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2026学年七年级下册数学第一次月考检测卷（第7-8章）
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．下列命题中正确的是（ ）
A．同位角相等
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
C．两点之间，直线最短
D．过一点作已知直线的平行线，有且只有一条
2．的结果值介于（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
3．如图，直线与直线相交于点，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在野外探险中，有两条东西方向的平行步道，徒步者甲在步道上，徒步者乙在步道上．若某一时刻，甲看乙的方向是北偏东，则的度数为（ ）
B． C． D．
5．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将直径为的圆形纸片上的点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图是两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（ ）．
A． B．2 C． D．4
9．如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．下列说法中，不正确的有（ ）
A．
B．对100连续求根整数，3次之后结果为1
C．若，则所有满足题意的x的整数值的和为5
D．若对正整数a只需进行3次连续求根整数运算后结果变为1，则a的最大值为255．
二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）
11．已知，且m是整数，则m的值为________．
12．下列语句中，属于定义的是_______，是命题的是_______．（请填写序号）
①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离．
13．如图，直线与相交于点，，若，则的度数是______．
14．对于实数，在它的允许取值范围内，经过第1次变换可得，经过第2次变换可得，经过第3次变换可得，…，以此类推．
（1）当时，______；
（2）当时，______．
15．定义一种“循环移位密码”，规则如下：（1）将个英文字母按顺序对应数字：．（2）密钥为三个字母：．（3）加密时，首先将明文每个字母对应的数字，加上密钥对应位置字母的数字（密钥可以循环使用）得到一个新数，然后求这个新数关于的余数，通过余数对应的字母，得到密文．例如：明文为“”，密钥为“”，那么加密计算规则以及加密后的密文如下表所示：
明文及对应数字 （） （） （） （） （） … …
密钥及对应数字 （） （） （） （） （） （） …
密文=明文+密钥 （） （） （） （） （8） …
…
如果明文为，那么密文应该是______．
16．图①是某自行车的实物图，图②是图①的示意图．经测得，且都与地面平行，．有如下四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．在这四个结论中正确的序号为________．
三、解答题（7小题，共72分）
17．求下列各式中x的值：
(1)； (2)； (3)； (4)．
18．如图，，，，是长方形的外角，求．
19．如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，长方形的四个顶点都是格点．
(1)画出将长方形先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的长方形，其中点A，B，C，D的对应点分别为．
(2)求出上述两个长方形未重叠部分的面积和．
20．阅读下面的两则材料，解答问题：
材料一：（）计算下列各式：①，则；
②，则．
材料二：，即，
的整数部分为，小数部分为．
请解答：
(1)通过计算，我们可以发现___________．
从上面的结果可以得到：
①化简：___________；
②化简的结果是___________．
(2)已知，其中是整数，且，求的值．
21．潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置，常用于潜水艇，坑道和坦克内观察敌情．如图，潜望镜中的两面镜子和是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，，请利用所学的数学知识证明：进入潜望镜的光线与离开潜望镜的光线平行，请将证明过程补充完整（填理由或数学式）．
证明：（已知）
（_______________）
（已知）
（_______________）
_____，
_______________，（平角的定义）
，
_____，（等量代换）
_______________．（_______________）
22．我国古代数学典籍《九章算术》中有通过运算、推理估算一个正整数的算术平方根的方法．以估算一个四位数N的算术平方根为例，具体步骤如下：
①先估算N的算术平方根的整数部分．
（ⅰ）分析：先近似认为N的算术平方根只有整数部分．因为N是四位数，其算术平方根的整数部分应为两位数，设整数部分的十位与个位数字分别为，，估计N为．
（ⅱ）估计，如：若，因为1257介于和之间，可估计为3．
（ⅲ）估计，如：若，把代入（ⅰ）中的式子，因为，则估计即为357，而357介于与之间，可估计为5．同时可知1257的算术平方根还有小数部分．
②再估算N的算术平方根的小数部分．
N的算术平方根实际上包括整数部分和小数部分．设小数部分为，估计为．如：若，则估计为，即．由此可估计1257的算术平方根为．
(1)依照上述步骤，估计方程的一个正数根；
(2)请解释步骤②中估计为的合理性．
23.已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，．
(1)如图1，若，直接写出的度数；
(2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示
(3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数．
参考答案
一、选择题
1．B
解：A选项：只有当两直线平行时，同位角才相等，否则不一定，∴ A错误．
∵ 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，∴ B选项正确．
C选项：两点之间，线段最短，直线是无限长的，∴ C错误．
D选项：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；但过直线上一点，不存在与已知直线平行的直线（除本身），∴ D错误．
故选：B．
2．B
∵ ，
又∵ ，
∴
即；
∴的结果值介于5和6之间.
