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21.1-21.2四边形及多边形、平行四边形
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角为（　　）
A．90° B．60° C．45° D．30°
2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC
B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
C．AD∥BC，OB＝OD
D．∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠CBD
3．如图，点E，F在 ABCD的对角线AC上，AE＝EF＝CD＝DE，∠ADE＝21°，则∠BCD＝（　　）
A．42° B．53° C．59° D．63°
4．如图，在周长为20cm的 ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
5．从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成2026个三角形，则这个多边形的边数是（　　）
A．2027 B．2028 C．2029 D．2030
6．平面直角坐标系中三个点的坐标分别为（0，0）、（1，2）、（3，0），如果第四个点和这三个点正好可以连成一个平行四边形，则第四个点的坐标不可能是（　　）
A．（﹣2，2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣2） D．（4，2）
7．如图，四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠FPE＝120°，则∠PFE的度数是（　　）
A．45° B．40° C．30° D．60°
8．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，F为OC的中点，连接EF交OB于点M．若OM＝1，则BD的长为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．4
9．如图，F是 ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）cm2
A．24 B．17 C．18 D．10
10．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形．下列结论中；①AB⊥AC；②∠DFE＝135°；③四边形AEFD是平行四边形；④四边形AEFD的面积为20．其中所有正确的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180°，则这个多边形的边数为 　 　 ．
12．如图，直线l1∥l2，点A，B在l1上，点C，D，E在l2上，且∠CAE＝∠ADE＝90°，在不添加线段情况下，用图中线段的长度表示l1到l2的距离，则该线段是　 　 ．
13．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是 　 　 ．
14．在 ABCD中，AE平分∠BAD交直线BC于点E，BE：EC＝2：1，AB＝6，那么 ABCD的周长是　 　 ．
15．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ 　 　 ．
16．如图，在 ABCD中，．BC＝10，∠A＝45°，点E是边AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠，得到△FEB，设BF与AD交于点M，当BF与 ABCD的一边垂直时，DM的长为 　 　 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠DFB＝26°，∠ABC＝52°，BC＝12，AB＝8，求EF的长度．
18．（6分）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD、CB的延长线于点E，F．求证：OE＝OF．
19．如图是由小正方形组成的7×5网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）．
（1）在图1中画一条线段，使它平分四边形ABCD的面积；
（2）在图2的边CD上画点E，使∠ABE＝45°．
20．（8分）如图，在 ABCD中，E，F为对角线AC上的两点（点E在点F的上方），AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当DE⊥AC时，且DE＝3，DF＝5，求B，D两点之间的距离．
21．（8分）观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题：
（1）将下面的表格补充完整：
正多边形边数 3 4 5 6 … 　 　
∠α 　 　 　 　 　 　 　 　 … 10°
（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝18°？请说明理由．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD＝6，BC＝16，AD∥BC，AB＝8，∠ABC＝60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）线段PD＝ 　 　 ；CQ＝ 　 　 ；QE＝ 　 　 （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？
23．（10分）【问题背景】
