及加法的几何意义可知对应的向量在的平分线上，的平分线与边AC垂直，结合等腰三角形的性质判断的形状即可.
4．（2026高三上·杭州期末）如图所示，四棱锥的底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面，点在正方形内运动，且满足，则点在正方形内的轨迹一定是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】棱锥的结构特征；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解： 侧面为等边三角形 ，则，点符合“点在正方形内的一个动点，
且满足”，
设的中点为，因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
由题意可得，则和全等，，
点也符合“点在正方形内的一个动点，且满足”，
故动点的轨迹肯定过点和点，
而到点到点的距离相等的点为线段的垂直平分面，
线段的垂直平分面与平面的交线是一直线，故的轨迹为线段.
故答案为：B.
【分析】由侧面为等边三角形 ，可知点符合“点在正方形内的一个动点，且满足”，设的中点为，利用线面垂直的判定定理，结合已知条件推出点也符合“点在正方形内的一个动点，且满足”，再根据符合条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面AC的交线，求点M的轨迹即可.
5．（2026高三上·杭州期末）设，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由题意得，，解得，
由，得，则，
所以．
故答案为：B
【分析】先利用切化弦与二倍角公式求出sin2θ，再根据θ的范围求出cos2θ，最后利用和角的正弦公式计算目标表达式。
6．（2026高三上·杭州期末）已知等比数列中，，，则的值为
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】A
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解： 数列为等比数列，，，
由，由等比数列的性质可得，
则.
故答案为：A．
【分析】根据等差、等比数列的性质求解即可.
7．（2026高三上·杭州期末）已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若， 则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设的内切圆半径为，因为，
所以，可得，
因为点为双曲线右支上一点，
所以，可得，解得，
又因为，可得，整理得，
即，解得或（舍去）.
故答案为：D.
【分析】用双曲线的定义、三角形面积公式以及内切圆的性质来求解.用三角形面积公式将已知条件转化为线段长度的关系，结合双曲线的定义得到与、的关系，通过已知的与、的关系求出的值.
8．（2026高三上·杭州期末）已知正实数满足，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：正实数满足，，，
则，，，且，
若，则，，，即，同理，
构造函数，其中，，
原等式等价于，，，
求导得，
因为且，所以，，，
所以，即在上单调递增，
由，可得，，
令，则，
由指数函数和对数函数的单调性可得，，
所以，单调递增，所以，
所以，
因为且在上单调递增，所以，
同理由可得，
所以，
同理可得，
因为且在上单调递增，所以，
综上.
故答案为：A.
【分析】由题意可得：，，，且，构造，求导，利用导函数判断函数在上单调递增，由可得，代入得，再根据的单调性可知，结合和的单调性比较的大小，同理即可.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．（2026高三上·杭州期末）（多选）下列命题中，真命题的是（ ）
A．数据的第70百分位数是23
B．若回归方程为，则变量与成负相关
C．若随机变量服从正态分布，，则
D．在线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
【答案】A,B
【知识点】线性回归方程；回归分析；正态密度曲线的特点；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、数据从小到大排列为共8个数，
，则第70百分位数是第个数，故A正确；
B、回归方程中，所以变量与成负相关，故B正确；
C、因为随机变量服从正态分布，，
所以，则，C错误；
D、在线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越大，越接近1，则模型的拟合效果越好，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】先将数据从小到大排列，再根据百分位数的计算方法计算即可判断A；根据回归方程的相关性的性质即可判断B；利用正态分布的对称性求解即可判断C；根据决定系数的定义即可判断D.
10．（2026高三上·杭州期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．在底面上的投影是线段的中点
C．与平面所成角大于
D．与所成角的余弦值为
【答案】A,C,D
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：A、由题意，
，
因为，
所以，故A正确；
B、设中点为，连接，如图所示：
则，
若在底面上的投影是线段的中点，则底面，
又底面，则应该有，
因为
，
故此时与底面不垂直，故B错误；
C、因为，，
所以
，，
在中，，，，
满足，则，即与平面所成角为，
又因为，即，
所以与平面所成角大于，故C正确；
D、
，
则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，利用向量数量积的运算分别计算和即可判断A；设中点为，连接，若在底面上的投影是线段的中点应得，利用向量数量积的运算计算验证即可判断B；利用向量模以及向量数量积的运算分别计算，根据勾股定理判断，则与平面所成角为，再计算即可判断C；计算以及，再利用向量的夹角公式求解即可判断D.
