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23.3 一次函数与方程（组）、不等式
一、单选题
1．由于直线与平行，则方程组的解的情况是（ ）
A．有唯一解 B．无解 C．无数解 D．有限解
2．如图，已知一次函数为常数，且的图象与轴、轴分别交于点，，有下列结论：
①图象经过点；
②关于的方程的解为；
③关于的方程的解为；
④当时；
其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．如图是函数与的图象，下列结论正确的是（ ）
A．关于x的方程的解为
B．关于x的方程组的解为
C．关于x的不等式的解集为
D．当时，
4．已知函数的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（ ）
A．点A的坐标为 B．直线的解析式为
C．不等式的解集为 D．当时，y随x的增大而减小
二、填空题
5．如图，已知函数和的图象交于点P，根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是______
6．一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为______．
7．如图，已知一次函数与图象的交点坐标为，现有下列四个结论：①；；②方程的解是；③；④若，则；其中正确的结论是 _______ （填写序号）．
8．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
(1)的值为___________；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，请写出的取值范围___________．
三、解答题
9.人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买A、B两种型号的机器人模型共40个，A型、B型机器人模型的单价分别为400元/个、240元/个．设学校购买A型机器人个，购买这两种机器人模型共花费元．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，问购买A型机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少？
10.学校准备购进一批节能灯，已知只型节能灯和只型节能灯共需元；只型节能灯和只型节能灯共需元．
(1)求一只型节能灯和一只型节能灯的售价各是多少元；
(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共只，并且型节能灯的数量不多于型节能灯数量的倍，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
11.在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题：
(1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ；
(2)求关于x的不等式组的解集．
12.如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C．
(1)求k，b的值；
(2)关于x，y的方程组的解为 ；
(3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长．
13.定义运算：当时 ，； 当时 ，．如： ，，．根据该定义运算完成下列问题：
(1)__________，当时，__________；
(2)若，求的取值范围；
(3)如图，已知直线与相交于点，若 ，结合图象，直接写出的取值范围是__________．
14.某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题．
(1)作出函数的图象．
①列表：
x … 0 1 …
y … 0 m 2 1 0 …
其中，表格中m的值为________；
②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点；
③连线：画出该函数的图象．
(2)观察函数的图象，回答下列问题：
①当________时，函数有最大值，最大值为________；
②方程的解是________．
(3)已知直线y= x-，请结合图象，直接写出满足不等式的x的取值范围________．
15.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数展开探索，请补充完整以下探索过程：
(1)列表：
0 2 4 6 8
5 2 5
直接写出的值，______，______．
(2)在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象．
(3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式的解集为______．
16.我们已经学过一次函数，下面我们参照学习一次函数的过程与方法，探究函数的图像与性质．
【操作发现】
（1）下表是该函数部分的对应值，请在直角坐标系中画出函数的图像．
…… 0 1 2 ……
…… 6 4 2 0 2 4 6 ……
结合函数图像，下列说法错误的是：____________；（填写序号）
①函数有最小值，没有最大值；
②当时，随的增大而减小；
③图像为轴对称图形；
④直线与图像有两个交点．
【尝试应用】
