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全国（通用版）2026年中考第一次模拟考试数学卷A
（时间：120分钟 满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，的相反数是（ ）
A．2026 B． C． D．
2．博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A． B．且 C． D．且
7．如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连接与相交于点F，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C．点D为弦中点 D．点E为劣弧的中点
9．在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图，有下列个结论：①；②；③；④直线经过点，则关于的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．使有意义的x的取值范围是______．
12．若，是方程的两个实数根，则的值为______．
13．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是_____
14．如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是，测得这栋楼的底部B处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是36米；那么这栋楼的高度是______米（精确到0.01米）．（参考数据：，，，）
15．在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成米的地铁轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装米，结果提前6天完成了安装任务，设施工队原计划每天安装米，根据题意可列方程为______．
16．如图，在等边三角形中，，点D在上，，E是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角三角形，当的长为整数时，的面积为________．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
18．按要求完成下列各题：
(1)计算：；
(2)先化简，再求值：，其中．
19．如图，在菱形中，，，，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)菱形的对角线与相交于点，将菱形向右平移，当点恰好在反比例函数的图象上时，求扫过的面积．
20．如图，时代，万物互联、互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，为了保证信号通畅，某通信公司在某山上建设基站．已知斜坡的坡度为（即），点处的通讯塔垂直于水平地面，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，斜坡路段长米．
(1)填空：______；
(2)点处到水平地面的距离为______米；
(3)求通讯塔的高度（结果保留根号）．（参考数据：）
21．为弘扬中华优秀传统文化，某区准备在全区初中举行唐诗诵读比赛．某校七（1）、（2）两个班各有学生50人，学校要在这两个班中挑选一个班代表学校参加今年的比赛，为了了解这两个班唐诗诵读情况，现对这两个班的学生进行唐诗诵读测试，并各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据：
七（1）班：65，75，75，90，60，50，75，90，85，65；
七（2）班：90，55，80，70，55，70，95，80，65，70.
整理数据：
七（1）班 1 3 3 1 2
七（2）班 2 1 m 2 n
分析数据：
平均数 中位数 众数
七（1）班 73 x 75
七（2）班 73 70 y
应用数据：
(1)表中______， ______， ________， ________；
(2)若规定测试成绩在80分（含80分）以上的学生唐诗诵读为优秀，请估计七（2）班50名学生中唐诗诵读为优秀的学生人数；
(3)如果选取了一个班级参加区里组织的比赛，你建议选择七（1）班还是七（2）班，并说明理由．
22．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量y/件 … 36 34 32 …
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
(3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
23．如图，中，，平分交于点D，交于点E，以为直径作．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的条件下直接写出阴影部分的面积．
24．在矩形中，E是边上一点，以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接．
【特例发现】
（1）如图1，当时，________；
【类比探究】
（2）如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接AE，当时，求的值；
【拓展运用】
（3）如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D，G，F三点共线．若，，请直接写出的长．
25．新定义
【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ．
【思考与探究】
（2）设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；
②如图（2），在①的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当时，求点P的坐标
③在①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点， ，请直接写出的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了相反数的定义．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解．
【详解】解：的相反数是，
故选：A．
2．D
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意．
故选：D．
3．C
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：3370万．
故选：．
4．D
【分析】本题考查了同底数幂的乘除，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除，积的乘方，完全平方公式法则逐项计算判断即可．
【详解】解：A、，原选项运算错误，不符合题意；
B、，原选项运算错误，不符合题意；
C、，原选项运算错误，不符合题意；