11．（2026高三上·杭州期末）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．在区间上单调递减
B．
C．在区间上的值域为
D．设函数满足关系式且，则在上单调递减
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，
，
A、当时，，，，则，
即在区间上单调递减，故A正确；
B、由A可知：在区间上单调递减，则，即，故B错误；
C、因为在区间上单调递减，当时，，，
所以在区间上的值域为，故C正确；
D、当时，令，
则，对求导得，
又，代入解得，
由C可知当时，恒成立，即单调递增，
由，解得，
则当时，，即在区间上单调递减，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求函数的定义域，再求其导函数，利用导数判断函数的单调性即可判定A；利用在区间上单调递减，比较大小即可判定B；利用函数的单调性求函数的值域即可判断C；当时，令，求导，利用导数判断函数即单调性，再根据解得，确定，判断函数的单调性即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2026高三上·杭州期末）函数的对称中心是　 　．
【答案】
【知识点】奇偶函数图象的对称性；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：函数定义域为，
，令，则，
令，解得，
因为，所以函数的对称中心是.
故答案为：.
【分析】先求函数的定义域，求导，令，再求导，令，解得，代入求，据此求函数的对称中心即可.
13．（2026高三上·杭州期末）数列的前项和为，已知，，则数列的通项公式　 　．
【答案】
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解： 数列的前项和为，且，
由，可得，
令，则，，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，则，①，
当时，②，
①②得，
当时代入上式得，符合条件，
综上.
故答案为：.
【分析】由变形可得，令构造等比数列，利用等比数列的通项公式求出，再利用与的关系求数列的通项公式即可.
14．（2026高三上·杭州期末）某同学每次投篮命中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投掷，那么投篮总次数的数学期望为　 　．
【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：设投篮总次数的数学期望为，
若第一次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为，
此情况下发生的概率为0.2，投篮总次数为，
若第一次投中，且第二次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为，此情况发生的概率为，投篮总次数为，
若第一次投中，第二次投中，则此情况发生的概率为，投篮总次数为2，
则投篮总次数的数学期望为，
解得.
故答案为：.
【分析】设投篮总次数的数学期望为，由题意，分第一次没有投中、第一次投中，且第二次没有投中和第一次投中，第二次投中，列出关于数学期望的方程求解即可.
四、解答题：共5小题，共77分．解答应与出文字说明、证明过程或验算步骤．
15．（2026高三上·杭州期末）记为等差数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）设等差数列首项为，公差为，
则，，
，，解得，，
（2）由（1）知，
令，解得
当时，可得；
当时，可得，
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】 【分析】（1）利用公式，根据已知条件表达有关与d的方程组计算并得出答案；
（2）讨论的符号去绝对值，分类得出。
16．（2026高三上·杭州期末）如图所示正四棱台，其中，.
（1）当时，求和平面所成角；
（2）证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积.
【答案】（1）解：过作平面于，连接，
过分别作于于，连接，
为在平面上的投影，如图所示：
因为平面，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，所以，
同理，，四边形为正方形，，为在平面上的投影，
又因平面平面，所以和平面所成角即，，
故和平面所成角为；
（2）证明：连接、交于，连接、交于，如图所示：
上下底面为正方形，由正棱台性质，可得，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
由正棱台性质，与上下底面均垂直，则，
因为，平面，
所以平面，所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和，
即：
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）过作平面于，连接，过分别作于于，连接，易知为在平面上的投影，确定为和平面所成角，再通过边长计算该角的大小即可；
（2）连接、交于，连接、交于，利用正棱台性质证得线线平行，结合线面平行的判定定理证明线面平行即可；利用线面垂直将三棱锥拆分为两个小棱锥，结合棱台的高计算三棱锥的体积即可.
（1）过作平面于，连接，
过分别作于于，连接，
如图为在平面上的投影，
由于平面，所以，
由于平面，
所以平面.由于平面，所以.
所以，同理，，四边形为正方形，
所以，为在平面上的投影，
又因平面平面，
所以和平面所成角即，，
故和平面所成角为.
