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23.2《一次函数的图象和性质》小节复习题
类型一、利用一次函数的定义求参数
1.若函数是一次函数，则m的值为（ ）
A． B．1 C． D．任意实数
2.若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（ ）
A． B． C． D．
3.若关于的函数是一次函数，则的值为（ ）
A．1或 B．1或 C．或 D．1或或
4.已知函数是关于的一次函数，则的值是（　　）
A． B．3 C． D．9
类型二、一次函数的图象和性质
1.对于一次函数，下列结论错误的是（　　）
A．函数图象与x轴交点坐标是
B．当x增加1时，y增加1
C．函数图象不经过第四象限
D．函数值y随自变量x的增大而增大
2.已知一次函数，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过第一、二、四象限 B．图象与x轴的交点坐标为
C．y随x增大而减小 D．该图象可以由向上平移4个单位得到
3.下列有关一次函数的说法中，正确的是（ ）
A．的值随着值的增大而减小
B．函数图象与轴的交点坐标为
C．当时，
D．函数图象经过第一、二、四象限
4.下列有关一次函数的说法：①函数图象与y轴的交点为；②当时，y的值随着x增大而增大；③当时，函数图象经过第二、三、四象限．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
类型三、根据一次函数解析式判断其经过的象限
1.一次函数的图象不经过第 象限．
2.已知一次函数，且随着的增大而减小，则它的图象不经过第 象限.
3.已知一次函数经过第一、二、四象限，则一定不经过第 象限．
4.如果方程组无解，那么直线不经过第 象限．
类型四、已知一次函数经过的象限求参数的范围
1.直线不经过第四象限，则k的取值范围为 ．
2.若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是 ．
3.一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是 ．
4.直线恒过一定点．
（1）则该定点的坐标是 ．
（2）平面直角坐标系中有两点，，若该直线与线段没有交点，则的取值范围是 ．
类型五、利用一次函数的增减性比较函数值的大小
1.若点，在一次函数的图象上，则 ．（填“”、“”或“”）．
2.若一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，点、在该函数图象上，则 ．（填“”、“”或“”）
3.已知点、在一次函数（k为常数）的图象上，则 （填“>”“<”或“=”）．
4.若点，在一次函数（为常数）的图像上，则和的大小关系是 ．（填“”，“”或“”）
类型六、根据一次函数的增减性求参数
1.若一次函数的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是 ．
2.已知点，在一次函数的图象上，若，则实数m的值可以是 （写一个符合条件的值即可）．
3.已知点，在直线（m为常数）上，当时，有，则m的值可以是 ．（写出一个即可）
4.已知函数（m为常数），当时，y的最大值为6，则m的值为 ．
类型七、一次函数图象与坐标轴的交点问题
1.直线与轴、轴的交点坐标分别为 ， ，图象不经过第 象限．
2.在平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，连接，则的长为 ．
3.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，将 ABC沿翻折，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为 ．
4.如图，直线 与轴、轴分别交于点，，点是直线上的一个动点，在平面直角坐标系中，点是轴上的一个点，则线段的最小值为 ．
类型八、画一次函数的图象
1.已知一次函数．
(1)在如图的平面直角坐标系中，画出函数的图象；
(2)直接写出直线与轴、轴的交点，的坐标；
(3)求 AOB的面积．
2.在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题：
(1)画出一次函数的图像；
(2)此函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是________；
(3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴有一点P，使的面积等于2，则点P的坐标是________．
3.已知直线的表达式为，点，分别在轴、轴上．
(1)求出点，的坐标，并在所给图中画出直线的图象；
(2)将直线向上平移个单位得到直线，点，分别在轴、轴上．求出点，的坐标及直线的表达式，并在所给图中画出直线的图象；
(3)若点到轴的距离为，且在直线上，求的面积．
4.已知一次函数．
(1)画出函数图象，观察图象，当时，的取值范围是__________；
(2)平移上述函数的图象后经过点，求平移后的函数表达式；
(3)一次函数与、轴分别交于、两点，若一次函数的图象与线段有交点，则的取值范围是__________．
类型九、一次函数的平移问题
1.（1）点向下平移2个单位后的坐标是______；
（2）直线向右平移2个单位后的解析式是_______；
（3）已知直线交y轴于点A，交x轴于B，将直线沿x轴翻折，求翻折后的直线的解析式．
2.（1）【源于课本】
将一次函数的图象沿着轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：_____；
（2）【深入探究】
①（平移探究）将图中一次函数的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点，将它们沿着轴向右平移3个单位长度，得到点的坐标，从而求出直线对应的函数表达式为：_____；
②（轴对称探究）将图中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：_____；
3.【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动．
