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全国（通用版）2026年中考第一次模拟考试数学卷B
（时间：120分钟 满分：120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．某市某日的气温是－2℃~6℃，则该日的温差是（ ）
A．8℃ B．6℃ C．4℃ D．－2℃
2．熔喷布，俗称口罩的“心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播．经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000156米，将0.000156用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．擎檐柱是术结构建筑用以支撑屋面出檐的柱子，多用于重檐或重檐带平座的建筑物上，用来支撑挑出较长的屋檐及角梁翼角等，如图1的晋商博物馆大门有若干根擎檐柱．如图2是一根擎檐柱的结构图，它是由－根圆柱形柱子中间挖去一个柱体后形成的，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．若是非负整数，则表示的值的点落在如图所示的数轴上的范围是（ ）
A．① B．② C．③ D．以上都有可能
6．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，直线与交于点O，点A，B，C，D，O都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
7．在反比例函数中，当时，随的增大而减小，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．3
8．如图，点，，，点为线段的中点，以点为圆心，为半径作⊙，则下列结论中正确的是（ ）
A．与⊙相切 B．点在⊙上 C．点在⊙上 D．点在⊙上
9．某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论：
①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个；
②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元；
③宾馆每天的最大利润为12250元．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式的结果是______．
12．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若，则的度数为_______．
13．有四张完全一样正面分别写有数字，0，1，2的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是_________．
14．如图，四边形内接于，，连接、，则____．
15．如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝4cm，点D是斜边AB上的中点，把△ADC沿着AB方向平移1cm得△EFP，EP与FP分别交边BC于点H和点G，则GH＝______．
16．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为______．
①函数是“倍值函数”；
②函数的图象上的“倍值点”是和；
③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是；
④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：
（2）解不等式组：
18．为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下：
1分钟的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1分钟的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次；
(2)补全频数分布直方图；
(3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数．
19．某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同．
(1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？
(2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案．
20．五月，一年中最美时节，阳光柔软，微风不燥．周日上午，小嘉和爸爸妈妈一起去观云湖湿地公园游玩．如图，小嘉和妈妈在公园大门A处下车，小嘉和妈妈下车后立即沿湖边栈道步行前往观景平台D．同时爸爸沿正西方向行驶到公园停车场B，在停车场停好车后，踏上湖边栈道，步行去观景平台D与小嘉她们汇合．已知：点C在大门A的北偏西方向，距离400米．观景平台D在点C的北偏东方向，距离米，停车场B在观景平台D的东南方向．
（参考数据：，）
(1)求A与B之间的距离；（结果保留根号）
(2)小嘉和妈妈步行的平均速度为50米/分钟，若爸爸步行的平均速度为70米/分钟，爸爸能否比小嘉和妈妈先到达平台D？（结果保留一位小数）
21．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
22．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接 的面积为5．
(1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；
(2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
24．已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线．
(1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F．
①如图1，当点P与点O重合时，求证：；
②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
(2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）．
参考答案：
1．A
【详解】试题分析：认真阅读列出正确的算式，温差就是用最高温度减最低温度，列式计算．
解：该日的温差=6-（-2）=6+2=8（）
故选A．
考点：有理数的减法．
2．C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000156用科学记数法可表示为1.56×10﹣4．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．C
【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确，
【详解】解：A、，A错误．
B、和不是同类二次根式，， B错误．
C、， C正确．
D、， D错误．