D、，原选项运算正确，符合题意；
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得出，再根据平角的定义即可得出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，需满足判别式大于零且二次项系数不为零，需注意二次项系数不为零的条件．
【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴，
解得：，
∴k的取值范围且，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．
证明，再结合平行四边形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∵平行四边形，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8．D
【分析】本题考查了角平分线的作图、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据作图推出，得出，即可作答．
【详解】解：由作图可知，
∴，即点为劣弧的中点．
故选：D．
9．D
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的性质．分和两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
【详解】解：时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合；
时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项D符合．
故选：D．
10．B
【分析】由题意得，，，即可判断①；图象与轴有两个交点，即对应的一元二次方程有两个不等实数根，可判断②；由二次函数对称性得到与轴另一个交点的坐标，代入二次函数解析式可判断③；由直线推得其一定经过点，由图象可判断④．
【详解】解：依题得：图象开口向下，即，
当时，，
对称轴为直线，则，
，
，①正确；
二次函数图象与轴有两个交点，
有两个不等实数根，
，②错误；
二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线，
另一个交点坐标为，
，
即，
，
，
即，③正确；
，
直线经过点，
又直线经过点，如下图，
关于的不等式，即的解集是，④正确．
综上，正确结论的个数为．
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性，二次函数与不等式，解题关键是运用数形结合思想解题．
11．
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，关键在于根据题意推出，然后正确的解不等式即可．
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可解答．
【详解】解：∵有意义，
∴，
即．
故答案为：．
12．7
【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键．
利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴
．
故答案为：7．
13．
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
美 丽 山 河
美 （美，丽） （美，山） （美，河）
丽 （丽，美） （丽，山） （丽，河）
山 （山，美） （山，丽） （山，河）
河 （河，美） （河，丽） （河，山）
共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果有：（丽，山），（山，丽），共2种，
∴这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率为．
故答案为：．
14．89.28
【分析】本题考查解直角三角形的应用，作，分别解和，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可．
【详解】解：作，由题意，米，
在中，米，
在中，米，
∴；
故这栋楼的高度是89.28米；
故答案为：89.28．
15．
【分析】本题主要考查了列分式方程，找出等量关系，是解题的关键．根据题意，原计划总时间为天，实际前3天安装米，剩余米以每天米的速度安装，剩余时间为天，实际总时间为天，由于提前6天完成，根据原计划时间等于实际时间加提前时间，列出方程即可．
【详解】解：设施工队原计划每天安装米，改进技术后每天安装米，根据题意得： ．
故答案为：．
16．1或或4
【分析】本题考查了等边三角形和直角三角形的性质，动点问题．解题的关键是添加辅助线和确定的取值范围．过点D作于点G，连接，利用“直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半”求出的长度，再利用勾股定理求出、的长度，然后确定的取值范围，继而确定的整数值，最后求出的面积．
【详解】解：如图，过点D作于点G，连接，
在等边三角形中，，，
，
，，
，
，，
，
，
由题意知，当点E在点G处时，的长最小，当点E在点B处时，的长最大，
，
，，的长为整数，
的长为2或3或4，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，
，
的面积为1或或4．
故答案为：1或或4．
17．（1）；（2）
【分析】本题考查解分式方程以及解一元一次不等式组．熟练掌握解分式方程的步骤和确定一元一次不等式组的解集的方法是解题的关键．
（1）利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化，检验，解分式方程即可；
（2）分别解两个一元一次不等式，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】解：（1）
经检验，是原方程的解；
解：（2），
由①得，
由②得，
不等式组的解集是．
18．(1)
(2)，
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，结合二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答．
（2）先把除法化为乘法，运算乘法，再运算减法，得，最后把代入计算，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
把代入，得．
19．(1)
(2)
【分析】（1）过点作轴于点，如图，根据两点间的距离公式得到，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，得到，把点代入即可得到结论；
（2）设菱形向右平移个单位长度，此时，由在反比例函数的图象上．得到，根据梯形的面积公式即可得到结论．
本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，梯形的面积的计算，勾股定理，两点间的距离，熟练掌握各知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：过点作轴于点，如图，