(1)请你完成探究活动中的相关问题．
①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________；
②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象；
③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到．
(2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到；
(3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到．
(4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹）
4.新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴不平行，点为直线外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即．
定义理解
(1)如图2，若直线的表达式为，与轴和轴分别交于，两点，求．（点为坐标原点）
(2)定义运用，如图3，将直线l：向左平移个单位长度后得到直线m：，与轴和轴分别交于，两点，当时（点O为坐标原点），求平移距离的值；
(3)定义拓展，在（2）的条件下，轴上是否存在点，使得△QAB为等腰三角形，且点关于直线的“L路径”与直线有交点．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
类型一、利用一次函数的定义求参数
1.A
解：∵函数是一次函数，
∴，
由得，或，
又∵，即，
∴，
故选：A．
2.B
∵是关于的正比例函数，
∴根据正比例函数的定义可得，
解，得，即，
由，得，
∴．
3.D
解：∵函数是一次函数，
∴需考虑的情况：
情况1：当系数时，即，函数化为，是一次函数；
情况2：当指数时，即，函数化为，是一次函数；
情况3：当指数时，即，函数化为，是一次函数；
其他情况均不满足一次函数定义；
故选：D．
4.A
【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，在函数中，的指数必须为，且系数不为零，所以且，据此求出的值．
【详解】解：函数是一次函数，
指数满足，且系数满足，
由得，，
由得，
，
故选：．
类型二、一次函数的图象和性质
1.A
解：∵一次函数解析式为，可得，．
对于A选项：∵x轴上点的纵坐标为，令，则，解得．
∴函数图象与x轴的交点坐标是，是函数与y轴的交点坐标，故A错误，符合题意．
对于B选项：当增加变为时，，因此增加时增加，故B正确，不符合题意．
对于C选项：∵，，∴函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故C正确，不符合题意．
对于D选项：∵，∴函数值随自变量的增大而增大，故D正确，不符合题意．
2.B
解：∵一次函数中，，，
∴图象经过第一、二、四象限，故A选项正确，不符合题意；
∵令，则，解得，
∴图象与x轴的交点坐标为，故B选项错误，符合题意；
∵，
∴y随x增大而减小，故C选项正确，不符合题意；
∵根据一次函数图象平移“上加下减”的规律，将的图象向上平移4个单位，可得，
∴D选项正确，不符合题意；
故选：B．
3.B
【分析】根据一次函数中k和b的意义，逐一判断选项即可得到答案．
【详解】解：对于一次函数，可得，
∵，
∴的值随值的增大而增大，A选项错误；
令，得，
∴函数图象与轴的交点坐标为，B选项正确；
∵，随的增大而增大，
∴当时，，即，C选项错误；
∵，
∴函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，D选项错误；
4.A
解：①∵当时，，
∴函数图象与轴的交点为，故①正确．
②∵一次函数中，当时，的值随值的增大而增大
∴当时，此函数随增大而增大，故②正确．
③∵当，时，一次函数图象经过第一、二、四象限，故③错误．
综上，正确的是①②．
故选A．
类型三、根据一次函数解析式判断其经过的象限
1.三
解：对于一次函数 ，
，，
图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故答案为：三．
2.三
解：∵随的增大而减小，
∴．
当时，，
∴一次函数的图象与轴交于点，位于轴正半轴上．
又∵，
∴图象经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限．
故答案为：三．
3.二
解：∵一次函数经过第一、二、四象限，
∴a<0,b>0，
∴经过第一、三、四象限，
故一定不经过第二象限．
故答案为：二
4.一
解：由方程组无解，可得，解得，
将代入可得，
则直线不经过第一象限，
故答案为：一．
类型四、已知一次函数经过的象限求参数的范围
1.
解：当，即时，此时为直线，
此时直线经过一、二象限，与轴平行；
当，该函数为一次函数，
∵直线不经过第四象限，
∴直线经过一、二、三象限，
∴，
∴；
综上，的取值范围为，
故答案为：．
2.
解：一次函数的图像不经过第二象限，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式的解集为：．
故答案为：．
3.
解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴，解得；
故答案为：．
4. 或
解：（1）∵，
∴当时，，
∴直线恒过点，
故答案为：；
（2）∵直线与线段没有交点，
∴直线在点B上方或直线在点C下方，
当直线过B点时，
则，解得，
当直线过C点时，
则，解得，
∴或．
故答案为：或．
类型五、利用一次函数的增减性比较函数值的大小
1.
解：由题可知，一次函数，，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：<．
2.
解：一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，
，且，
则一次函数的函数值随的增大而减小，
由点和在函数图象上，且，可得，
故答案为：．
3.
解：∵，
∴，
即随的增大而增大．
∵，
所以．
故答案为：．
4.