（2）连接、交于，连接、交于，
如图，上下底面为正方形，由正棱台性质，可得，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
由正棱台性质，与上下底面均垂直，则，
因为，平面，
所以平面，所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和，
即：
17．（2026高三上·杭州期末）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位，每次向右移动的概率为．
（1）时，移动3次后，求质点最终所在的位置的坐标为1的概率；
（2）若移动4次后，质点最终所在位置的坐标为，求随机变量的分布列和数学期望；
（3）若移动次后，质点最终所在位置的坐标为，求随机变量的数学期望．
【答案】（1）解：设移动3次后，质点最终所在的位置的坐标为1为事件，
由题可知事件为3次移动中，2次向右移动，1次向左移动，；
（2）解：由题意可知：随机变量可取，
，，
又，
，
，
则随机变量分布列为
4 2 0
；
（3）解：设在移动次中，向右移动的次数为，则，，
因为向右移动的次数为，则向左移动次，所以质点最终所在位置的坐标为，
则，即随机变量的数学期望为.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；二项分布
【解析】【分析】（1）设移动3次后，质点最终所在的位置的坐标为1为事件，由题意可知：3次移动中，2次向右移动，1次向左移动，再根据概率乘法公式计算概率即可；
（2）由题意可知：随机变量可取，分别计算对应概率，列分布列，计算期望即可；
（3）设在移动次中，向右移动的次数为，则向左移动次，，结合，，即可求解．
（1）设移动3次后，质点最终所在的位置的坐标为1为事件，
由题可知事件为3次移动中，2次向右移动，1次向左移动，
；
（2）根据题意，可取，
，，
又，
，
，
∴分布列为
4 2 0
∴；
（3）设在移动次中，向右移动的次数为，
则，，
向右移动的次数为，则向左移动次，
质点最终所在位置的坐标为，
，
即随机变量的数学期望为．
18．（2026高三上·杭州期末）已知为正实数，曲线与直线交于不同的两点
（1）若，求的取值范围；
（2）求证：；
（3）若点恰在椭圆上，求证：．
【答案】（1）解：当时，直线方程为，
曲线与直线交于不同的两点，
即方程有两个不同的解，等价于有两个不同的解，
设，对其求导得，
令，即，解得，
当时，单调递增；当时，单调递减；
所以在处取得极大值，也是最大值，，
当时，，当时，，
要使有两个不同的解，则，
因此，的取值范围为；
（2）证明：已知在曲线上，则，
要证，即证，
不妨设，只需证明，又，
故只需证明，
只需证明，即需证明
只需证明，
令，，
则，
设为的导函数，则，
所以函数在上为减函数，
所以当时，，
所以函数在上为减函数，
故当时，，又，
所以，即，故；
（3）解：设，其中，
由（2）知，
则，①，
当时，不等式显然成立，
当时，将和相减，得，
②，
再将和相加，得③，
注意到：时，由知，
结合①、②、③，知
，
则，即，结合，可得，
故．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）当时，直线方程为，问题转化为有两个不同的解，设，求导，利用导数判断函数的单调性，根据单调性确定参数范围即可；
（2）由题意，不等式转化为证，令，求导，利用导数判断函数的单调性，证明不等式即可；
（3）设交点，由（2）可得，根据和相加、相减得、，最后根据得求解即可．
（1）当时，直线方程为，
曲线与直线交于不同的两点，
即方程有两个不同的解，等价于有两个不同的解，
设，对其求导得，
令，即，解得，
当时，单调递增；当时，单调递减；
所以在处取得极大值，也是最大值，，
当时，，当时，，
要使有两个不同的解，则，
因此，的取值范围为；
（2）已知在曲线上，则，
要证，即证，
不妨设，只需证明，又，
故只需证明，
只需证明，即需证明
只需证明，
令，，
则，
设为的导函数，则，
所以函数在上为减函数，
所以当时，，
所以函数在上为减函数，
故当时，，又，
所以，即，
所以，
（3）设，其中，
由（2）知，
，
①，
当时，不等式显然成立，
当时，将和相减，
得，
②，
再将和相加，得③，
注意到：时，由知，
结合①、②、③，知
，
，
即，结合可得，
所以．
19．（2026高三上·杭州期末）若为项数列，若存在数列满足：①；②中的最大项为1，最小项为0，则称是“-好数列”．
（1）请写出所有第二项为的“3-好数列”；
（2）若为单调不增（即）的“2026-好数列”，求的最大值；
（3）若为“-好数列”，记为中的最大项，为中的最小项，求最小值．
【答案】（1）解：若，则，，则，符合题意；
若，则，则不符合题意；
若，则，
若，则，不符合题意，
若，则符合题意，
所以或；
（2）解：，
由于为单调不增（即）的“2026-好数列”，
则，
则，，
即，
，，
当时取等号，
则的最大值为；
（3）解：由题意，存在，使得，，
存在，使得，，
若，则，，
结合可得，
若，则，，
结合可得，
当时，，
综上，最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；数列的函数特性；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）根据“3-好数列”定义求解即可；
（2）计算，根据为单调不增的“2026-好数列”，根据“2026-好数列”的定义，证得单调性，得出，再进行放缩求的最大值即可；
（3）由题意，存在，使得，，存在，使得， 讨论的大小关系，结合进行放缩，得到，并给出1个的即可.
