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2026学年八年级数学下学期第一次月考检测卷（第19-20章）
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
3．小海和小华分别用计算器求与的近似值．通过按键得到与的近似值分别如图1和图2所示，那么a与b的数量关系可能是（ ）
A． B． C． D．
4．若直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值为（ ）
A．5 B．5或 C． D．2
5．一辆装满货物，高为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门，只有一个单向车道)，则卡车的宽度不得宽于（ ）
A．2米 B．米 C．米 D．米
6．表示不大于x的最大整数，如，，，则的值为（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
7．如图，在四边形中，，，四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点处，已知长方体长，宽，高.蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从点爬到点，则蜘蛛爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（　　）
①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四边形BCDE＝BD CE；⑤BC2+DE2＝BE2+CD2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．二次根式除法可以这样做，如，像这样通过分子，分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以；②若a是的小数部分，则的值为；③比较两个二次根式的大小：；④计算：；⑤若x=，，且，则整数．以上结论正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤
二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）
11．式子有意义的条件是________．
12．规定运算“★”是，则__________．
13．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为______．
14．如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为__________．
15．两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：与；与．
（1）的有理化因式为___________；
（2）比较大小：__________（选填“>”“<”或“=”）；
（3）计算：___________．
16．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，其中是互质的奇数，则，为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式：
根据规律写出第⑦个等式为_____．
三、解答题（7小题，共72分）
17．计算
(1)； (2)．
18．陕西的关中平原灌溉渠系是国家级大型水利工程的重要组成部分，对保障粮食安全至关重要．现计划扩建开挖某段干渠，如图，计划从干渠A处向C，D，B三地分流（点C，D，B在同一条直线上），修三条支渠，，，且．若，，，求支渠的长．
19．甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，．
(1)甲同学所做的点表示的数是_______；
(2)仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点．
20．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；1．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
(1)化简和．
(2)化简：．
21．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中，以线段为腰，画一个三边都为无理数的等腰三角形（且为锐角三角形）
(2)在图②中，以线段为腰，画一个三边都为无理数的等腰直角三角形；
(3)在图③中，以点为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
22．阅读以下的材料：
如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子：
例：已知，求函数的最小值．
解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4．
根据上面回答下列问题
(1)已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ；
(2)已知，则自变量x取何值时，函数最大值是 ．
23．综合与实践
(1)如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距40千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米．①尺规作图：在边上作出一点，使；（不写作法，保留作图痕迹）
②在①的条件下，求的距离；
(2)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值为_____．
参考答案
一、选择题
1．C
解∶A．，故A错误；
B．，当时，结果为，不等于，故B错误；
C．，原计算正确，故C正确；
D．，故D错误．
2．C
解：A、，被开方数为2，能与合并，不符合题意；
B、，被开方数为2，能与合并，不符合题意；
C、，被开方数为3，不能与合并，符合题意；
D、，被开方数为2，能与合并，不符合题意．
3．（B
解：观察计算器，得，，
∴，
则
∴
即，
故选：B
4．B
解：∵题目未说明x是直角边还是斜边，
∴分两种情况讨论：
①当x为斜边长，根据勾股定理得
∵三角形边长为正数，
∴；
②当长为4的边为斜边，x为直角边长，根据勾股定理得
∵三角形边长为正数，
∴．
综上，x的值为5或．
5．C
解：∵长方形的长为米，宽为米，卡车高为米，米，
∴米，过点作垂线交半圆于点，在上截取米，符合卡车的高度，
过作交半圆于、两点，连接与，
∵，
∴为的中线，
∴，即为卡车的最大宽度，
∵是半圆的直径，
∴米，
∴米，
∴米，
即卡车的宽度不得宽于米，
故选：C．
6．D
解：∵，，，…，
∴
，
∴
．
故选：D
7．D
解：如图，连接，
，
，
又，
，
是直角三角形，
四边形的面积为．
故选：D．
8．A
解：如图所示，当沿着高把长方体展开时，
在中，，，，
；
如图所示，当沿着长把长方体展开时
在中，，，，
；
如图所示，当沿着宽把长方体展开时，
在中，，，，
；
，
∴沿着长方体的表面从点爬到点，则蜘蛛爬行的最短路程是，
故选：A．
9．C
解：∵，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD， ∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE=BD， ∠ABD=∠ACE，故①正确；
∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，
在△BCG中，∠BGC=180°-（∠BCG+∠CBG）=180°-90°=90°，
∴BD⊥CE，
∴S四边形BCDE=BD CE，故④正确；
由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2=BG2+CG2，
在Rt△DEG中，DE2=DG2+EG2，
∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2，
在Rt△BGE中，BE2=BG2+EG2，
在Rt△CDG中，CD2=CG2+DG2，
∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2，
∴BC2+DE2=BE2+CD2，故⑤正确；
从题干信息没有给出 所以只有时，=90°，
无法说明，更不能说明 故②错误；
∵△ABD≌△ACE， ∴∠ADB=∠AEC，
条件不足以证明
∠AEC与∠AEB相等无法证明，
∴∠ADB=∠AEB不一定成立，故③错误；
综上所述，正确的结论有①④⑤共3个．
故选：C．
10．D
解： ，故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确；
∵a是 的小数部分，，
∴，
∴，
故②错误；
∵，，
∴，故③正确；
，故④正确；
⑤∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，
∵，
∴，
即，
解得．故⑤正确．
故选：D．
二、填空题
11．且
解：要使式子有意义，则，
解得且．
12．/
解：∵，
∴当，时，．
故答案为：．
13．72
解：根据勾股定理知：，，，
∴．
故答案为：．
14．
解：在中，，
，则，
由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且；
在中，，
，则，
由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且；
四边形的面积为，
故答案为：．
15． （答案不唯一） >
解：（1）∵，
∴的有理化因式为．
（2）∵，，
而，
∴，
∴．
（3）
．
故答案为：（1）；（2）；（3）．
16．
解：观察已知等式可得
第k个等式中，第一个数的底数为，指数为2，
第二个数的底数为，指数为2，
第三个数的底数为，指数为2，
则第k个等式为
当时
，
，
，
所以第⑦个等式为．
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
．
18．解：，
．
，，
．
．
．
答：支渠的长是．
19．（1）解：在中，，，，
，
，
点表示的数是，
故答案为：；
（2）解：如下图所示，在中，，，，
，
，
点表示的数是．
20．（1）解：；
；
（2）解：
．
21．（1）如图①， ABC即为所求；
∵
∴ ABC是一个三边都为无理数的等腰三角形（且为锐角三角形）
（2）如图②，即为所求
∵
∴
∴是一个三边都为无理数的等腰直角三角形
（3）如图③，正方形即为所求．
22．（1）解：由题意得：，
当且仅当时，即，函数有最小值，
故答案为．
（2）解：，
，
由题意得：，即，
当且仅当时，即时，函数有最大值．
23．（1）解：①如图，点P即为所求作的点；
②设千米，则千米，
∵，，
∴，
在中，根据勾股定理可得：
，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
，
解得：，
即：千米；
（2）解：如图，，先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，
设，则就是代数式的最小值，
代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点，
由轴对称的性质可得：，
，，，
四边形是矩形，
，，
从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值，
代数式的最小值为：
．

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