解：∵ 一次函数 的系数 ，
∴ 随 的增大而减小，
∵ 点 和点 在函数图象上，且 ，
∴ ．
故答案为：．
类型六、根据一次函数的增减性求参数
1.】
解：∵一次函数的值随x值的增大而减小，
∴，
∴，
故答案为：．
2.0（答案不唯一）
解：∵，，
∴，
解得．
故答案为（答案不唯一）．
3.（答案不唯一）
解：∵时，有，
∴一次函数的随的增大而减小，
∴，
解得，
故答案可为：（答案不唯一）．
4.1或
解：当时，y随x的增大而增大，
∵当时，y的最大值为6，
∴在处取得最大值，代入得，解得；
当时，y随x的增大而减小，
∵当时，y的最大值为6，
∴在处取得最大值，代入得，解得，
故答案为：1或．
类型七、一次函数图象与坐标轴的交点问题
1. 三
解：与 轴交点：令 ，得 ，解得 ，坐标为 ；
与轴交点：令 ，得 ，坐标为；
由于一次函数中 ，，图象经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限．
故答案为： ，，三．
2.
解：对于一次函数，
当时，，所以点的坐标为，
当时，，解得：，所以点的坐标为，
点与点之间的距离公式为．
故答案为：．
3.
解：当时，，
点的坐标为，
；
当时，，
解得：，
点的坐标为，
．
在中，，，，
．
由折叠得：，．
设点的坐标为，则．
在中，，，，，
，
即，
解得，
点的坐标为．
故答案为：．
4.
解：如图，过作于点，连接，
由垂线段最短可得，即为线段的最小值，
∵直线 与轴、轴分别交于点，，
∴当时，，当时，，
∴，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴线段的最小值为，
故答案为：．
类型八、画一次函数的图象
1.（1）解：函数的图象，如图所示，
；
（2）解：当时，，解得，
∴点坐标为；
当时，，
∴点坐标为；
（3）解：∵，，
∴．
2.（1）解：令，解得，令，则，
一次函数的图像如图：
（2）解：令，解得，令，则，
直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为，
函数图像与坐标轴围成的三角形的面积是；
故答案为：4；
（3）解：将直线沿y轴向下平移3个单位长度，得，即，
令，则，解得；令，则；
，，
设点P的坐标是，
由题意得，
解得或，
∴点P的坐标是或．
3.（1）解：对于，当时，，
当时，，
∴点的坐标为，点的坐标为直线如图所示：
（2）解：对于直线，向上平移个单位得：，即直线的关系式为：，
对于，当时，，当时，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
直线如图所示：
（3）解：∵点在直线上，∴可设点的坐标为，
∵点到轴的距离为，
∴，解得，，
此时点的坐标为，，
①当点的坐标为时，如图所示：
；
②当点的坐标为时，如图所示：
∴．
综上所述：的面积为或．
4.（1）解：
函数图象如图所示：
，
∴观察图象，当时，的取值范围为．
（2）∵设平移后的函数表达式为，
将代入得：，
∴．
∴平移后的直线函数表达式为．
（3）∵一次函数与、轴分别交于、两点，
∴当时，，即,
当时，，即．
∵把代入，即，
把代入，不成立，
又∵的图象恒过，在上方，
∴的图象与线段AB有交点时，的取值范围为．
类型九、一次函数的平移问题
1.解：（1）由题意：点向下平移2个单位后的坐标是，即：；
（2）直线向右平移2个单位后的解析式是；
故答案为：；
（3）∵，
∴当时，，当，，
∴，，
∴点关于x轴的对称点为，
∵翻折，
∴翻折后的直线经过，，
设直线的解析式为：，把代入，得：，解得：；
∴．
2.解：（1）由平移的性质知，平移后的函数表达式为：，
故答案为：；
（2）①一次函数的图象沿着轴向右平移3个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式为：，
图象的平移就是点的平移，
直线对应的函数表达式为；
②一次函数的图象关于轴对称，
函数上的点的坐标横坐标为相反数，纵坐标相等，
将x替换为，，
故答案为：．
3.（1）解：①根据“上加下减”的平移规律，直线向上平移4个单位，得；
故答案为：；
②当时，；当时，，
过点，作直线，即为直线：的图象，如图所示：
③∵直线与轴的交点是，与轴的交点是，将点向左平移2个单位得到，
∴直线可以看作由的图象向左平移2个单位得到．
故答案为：左，2；
（2）解：令，解得，
∴直线与轴的交点坐标为．
将向下平移3个单位，得到．
令，解得，
∴直线与轴的交点坐标为．
∵将点向左平移9个单位得到，
∴直线相当于将向左平移9个单位得到．
故答案为：左，9；
（3）解：同理，直线与轴的交点是．
直线向下平移个单位后的函数为，
令，得，解得，
∴新交点为．
∵，即点向右平移个单位得到，
∴将向下平移个单位，相当于将向右平移个单位得到．
故答案为：右，；
（4）解：如图所示：
4.（1）把代入得：，
把代入得：，解得，
、，
，，
；
（2）把代入得：，
把代入得：，解得，
、，
，，
，
，
解得：；
（3），
、，
根据勾股定理可得：，
点Q在y轴上，共分为三种情况：
第一种情况，当时，
或，
点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符合题意，
即只有符合题意；
第二种情况，当时，
，
，
；
第三种情况，当时，
设，
，
根据勾股定理可得：，
则，
解得：，
；
综上所述，存在，点的坐标为或或．

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