（1）若，则，，则，符合题意；
若，则，则不符合题意；
若，则，
若，则，不符合题意，
若，则符合题意.
所以或.
（2）由于为单调不增（即）的“2026-好数列”，
则，
则，，
即，
，，
当时取等号，
则的最大值为.
（3）由题意，存在，使得，，
存在，使得，，
若，则，，
结合可得，
若，则，，
结合可得，
当时，，
综上，最小值为.
1 / 1浙江杭州学军中学2025-2026学年第一学期期末考试高三数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2026高三上·杭州期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2026高三上·杭州期末）已知z为复数，且，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026高三上·杭州期末）已知满足，则的形状一定是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
4．（2026高三上·杭州期末）如图所示，四棱锥的底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面，点在正方形内运动，且满足，则点在正方形内的轨迹一定是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2026高三上·杭州期末）设，若，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2026高三上·杭州期末）已知等比数列中，，，则的值为
A．2 B．4 C．8 D．16
7．（2026高三上·杭州期末）已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，且，为的内心，若， 则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2026高三上·杭州期末）已知正实数满足，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．（2026高三上·杭州期末）（多选）下列命题中，真命题的是（ ）
A．数据的第70百分位数是23
B．若回归方程为，则变量与成负相关
C．若随机变量服从正态分布，，则
D．在线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
10．（2026高三上·杭州期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．在底面上的投影是线段的中点
C．与平面所成角大于
D．与所成角的余弦值为
11．（2026高三上·杭州期末）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．在区间上单调递减
B．
C．在区间上的值域为
D．设函数满足关系式且，则在上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2026高三上·杭州期末）函数的对称中心是　 　．
13．（2026高三上·杭州期末）数列的前项和为，已知，，则数列的通项公式　 　．
14．（2026高三上·杭州期末）某同学每次投篮命中的概率为0.8，且各次投篮是否投中相互独立，该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投掷，那么投篮总次数的数学期望为　 　．
四、解答题：共5小题，共77分．解答应与出文字说明、证明过程或验算步骤．
15．（2026高三上·杭州期末）记为等差数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
16．（2026高三上·杭州期末）如图所示正四棱台，其中，.
（1）当时，求和平面所成角；
（2）证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积.
17．（2026高三上·杭州期末）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位，每次向右移动的概率为．
（1）时，移动3次后，求质点最终所在的位置的坐标为1的概率；
（2）若移动4次后，质点最终所在位置的坐标为，求随机变量的分布列和数学期望；
（3）若移动次后，质点最终所在位置的坐标为，求随机变量的数学期望．
18．（2026高三上·杭州期末）已知为正实数，曲线与直线交于不同的两点
（1）若，求的取值范围；
（2）求证：；
（3）若点恰在椭圆上，求证：．
19．（2026高三上·杭州期末）若为项数列，若存在数列满足：①；②中的最大项为1，最小项为0，则称是“-好数列”．
（1）请写出所有第二项为的“3-好数列”；
（2）若为单调不增（即）的“2026-好数列”，求的最大值；
（3）若为“-好数列”，记为中的最大项，为中的最小项，求最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，
即集合，集合，
则．
故答案为：C．
【分析】解一元二次不等式求得集合A，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以原点O为圆心，以1为半径的圆，
表示复平面内的点与点之间的距离.因为点与原点O的距离，
所以的最小值是，最大值是，
故的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】本题结合复数的几何意义，将复数模的问题转化为复平面上点与圆的距离问题求解。
3．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由，可得，
由向量加法的几何意义知，对应的向量在的平分线上，
即的平分线与边AC垂直，故的形状一定是等腰三角形．
故答案为：A．
【分析】由变形可得，根据单位向量的定义及加法的几何意义可知对应的向量在的平分线上，的平分线与边AC垂直，结合等腰三角形的性质判断的形状即可.