故选C
4．D
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在左视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．
【详解】解：从左面看，是一个矩形，并且中间的凹槽看不见，要用虚线表示，
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
5．B
【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式的运算方法是解题的关键；
对题干给出的式子进行化简，再根据x的范围判断化简结果的范围即可得知原式的范围．
【详解】解：原式
∴原式的值为1
观察数轴可知1在范围②内；
故选：B ．
6．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点O作于点E，交过点B的平行线于点F，与中间两条平行线分别相交于点G和H，根据题意得到，利用相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：如图，过点O作于点E，交过点B的平行线于点F，与中间两条平行线分别相交于点G和H，
根据题意，设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式．结合反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式确定的取值范围，再找出符合条件的整数并求和，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数中，当时，随的增大而减小
∴
∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴
即
解得
∴
又∵为整数
∴可取1，2，3
∴满足条件的整数的值之和为
故选：B．
8．A
【分析】本题考查点、直线与圆的位置关系，熟练掌握点、直线与圆的位置关系的判断方法是解题的关键．
根据两点间距离公式计算出、、的距离，分别与半径相比较，得出点是否在圆上；根据圆心到直线的距离等于半径，判断直线与相切即可．
【详解】解：由于点，，点为线段的中点，
那么点的坐标为，直线方程为：，
选项A、过点作于点，由题意得，，设，则，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
则，解得，
，即长等于半径，
则与相切，故结论正确；
选项B、，则点在外，故结论错误；
选项C、，则点在外，故结论错误；
选项D、，则点在外，故结论错误；
故选：A．
9．B
【分析】根据每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲列式即可判断①；
设定价增加元，则定价为元，房间数为个，根据题意列出方程求解即可；设利润为w，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】结论①：定价增加30元，即定价为元，
每增加10元，空闲房间数增加1个，
故增加30元对应空闲3个，居住房间数为个，故①结论正确；
结论②：设定价增加元，则定价为元，房间数为个．
根据题意得，
解得或．
当时，对应定价为元（超过360元上限），
∴，故②结论错误；
结论③：设利润为w，根据题意得，
∵
∴抛物线开口向下，对称轴为，
∵
∴
∴当，
∴最大利润为：元，故③结论错误．
综上，仅结论①正确，正确个数为1．
选B．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，有理数运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握以上知识点．
10．D
【分析】由菱形的性质得出，，进而可求出，由含30度直角三角形的性质得出，结合已知条件即可判定①．根据相似三角形的判定和性质即可判定②．证明是等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由相似三角形的性质进而可判定③，过点H作与点Q，通过解直角三角形求出，，再求出，最后再根据正切的定义求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴，
又，
∴四边形为平行四边形，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
如下图，过点H作与点Q，
设菱形的边长为，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，故④正确，
故选D
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形的相关计算，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握这些知识是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12．
【分析】先根据余角的定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵直尺的两边互相平行，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平角的定义，属于基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
13．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及积为负数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字之积分别为：0，，，0，0，0，，0，2，，0，2，
其中抽取的两张卡片上的数字之积为负数的结果有4种，
∴抽取的两张卡片上的数字之积为负数的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．140
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出．
【详解】解：四边形内接于，
，
，
由圆周角定理得：，
故答案为：140．
15．
【详解】试题分析：因为Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝4cm
所以
因为点D是斜边AB上的中点
所以
因为△ADC沿着AB方向平移1cm得△EFP
所以
所以DE=2，四边形CDFP是矩形
所以
考点：平移变换
点评：物体有两种基本的变换形式，平移变换和旋转变换．该部分内容属于基础题，但是一定要注意平移的过程中，图形上的每个点都进行了相同的变化．
16．①③④
【分析】本题考查了新定义问题，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值问题．根据“倍值函数”的定义，逐一判断即可．
【详解】解：①函数中，令，则，无解，故函数不是“倍值函数”，故①说法错误；
②函数中，令，则，
解得或，
经检验或都是原方程的解，
故函数的图象上的“倍值点”是和，故②说法正确；
③在中，
令，则，
整理得，
∵关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，