（2）在（1）的条件下，当函数值时，自变量的取值范围为_____________________；
【拓展提高】
（3）①若关于的方程有两个不同的解，请求出的取值范围．
②将函数图像进行平移后得到新函数，新函数的图像记为，直线与交于、（点在点左侧）两点，轴上是否存在一点使得的周长最小，若存在，请求出的周长，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题
1．B
解：∵直线与平行，两直线没有交点
∴方程组无解
故选：B．
2．C
解：由图象知，当时，函数值为正，即当时，函数值为正，不可能为，故①错误；
由图象知，当时，故④正确；
直线与x轴交于点，即关于的方程的解为，故②正确；
直线与y轴交于点，关于的方程的解为，故③正确；
所以正确的结论有②③④3个．
3．B
解：A、由图象可知，两直线的交点坐标为，故关于x的方程的解为，故该选项不符合题意；
B、关于x的方程组的解为，故该选项符合题意；
C、由函数图象可知，当时，函数的图象在函数图象的下方，即，
∴关于的不等式的解集为，故该选项不符合题意；
D、由函数图象可知，当时，函数的图象在函数图象的上方，即，
∴当时，，故该选项不符合题意；
故选：B．
4．B
解：当时，，令，则，解得：；
当时，，则；
当时，，令，则，解得；
A、当时，，则，解得，则，故此项错误，不符合题意；
B、当时，，即直线的解析式为，故此项正确，符合题意；
C、不等式的解集为，故此项错误，不符合题意；
D、当时，y随x的增大而减小，故此项错误，不符合题意．
二、填空题
5．
解：将代入得：，
即，
∵函数和的图象交于点P，
∴关于x，y的二元一次方程组即的解是．
故答案为：．
6．
解：不等式组的解集由图像可知满足且，
即直线在下方且在x轴上方部分对应的自变量取值，即．
故答案为：．
7．②④
解：一次函数的图象经过第一、三象限，
，
一次函数经过第一、三象限，与轴的交点在轴的负半轴上，
，，
，所以①错误；
一次函数与图象的交点坐标为，
时，，
即方程的解是，所以②正确；
当时，，即，
即，所以③错误；
把代入得，
解得，
一次函数的解析式为，
一次函数与轴的交点坐标为，，
当时，，所以④正确．
故答案为：②④．
8．(1)1 (2)
（1）解：函数经过点和，
代入得方程组：，
解得：，，
，
故答案为：1；
（2）解：由（1）知，，
即，
即，
对于，有且，
即且，
当，恒成立，且对于恒成立，故成立，
当时，需且对于恒成立，故需且，解得，即，
当时，，不等式可化为，
要使该不等式对任意都成立是不可能的，故不符合题意，
综上，m的取值范围为．
三、解答题
9.（1）解：购买A型机器人个，则购买B型机器人个，
根据题意，得，
∴与之间的函数关系式为．
（2）解：根据题意，得，解得，
在中，，
∴随的增大而增大，
∴当时，值最小，
此时．
答：购买A型机器人10个时花费最少，最少费用为11200元．
10.（1）解：设一只型节能灯的售价是元，一只型节能灯的售价是元
依题意得，解得
所以一只型节能灯的售价是元，一只型节能灯的售价是元
（2）解：设购进型节能灯只，总费用为元，
依题意得，
因，当取最大值时有最小值
，解得
而为整数，当时，最小
此时
所以最省钱的购买方案是购进型节能灯只，型节能灯只
11.（1）解：∵一次函数与x轴交于点，
∴当时，，
∴关于x的方程的解是，
观察图象得：当时，函数的图象在x轴的下方，
即关于x的不等式的解集为；
故答案为：，；
（2）解：根据图象得，当时，一次函数和的图象均在x轴的上方，
∴关于x的不等式组的解集为．
12.（1）解：∵直线与x轴交于点，
∴，解得：，
∵直线与y轴交于点，
∴，
解得：；
（2）解：由题意，结合（1）联立方程组，
解得：，
∴方程组的解为．
（3）解：由题意，∵直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，
∴令，则；，则，
故直线被，所截得的线段长为；
令，则；，则，
故直线被，所截得的线段长为；
答：直线被，所截得的线段长为3或9．
13.（1）解：根据题意得，，当时，，
故答案为：，；
（2）解：由题意得：，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴，
由图象得，当时，，
∴的取值范围是．
故答案为：．
14.（1）解：当时，，
．
函数图象如图所示．
故答案为：1；
（2）观察函数的图象，
①当时，函数有最大值，最大值为2；
②方程的解是或2．
故答案为：，或2；
（3）画出直线y= x-如图，
观察图象，不等式的的取值范围是；
故答案为：．
15.（1）把，代入中得：，
，
当时，，
．
（2）描点连线，如下图所示，
（3）由图象可得，
不等式，即的图象在的上方，
解集为或．
16.解：（1）画出函数的图像如下：
结合函数图像，函数有最小值，没有最大值，故①正确；
当时，随的增大而增大，故②错误；
图像为轴对称图形，故③正确；
直线与图像有两个交点，故④正确；
∴说法错误的是②；
（2）由图像得，当或时，函数值，
∴当函数值时，自变量的取值范围为或；
故答案为：或；
（3）①如图，作直线，
∵关于的方程有两个不同的解，
∴直线与函数的图像有2个交点，
当直线经过点时，则，解得，
∴的取值范围为；
②联立，
解得或，
∴，，
∴；
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
则，，
∴，
∵的周长，
∴当三点共线时，的周长有最小值，最小值为，
∴综上，存在，的周长为．

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