4．【答案】B
【知识点】棱锥的结构特征；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解： 侧面为等边三角形 ，则，点符合“点在正方形内的一个动点，
且满足”，
设的中点为，因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
由题意可得，则和全等，，
点也符合“点在正方形内的一个动点，且满足”，
故动点的轨迹肯定过点和点，
而到点到点的距离相等的点为线段的垂直平分面，
线段的垂直平分面与平面的交线是一直线，故的轨迹为线段.
故答案为：B.
【分析】由侧面为等边三角形 ，可知点符合“点在正方形内的一个动点，且满足”，设的中点为，利用线面垂直的判定定理，结合已知条件推出点也符合“点在正方形内的一个动点，且满足”，再根据符合条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面AC的交线，求点M的轨迹即可.
5．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由题意得，，解得，
由，得，则，
所以．
故答案为：B
【分析】先利用切化弦与二倍角公式求出sin2θ，再根据θ的范围求出cos2θ，最后利用和角的正弦公式计算目标表达式。
6．【答案】A
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解： 数列为等比数列，，，
由，由等比数列的性质可得，
则.
故答案为：A．
【分析】根据等差、等比数列的性质求解即可.
7．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设的内切圆半径为，因为，
所以，可得，
因为点为双曲线右支上一点，
所以，可得，解得，
又因为，可得，整理得，
即，解得或（舍去）.
故答案为：D.
【分析】用双曲线的定义、三角形面积公式以及内切圆的性质来求解.用三角形面积公式将已知条件转化为线段长度的关系，结合双曲线的定义得到与、的关系，通过已知的与、的关系求出的值.
8．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：正实数满足，，，
则，，，且，
若，则，，，即，同理，
构造函数，其中，，
原等式等价于，，，
求导得，
因为且，所以，，，
所以，即在上单调递增，
由，可得，，
令，则，
由指数函数和对数函数的单调性可得，，
所以，单调递增，所以，
所以，
因为且在上单调递增，所以，
同理由可得，
所以，
同理可得，
因为且在上单调递增，所以，
综上.
故答案为：A.
【分析】由题意可得：，，，且，构造，求导，利用导函数判断函数在上单调递增，由可得，代入得，再根据的单调性可知，结合和的单调性比较的大小，同理即可.
9．【答案】A,B
【知识点】线性回归方程；回归分析；正态密度曲线的特点；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、数据从小到大排列为共8个数，
，则第70百分位数是第个数，故A正确；
B、回归方程中，所以变量与成负相关，故B正确；
C、因为随机变量服从正态分布，，
所以，则，C错误；
D、在线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越大，越接近1，则模型的拟合效果越好，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】先将数据从小到大排列，再根据百分位数的计算方法计算即可判断A；根据回归方程的相关性的性质即可判断B；利用正态分布的对称性求解即可判断C；根据决定系数的定义即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：A、由题意，
，
因为，
所以，故A正确；
B、设中点为，连接，如图所示：
则，
若在底面上的投影是线段的中点，则底面，
又底面，则应该有，
因为
，
故此时与底面不垂直，故B错误；
C、因为，，
所以
，，
在中，，，，
满足，则，即与平面所成角为，
又因为，即，
所以与平面所成角大于，故C正确；
D、
，
则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，利用向量数量积的运算分别计算和即可判断A；设中点为，连接，若在底面上的投影是线段的中点应得，利用向量数量积的运算计算验证即可判断B；利用向量模以及向量数量积的运算分别计算，根据勾股定理判断，则与平面所成角为，再计算即可判断C；计算以及，再利用向量的夹角公式求解即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，
，
A、当时，，，，则，
即在区间上单调递减，故A正确；
B、由A可知：在区间上单调递减，则，即，故B错误；
C、因为在区间上单调递减，当时，，，
所以在区间上的值域为，故C正确；
D、当时，令，
则，对求导得，
又，代入解得，
由C可知当时，恒成立，即单调递增，
由，解得，
则当时，，即在区间上单调递减，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求函数的定义域，再求其导函数，利用导数判断函数的单调性即可判定A；利用在区间上单调递减，比较大小即可判定B；利用函数的单调性求函数的值域即可判断C；当时，令，求导，利用导数判断函数即单调性，再根据解得，确定，判断函数的单调性即可判断D.