在 ABCD中，连接BD，若BD⊥CD，点E为边AD上一点，连接CE，交BD于点F．
（1）如图1，若点E为AD中点，对角线AC与BD相交于点O，连接OE，且△DFE的面积为，DF＝2，求CD的长；
【深入探究】
（2）如图2，若∠ABC＝120°，AB＝2，点N在BC边上，BC＝4CN，且CE平分∠BCD，线段PQ（点P在点Q的左侧）在线段CE上，且，连接NQ，过点N作NG∥CE，交BD于点G，连接PG，请判断PG与QN之间的数量关系并说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：设这个多边形的边数为n，
180（n﹣2）＝720，
解得：n＝6，
360°÷6＝60°．
故选：B．
2．解：∵∠ABD＝∠BDC，
∴∠ABO＝∠CDO，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A不符合题意；
∵由∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，不能证明△ABC≌△CDA，
∴不能确定BC与AD是否相等，
∴不能判断四边形ABCD是平行四边形，
故B符合题意；
∵AD∥BC，
∴∠OCB＝∠OAD，
在△COB和△AOD中，
，
∴△COB≌△AOD（AAS），
∴OC＝OA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故C不符合题意；
∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD，
∵∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥CB，
四边形ABCD是平行四边形，
故D不符合题意，
故选：B．
3．解：∵AE＝EF＝CD＝DE，∠ADE＝21°，
∴∠DAE＝∠ADE＝21°，
∴∠ECD＝∠DEC
＝∠ADE+∠EAD
＝21°+21°
＝42°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAE＝21°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠DCE
＝21°+42°
＝63°，
故选：D．
4．解：∵AC，BD相交于点O，
∴O为BD的中点，
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AD20＝10（cm），
∴△ABE的周长为10cm．
故选：D．
5．解：由条件可知n﹣2＝2026，
∴n＝2028，
故选：B．
6．解：如图：这个平行四边形的第四个顶点坐标可能为：（﹣2，2）、（2，﹣2）、（4，2）．
故这个平行四边形的第四个顶点坐标不可能是：（﹣2，3）．
故选：B．
7．解：∵E，P分别是AB，BD的中点，
∴EP为△ABD的中位线，
∴EPAD，
同理可得：FPBC，
∵AD＝BC，
∴EP＝FP，
∵∠FPE＝120°，
∴∠PFE＝∠PEF（180°﹣120°）＝30°，
故选：C．
8．解：如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，取BO的中点G，则OG＝BG，连接FG，EG，OE，
∴AO＝OC，BO＝OD，
又∵E为AB的中点，F为OC的中点，
∴AE＝BE，OF＝FC，
∴OE是△ABC的中位线，FG是△BOC的中位线，
∴，OE∥BC，，FG∥BC，
∴OE＝FG，OE∥FG，
∴四边形EOFG是平行四边形，
∴MO＝MG＝1，
∴OB＝2OG＝4OM＝4，
∴BD＝2OB＝8．
故选：A．
9．解：连接EF，
∵F是 ABCD的边CD上的点，
∴BE∥CF，
∴∠EBF＝∠CFB，∠BEC＝∠FCE，
∵BQ＝FQ，
∴△EBQ≌△CFQ，
∴EQ＝CQ，
∴四边形EBCF是平行四边形，
∴，
∵S△AED＝S△AEF，
∴，
∴，
故选：C．
10．解：∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC，
故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE＝8，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS）
∴AB＝EF＝AD＝6，
∴四边形AEFD是平行四边形，
故③正确；
∴∠DFE＝∠DAE＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°，
故②错误；
过A作AG⊥DF于G，
∴∠AGD＝90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，
∴AGAD＝3，
∴S AEFD＝DF AG＝8×3＝24，
故④错误．
∴正确的结论是①③，
故选：B．
二．填空题
11．解：多边形的内角和为360°×3+180°
＝1080°+180°
＝1260°，
1260°÷180°+2
＝7+2
＝9．
故答案为：9．
12．解：由条件可知AD⊥l1，
∵l1∥l2，点A在l1上，点D在l2上，
∴AD的长度是l1到l2的距离，
故答案为：AD．
13．解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG，
∵E、F分别是边AD、CB的中点，
∴EG∥BD且EGBD8＝4，
FG∥AC且FGAC6＝3，
∵AC⊥BD，
∴EG⊥FG，
∴EF5．
故答案为：5．
14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB＝6，
如图1，∵BE：EC＝2：1，
∴EC＝3，
∴AD＝BC＝9，AB＝CD＝6，
∴这个四边形的周长是：9+6+9+6＝30；
如图2，∵BE：EC＝2：1，