∴且，
解得且，故③说法错误；
④在中，
令，则，
整理得，
∵该函数的图象上存在唯一的“倍值点”，
∴，
整理得，
∴对称轴为，此时n的最小值为，
根据题意分类讨论，
，解得；
，无解；
，解得或（舍去），
综上，k的值为0或，故④说法错误；
故答案为：①③④．
17．（1）7；（2）
【分析】本题主要考查有理数的乘方，零次幂、负整数指数幂，绝对值及一元一次不等式组的解法，熟练掌握运算法则、及一元一次不等式组的解法是解题的关键；
（1）分别计算有理数的乘方、负整数指数幂，绝对值，最后再计算加减即可求得答案；；
（2）利用一元一次不等式组的解法可进行求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
由①可得：
由②可得：；
∴原不等式组的解集为．
18．(1)105；110
(2)图象见解析
(3)480
【分析】本题考查统计图的分析和统计量的计算，找到题目对应的数据并正确运用统计量的概念求解是解题关键．
（1）根据众数和中位数的概念求解即可；
（2）先计算所给的数据的样本个数，再通过样本总量，减去频数分布直方图中其他组的样本个数和这一组的样本个数，得到这一组的样本个数，以此补全频数分布直方图即可；
（3）先计算样本中1分钟的跳绳次数不低于120次的人数，再通过样本占总体的比例，求出该校学生中对应的人数即可．
【详解】（1）解：由题中数据，可知105共出现三次，出现频数最高，为众数；
中共有15个样本，故从小到大排列第8个数即为中位数，故中位数为110，
故答案为：105，110；
（2）解：由图可知，这一组共有5个样本，这一组共有8个样本，这一组共有2个样本，
由（1），可知这一组共有15个样本，
由题意可知，样本总量为50，
故这一组共有个样本，
补全频数分布直方图如下：
（3）解：由（2）可知，随机抽取的50名学生中共有名学生1分钟跳绳次数不低于120次，
∴（人）
故估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数为480．
19．(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元
(2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
（1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元；
（2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台，
根据题意得：，
解得：，
设购买成本为万元，
根据题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值，
此时，，
答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台．
20．(1)
(2)爸爸不能比小嘉和妈妈先到达平台D，理由见解析
【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键：
（1）如图，过作于，过作于，过作于，再利用，，，利用三角函数解答即可；
（2）分别计算小嘉和妈妈步行的时间与爸爸步行的时间，再比较即可.
【详解】（1）解：如图，过作于，过作于，过作于，
结合题意可得：四边形是矩形，
∴，，
在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴，，
在中，，
∴，
∴.
（2）解：由题意可得：，
∴小嘉和妈妈步行的时间为（分钟），
在中，，，
∴，
∴爸爸步行的时间为（分钟）；
∴爸爸b不能比小嘉和妈妈先到达平台D.
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
是的直径，
，
，
又，
，
又．
，即，
是的切线；
（2）解：，，
，
在中，，，
，则，
，
，，
，
，
设，则，，
，即，
解得或（舍去），
．
22．(1)，反比例函数解析式为
(2)点坐标为或或或
【分析】本题主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）先求出点值，可得点坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得坐标；
（2）先求出点坐标，进而分类讨论很容易求出点坐标．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得：，
∴正比例函数表达式为，
，
∴反比例函数解析式为，
∵点关于原点对称，
，
综上，，反比例函数解析式为；
（2）解：过作轴，交于点，
设，则，
，
，
解得：或（舍去），
，
则，
当为菱形的边时，有如下三种情况：
①如图，点在点左侧，
此时轴，且，
；
②如图，此点在点右侧，
此时轴，且，
；
③如图，为对角线，
此时点与点关于轴对称，则；
当为菱形的对角线时，如下有一种情况：
过作轴于点，
设，则，
在中，，
解得，
，
，
综上，点坐标为或或或．
23．(1)①,；②；③
(2)
【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；
②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可．
【详解】（1）（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
图1
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．
（2）的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴ ，
解得，
代入，得．
所以的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．
24．(1)①证明见解析
②为定值，该定值为
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、正方形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）①过点P作、，根据四边形是正方形得到，证四边形是矩形，又得到，进而证明四边形是正方形，利用角度关系得到，证出，根据全等三角形的性质得到即可；
②过点P作、，根据①可得到，根据，证得并且，利用相似三角形的性质得到，最后进行面积转化得到定值即可；
（2）过点P作、，连接，易证得，根据相似三角形的性质得到，再证，根据相似三角形的性质，同理可得，进而得到，是等腰直角三角形，根据三角形面积公式进行求解即可．
【详解】（1）①证明：过点P作、，如图所示：
则
四边形是正方形
四边形是矩形
在中，
四边形是正方形
，
；
②过点P作、，如图所示：
由①可知四边形是正方形
、
故 为定值，该定值为；
（2）解：过点P作、，连接，如图所示：
四边形是正方形
射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F
、
同理可得
是等腰直角三角形
在中，
由勾股定理得
．
答：四边形的面积为．

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