12．【答案】
【知识点】奇偶函数图象的对称性；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：函数定义域为，
，令，则，
令，解得，
因为，所以函数的对称中心是.
故答案为：.
【分析】先求函数的定义域，求导，令，再求导，令，解得，代入求，据此求函数的对称中心即可.
13．【答案】
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解： 数列的前项和为，且，
由，可得，
令，则，，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，则，①，
当时，②，
①②得，
当时代入上式得，符合条件，
综上.
故答案为：.
【分析】由变形可得，令构造等比数列，利用等比数列的通项公式求出，再利用与的关系求数列的通项公式即可.
14．【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：设投篮总次数的数学期望为，
若第一次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为，
此情况下发生的概率为0.2，投篮总次数为，
若第一次投中，且第二次没有投中，则后续需重新投篮，且后续重新投篮的总次数的数学期望仍为，此情况发生的概率为，投篮总次数为，
若第一次投中，第二次投中，则此情况发生的概率为，投篮总次数为2，
则投篮总次数的数学期望为，
解得.
故答案为：.
【分析】设投篮总次数的数学期望为，由题意，分第一次没有投中、第一次投中，且第二次没有投中和第一次投中，第二次投中，列出关于数学期望的方程求解即可.
15．【答案】（1）设等差数列首项为，公差为，
则，，
，，解得，，
（2）由（1）知，
令，解得
当时，可得；
当时，可得，
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】 【分析】（1）利用公式，根据已知条件表达有关与d的方程组计算并得出答案；
（2）讨论的符号去绝对值，分类得出。
16．【答案】（1）解：过作平面于，连接，
过分别作于于，连接，
为在平面上的投影，如图所示：
因为平面，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，所以，
同理，，四边形为正方形，，为在平面上的投影，
又因平面平面，所以和平面所成角即，，
故和平面所成角为；
（2）证明：连接、交于，连接、交于，如图所示：
上下底面为正方形，由正棱台性质，可得，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
由正棱台性质，与上下底面均垂直，则，
因为，平面，
所以平面，所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和，
即：
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）过作平面于，连接，过分别作于于，连接，易知为在平面上的投影，确定为和平面所成角，再通过边长计算该角的大小即可；
（2）连接、交于，连接、交于，利用正棱台性质证得线线平行，结合线面平行的判定定理证明线面平行即可；利用线面垂直将三棱锥拆分为两个小棱锥，结合棱台的高计算三棱锥的体积即可.
（1）过作平面于，连接，
过分别作于于，连接，
如图为在平面上的投影，
由于平面，所以，
由于平面，
所以平面.由于平面，所以.
所以，同理，，四边形为正方形，
所以，为在平面上的投影，
又因平面平面，
所以和平面所成角即，，
故和平面所成角为.