3．B
解：∵，，
∴，
∴．
4．C
解：标记，如解图所示；易得，
，
,
,
故选C．
5．D
解：第1行到第10行共有：个数，即第10行最后一个数为，
∴第11行从开始，则此行第4个数为；
故选：D．
6．C
解：，
∴，
∵平分
∴
∵反射角与入射角相等
∴
故选：C．
7．C
解：圆滚动一周，点A到达了点B的位置，则即为圆周长π，
∴点B的位置表示的实数为，
故选：C．
8．B
解：∵两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为．
故选：B．
9．C
解：，即，，
，
由平移可得，
．
故选：C．
10．C
解：∵，，且，
∴，
∴，故选项A正确，不符合题意．
第一次：；
第二次：；
第三次：，
∴对100连续求根整数，3次之后结果为1，故选项B正确，不符合题意．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴满足题意的x的整数值为2、3、4，它们的和为，故选项C错误，符合题意．
设第3次运算的数为x，则，
∴，即；
第2次运算的数为y，则，
∴，
∵，
∴取，则；
第1次运算的数为a，则，
∴，取，则，
∴a的最大值为255，故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
二、填空题
11．3
解：∵ ，，
∴ ，即 ．
∵ ，且是整数，
∴ 满足条件的整数为．
12． ②⑥ ①②⑤⑥
解：①三角形的内角和等于，是命题，不是定义；
②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题；
③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题；
④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题；
⑤对顶角不相等；不是定义，是命题；
⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题；
属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥；
故答案为：②⑥；①②⑤⑥．
13．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14． 2
（1）当时，，
；
（2）当时，
，
，
，
因此结果每3个数为一个循环周期，
一个周期内的和为，
，
．
15．
根据规则可得：
明文对应数字依次为，，，
密钥对应数字依次为，，，
逐个计算密文对应余数：
第一个字母：，余数对应字母为，
第二个字母：，余数对应字母为，
第三个字母：，余数对应字母为，
故密文为：.
16．①②④
解：，
，
∵∠BAC=60 ，
，
故结论①正确；
当时，
∵∠BAC=60 ，
，
又，
，
，
故结论②正确；
当时，
，
，
与不平行，
故结论③错误；
当时，
则，
，
故结论④正确；
综上，正确的结论有：，
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
，
，
；
（4）解：
，
，
，
解得或．
18．解：长方形，
，
是长方形的外角，即和互为邻补角，
，
，
同理可得：，，，
．
19．（1）解：长方形如图所示，
（2）解：两个长方形未重叠部分的面积和．
20．（1）解：根据材料一可得：；
①；
②；
（2）解：∵，且，
∴，
∴，即，
∵已知，其中是整数，且，
∴，且，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴
．
故的值为．
21．证明：∵（已知），
∴，（两直线平行，内错角相等）．
∵，（已知），
∴，（等量代换）．
∵，
，（平角的定义）．
∴，，
∴，（等量代换）．
∴，（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；；；；；；；内错角相等，两直线平行．
22．（1）解：因为方程可化为，
所以方程的正根可表示为．
①估计1530的整数部分
估计1530为．
因为，所以估计为3．
将代入，估计即为630．
因为，
所以估计为9．
②估计1530的小数部分
将，，代入中，
所以估计为．
所以估计为．
所以方程的一个正根为．
（2）因为N的算术平方根整数部分和小数部分分别为，，
所以．所以．
省略后，被开方数N的误差为．
因为，所以，即．
N是一个四位数，省略对估计的结果影响很小，
所以．
所以．
所以估计为是合理的．
23.（1）解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
∵，
∴；
（2）解：过点作，
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∵是的三等分线，分两种情况：
①当时，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
又由（1）知：，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
综上：或．

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