∴EC＝3，
∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝6，
∴这个四边形的周长是：3+6+3+6＝18；
∴这个四边形的周长是：30或18．
故答案为：30或18．
15．解：连接ED，由图可知：∠A+∠B＝∠BED+∠ADE，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝
∠BED+∠ADE+∠C+∠CDA+∠FEB+∠F+∠G＝
∠FED+∠EDC+∠C+∠G+∠F
＝（5﹣2）×180°＝540°．
16．解：如图1，当BF⊥AD时，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴BF⊥BC，
∴∠AMB＝90°，
∵将△AEB沿BE翻折，得到△FEB，
∴∠A＝∠F＝45°，
∴∠ABM＝45°，
∵AB＝4，
∴AM＝BM＝44，
∵BC＝AD＝10，
∴DM＝AD﹣AM＝10﹣4＝6；
如图2，当BF⊥AB时，
∵平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴BF⊥DC，
∵将△AEB沿BE翻折，得到△FEB，
∴∠A＝∠EFB＝45°，
∴∠ABF＝90°，
此时F与点M重合，
∵AB＝BF＝4，
∴AF＝48，
∴DM＝10﹣8＝2．
综合以上可得DM的长为2或6．
故答案为：2或6．
三．解答题
17．解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，AD＝DB＝4，
∴DE∥BC，DEBC12＝6，
∴∠FBC＝∠DFB＝26°，
∵∠ABC＝52°，
∴∠DBF＝52°﹣26°＝26°，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴DF＝DB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝6﹣4＝2．
18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴得AO＝CO，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF．
19．解：（1）由题意知，AD∥BC，AD＝4＝BC，，
∴四边形ABCD是平行四边形；
则连接AC，BD交于O，做一条过O的线段即可；
（2）如图，取格点M，连接BM交CD于E，点E即为所求；
证明：，，，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴∠ABM＝45°，
即∠ABE＝45°．
20．（1）证明：连接BD交AC于点O，
由题意可得：OB＝OD，OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵DE⊥AC，DE＝3，DF＝5，
∴，
由题意可得：，BD＝2OD，
∴，
∴B，D两点之间的距离为．
21.解：（1）当n＝3时，，
当n＝4时，，
当n＝5时，，
当n＝6时，，
当∠α＝10°时，设正多边形的每一个内角为x°，
∴，
解得x＝160°，
∴多边形的边数为；
填表如下：
正多边形的边数 3 4 5 6 … 18
∠α的度数 60° 45° 36° 30° … 10°
故答案为：60°，45°，36°，30°，18；
（2）存在这样的正n边形．
∴，
∴，
解得n＝10，经检验符合题意；
所以存在这样的正n边形，它是正十边形．
22．解：（1）∵AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上，
∴PD＝6﹣AP，BE＝CEBC＝8，
∴QE＝8﹣CQ或QE＝CQ﹣8，
∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动，
∴AP＝t，
∴PD＝6﹣t；
∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，
∴CQ＝2t，
若点Q与点E重合，则2t＝8，
解得t＝4；
若点P与点D重合，则t＝6，
当0＜t＜4时，则QE＝8﹣2t，
当4＜t＜6时，则QE＝2t﹣8，
故答案为：6﹣t，2t，8﹣2t或2t﹣8．
（2）∵AD∥BC，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上，
∴PD∥QE，
∴当PD＝QE时，以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，
当0＜t＜4，且PD＝QE时，则6﹣t＝8﹣2t，
解得t＝2；
当4＜t＜6，且PD＝QE时，则6﹣t＝2t﹣8，
解得t，
综上所述，当t＝2或t时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
23．解：（1）AB∥CD，AB＝CD，OD＝OB，
∵BD⊥CD，
∴AB⊥DB，
∵AE＝ED，OD＝OB，
∴OE∥AB，，
∴OE⊥BD，
∴，
∵DF＝2，
∴，
∴．
（2）过点C作CM⊥BC于点M，
由题意可得：∠BCD＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝CD＝2，
∴BC＝2CD＝4，
∵BC＝4CN，
∴CN＝1，BN＝3，
∵，
∵GN∥CE，
∴∠BNG＝∠BGE＝30°，
∴∠DBC＝∠BNG＝30°，
∴GB＝GN，
∵GM⊥BC，
∴，，
∵GN2＝GM2+MN2，
∴，
∴，
∵，
∴PQ＝GN，
又∵PQ∥GN，
∴四边形PQNG是平行四边形，
∴NQ＝PG．

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