（2）连接、交于，连接、交于，
如图，上下底面为正方形，由正棱台性质，可得，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
由正棱台性质，与上下底面均垂直，则，
因为，平面，
所以平面，所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和，
即：
17．【答案】（1）解：设移动3次后，质点最终所在的位置的坐标为1为事件，
由题可知事件为3次移动中，2次向右移动，1次向左移动，；
（2）解：由题意可知：随机变量可取，
，，
又，
，
，
则随机变量分布列为
4 2 0
；
（3）解：设在移动次中，向右移动的次数为，则，，
因为向右移动的次数为，则向左移动次，所以质点最终所在位置的坐标为，
则，即随机变量的数学期望为.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；二项分布
【解析】【分析】（1）设移动3次后，质点最终所在的位置的坐标为1为事件，由题意可知：3次移动中，2次向右移动，1次向左移动，再根据概率乘法公式计算概率即可；
（2）由题意可知：随机变量可取，分别计算对应概率，列分布列，计算期望即可；
（3）设在移动次中，向右移动的次数为，则向左移动次，，结合，，即可求解．
（1）设移动3次后，质点最终所在的位置的坐标为1为事件，
由题可知事件为3次移动中，2次向右移动，1次向左移动，
；
（2）根据题意，可取，
，，
又，
，
，
∴分布列为
4 2 0
∴；
（3）设在移动次中，向右移动的次数为，
则，，
向右移动的次数为，则向左移动次，
质点最终所在位置的坐标为，
，
即随机变量的数学期望为．
18．【答案】（1）解：当时，直线方程为，
曲线与直线交于不同的两点，
即方程有两个不同的解，等价于有两个不同的解，
设，对其求导得，
令，即，解得，
当时，单调递增；当时，单调递减；
所以在处取得极大值，也是最大值，，
当时，，当时，，
要使有两个不同的解，则，
因此，的取值范围为；
（2）证明：已知在曲线上，则，
要证，即证，
不妨设，只需证明，又，
故只需证明，
只需证明，即需证明
只需证明，
令，，
则，
设为的导函数，则，
所以函数在上为减函数，
所以当时，，
所以函数在上为减函数，
故当时，，又，
所以，即，故；
（3）解：设，其中，
由（2）知，
则，①，
当时，不等式显然成立，
当时，将和相减，得，
②，
再将和相加，得③，
注意到：时，由知，
结合①、②、③，知
，
则，即，结合，可得，
故．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）当时，直线方程为，问题转化为有两个不同的解，设，求导，利用导数判断函数的单调性，根据单调性确定参数范围即可；
（2）由题意，不等式转化为证，令，求导，利用导数判断函数的单调性，证明不等式即可；
（3）设交点，由（2）可得，根据和相加、相减得、，最后根据得求解即可．
（1）当时，直线方程为，
曲线与直线交于不同的两点，
即方程有两个不同的解，等价于有两个不同的解，
设，对其求导得，
令，即，解得，
当时，单调递增；当时，单调递减；
所以在处取得极大值，也是最大值，，
当时，，当时，，
要使有两个不同的解，则，
因此，的取值范围为；
（2）已知在曲线上，则，
要证，即证，
不妨设，只需证明，又，
故只需证明，
只需证明，即需证明
只需证明，
令，，
则，
设为的导函数，则，
所以函数在上为减函数，
所以当时，，
所以函数在上为减函数，
故当时，，又，
所以，即，
所以，
（3）设，其中，
由（2）知，
，
①，
当时，不等式显然成立，
当时，将和相减，
得，
②，
再将和相加，得③，
注意到：时，由知，
结合①、②、③，知
，
，
即，结合可得，
所以．
19．【答案】（1）解：若，则，，则，符合题意；
若，则，则不符合题意；
若，则，
若，则，不符合题意，
若，则符合题意，
所以或；
（2）解：，
由于为单调不增（即）的“2026-好数列”，
则，
则，，
即，
，，
当时取等号，
则的最大值为；
（3）解：由题意，存在，使得，，
存在，使得，，
若，则，，
结合可得，
若，则，，
结合可得，
当时，，
综上，最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；数列的函数特性；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）根据“3-好数列”定义求解即可；
（2）计算，根据为单调不增的“2026-好数列”，根据“2026-好数列”的定义，证得单调性，得出，再进行放缩求的最大值即可；
（3）由题意，存在，使得，，存在，使得， 讨论的大小关系，结合进行放缩，得到，并给出1个的即可.
（1）若，则，，则，符合题意；
若，则，则不符合题意；
若，则，
若，则，不符合题意，
若，则符合题意.
所以或.
（2）由于为单调不增（即）的“2026-好数列”，
则，
则，，
即，
，，
当时取等号，
则的最大值为.
（3）由题意，存在，使得，，
存在，使得，，
若，则，，
结合可得，
若，则，，
结合可得，
当时，，
综上，最小值为.
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