，，，
菱形中，，
，，
，
，
，
，
，
，
点在反比例函数的图象上．
，
反比例函数的表达式为；
（2）∵菱形，
∴，
又∵，，
∴，即
设菱形向右平移个单位长度，此时，
在反比例函数的图象上．
，
解得．
，，
平移后的坐标为，，
如图，
扫过的面积梯形的面积．
20．(1)
(2)13
(3)通讯塔的高度米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键．
（1）根据在处测得塔顶的仰角为可得；
（2）作，由题意得，据此即可求解；
（3）作于点，作于点，设，则，，分别求出即可求解．
【详解】（1）解：∵在处测得塔顶的仰角为，
∴；
（2）解：作，如图所示：
∵
∴
∴
∵米
∴米；
（3）解：作于点，作于点，
，即，
则米，
米，
设，则，，
由题意知，
，
，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
，
，米，
米，
米，
米，
答：通讯塔的高度米．
21．(1)3，2，75，70
(2)20人
(3)七（1）班，理由见解析
【分析】本题考查了频数分布表、用样本估计总体以及众数、中位数的应用，掌握用样本估计总体及众数、中位数求法是解题的关键．
（1）根据抽取的七（2）班的成绩分别得出m、n的值，再根据中位数及众数定义求出x、y值即可；
（2）由七（2）班的总人数乘以抽取的10名学生成绩中成绩在80分（含80分）以上人数所占的百分比即可得；
（3）根据所抽取人数的成绩的平均数、中位数及众数比较可得．
【详解】（1）解：由题意得：七（2）班抽取的10名学生成绩在的有3个，
∴；
成绩在的有2个，
∴；
将七（1）班抽取的10名学生成绩按从小到大顺序排列：50，60，65，65，75，75，75，85，90， 90；
∴七（1）班抽取的10名学生成绩的中位数是分；
七（2）班抽取的10名学生成绩中出现次数最多的数是70，
故七（2）班抽取的10名学生成绩的众数是分；
（2）解：∵七（2）班抽取的10名学生成绩中成绩在80分（含80分）以上的有4人，
∴估计七（2）班50名学生中唐诗诵读为优秀的学生人数为人；
（3）解：建议选择七（1）班，理由如下：
∵两个班各抽取的10名学生成绩中，平均数相等，七（1）班成绩的中位数及众数均高于七（2）班，
∴建议选择七（1）班．
22．(1)
(2)销售单价应为18元
(3)当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）根据题意列出方程，解方程即可求解；
（3）根据题意求出与之间的二次函数关系式，根据二次函数的性质解答即可求解；
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
把和代入得，，
解得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：由题意得，，
整理得，，
解得：，
，
，
答：销售单价为18元；
（3）解：由题意得，，
，
∴当时，的值最大，，
答：当单价为19元时，每天获利最大，最大利润为198元．
23．(1)见解析
(2)2
(3)
【分析】（1）首先得点D在上，连接，则由得，由平分可得，进而得，即可得证；
（2）由勾股定理求得的长，由余弦函数求得，进而得，在中，由余弦关系求得，在中，由余弦关系求得，由可求解；
（3）易得及圆的半径，再求出，则阴影部分面积为的面积减去扇形的面积即可，
【详解】（1）证明：∵，以为直径作，
∴点D在上，
如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：在中，由勾股定理，得，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴；
（3）解：如图，∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴阴影部分面积为．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，三角函数，等边对等角，扇形面积等知识，证明切线是解题的关键．
24．（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）延长交于，等腰三角形的判定及性质得，由勾股定理得，即可求解；
（2）连接、，结合矩形的性质和相似三角形的判定方法得， ，由相似三角形的性质得即可求解；
（3）设，，，则，，相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，求出的值，由勾股定理得，再判定，结合相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图，延长交于，
，
，，
四边形、是正方形，
是正方形的对角线，
是正方形的对角线，
、、三点共线，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为．
（2）解：连接、，
四边形和四边形都是矩形，
，
，
，
，
，
∵，，
∴，，
，
，
．
（3）解： ，，
设，，，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质；能熟练利用勾股定理、相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键．
25．（1）3，；（2）①；②P点坐标为或；③或
【分析】本题主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键．
（1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可；
（2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解；②先求出的坐标，设点，如图，过点P作于点H，则，根据，可得，求解即可；③根据题意得出顶点坐标在图象上滑动，然后分情况分析即可得出结果．
【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
∴点在的伴随抛物线上，
代入得：，，
解得：，，
故答案为：2；；
（2）①，
∴顶点坐标为：，
∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴，
整理得：，
∴；
②由①得：函数的图象为抛物线，
令，
解得：或，
∴，
将代入，则，
∴，
令，
解得：或，
∵轴，
∴，
设点，
如图，过点P作于点H，
则，
∵，
∴，
∴，
当时，即，
解得：（舍去）或；
∴，
∴；
当时，即，
解得：（舍去）或；
∴，
∴；
综上，当时，点P的坐标为或；
③∵与x轴有两个不同的交点，，
由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴顶点坐标在图象上滑动，
顶点为，
当时，
解得：或，
抛物线与x轴交两个点，
当顶点在下方时，抛物线有两个交点，，
∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
∴在 上，
当顶点在下方时，；
综上可得：或．

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