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23.2一次函数的图象和性质
一、单选题
1．下列四个函数中，一次函数是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象过点
B．其图象可由的图象向下平移3个单位长度得到
C．随着的增大而增大
D．图象经过第一、二、四象限
3．已知点和点在函数的图象上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．如图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数表达式分别为，，则下列关于与的说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．正比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．小明在探究直线l：的性质时，得到如下结论：
①直线l必经过点；
②直线l的图像经过一、三、四象限；
③若点，在直线l上，，则；
④点O到直线l的距离的最大值为5．
则以上结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
7．已知函数是一次函数，则a的值是________．
8．已知点，都在直线上，则___________（填“>”或“=”或“<”）
9．已知一次函数，当时，的最大值为，则的值为______．
10．如图，在平面直角坐标系中，正三角形的顶点的坐标是，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的横坐标是，则点的坐标是__________．
11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，…，使点在一次函数图象上，点在轴正半轴上，则点的坐标是_______．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为．
（1）直线的解析式是________；
（2）点D在x轴上，连接，使，则点D的坐标为________．
三、解答题
13．已知与成正比例，当时，．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若点在该函数图象上，求m的值．
14．如图，已知直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点．
(1)求直线的表达式；
(2)求的面积；
(3)点是直线上的一个动点，且，求点的坐标．
15．在平面直角坐标系中，一次函数与的图象平行，且经过点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求出函数的图象与轴、轴的交点和的坐标，并画出函数图象；
(3)点在轴上，并且使得的值最小，请在图中标出点的位置，并写出最小值．
16．已知正比例函数的图象经过点．
(1)求这个函数表达式；
(2)判断点是否在这个函数图象上；
(3)图象上的两点，如果，比较与的大小．
17．已知一次函数．
(1)若过点，且点、均在它的图像上，求；
(2)①若点、在的图像上，求；
②若点、也在的图像上，则是定值吗？若不是，直接写“不是”，若是，求出结果．
(3)点均在一次函数的图像上，则_________．
18．如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与轴、轴分别交于点、．
(1) ；
(2)求点的坐标；
(3)若点在轴上，则在直线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．已知，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴和轴的正半轴上，且满足：．点为边上一点，连接．过点作于点，点在线段上，，连接交于点．
(1)直接写出的形状；
(2)若点的坐标为，求点的坐标；
(3)①求证：；
②的面积_____．（用含的代数式表示．）
20．在平面直角坐标系中，过点作垂直于轴的直线，将一次函数（，为常数，）图象位于直线l下方的部分沿直线l向上翻折，与原来在直线l上及上方图象组合，得到一个新的图象，这种变换称为“对称变换”，记作：，这种新的图象对应的函数叫做“形函数”，例如，如图1就是函数经过得到的“形函数”的图象．
问题一：认识“形函数”
（1）填空：在图1的“形函数”中，当函数值时，的值为______；
（2）已知：直线
①如表是直线经过得到的“形函数”与的几组对应值．
… 0 …
… …
直接写出表格中的值是______；
②在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；
问题二：结合函数图象，解决问题：
③当时，“形函数”值的取值范围是______；
问题三：反思延申
④已知点，点，如果将直线经过得到的“形函数”的图象向右平移个单位，当“形函数”图象与线段有交点时，请直接写出的取值范围．
参考答案
一、单选题
1．B
解：A、，自变量x的最高次数为2，不是一次函数，故该选项不符合题意；
B、，是一次函数，故该选项符合题意；
C、，不是一次函数，故该选项不符合题意；
D、，不是一次函数，故该选项不符合题意．
2．D
解：A、当时，，则图象不过点，原说法错误，不符合题意；
B、的图象向下平移3个单位得，故的图象不可由的图象向下平移3个单位长度得到，原说法错误，不符合题意；
C、∵，∴随增大而减小，原说法错误，不符合题意；
D、∵，，∴图象经过第一、二、四象限，原说法正确，符合题意．
故选：D．
3．A
解：∵ 函数 中，，
又 ∵ ，
∴ ，
∴，
即，
∴ 函数随的增大而减小，
∵ 点A的横坐标为, 点B的横坐标为，
∴ ．
故选：A．
4．C
解：由图象知，均为负数，
当时，，
∴，
故选：C．
5．B
解：正比例函数与一次函数的一次项系数都是，则两条直线互相平行，
选项：据图可知，则一次函数与轴的交点应在负半轴，而不是正半轴，错误；
选项：据图可知，两条直线的函数值均随着值增加而增大，且一次函数与轴的交点在正半轴，正确；
选项：两条直线不平行，错误；
选项：两条直线不平行，错误．
故选：．
6．C
①∵直线可变形为，
∴当时，，与取值无关，
∴直线必经过点，结论①正确；
②∵，
∴
∴，
∵，
∴直线经过一、二、四象限，结论②错误；
③∵，一次函数中随的增大而减小，
∴当时，，结论③正确；
④∵直线恒过定点，根据垂线段最短，点到直线的距离（当时取等号），
∵，
∴点到直线的距离的最大值为5，结论④正确；
综上，正确的结论是①③④．
故选：C．
二、填空题
7．
解：∵函数是一次函数，
∴，
解得：．
8．
解：直线是一次函数，解析式中一次项系数，
根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小，
已知两点横坐标分别为和，可得，
因此．
9．或
解：∵函数是一次函数，
∴，
①当时，一次函数随增大而增大，
当时，的最大值在处取得，
代入得，
解得；
②当时，一次函数随增大而减小，
当时，的最大值在处取得，
代入得，
解得
则的值为或
10．
解：过点作于点，
∵是等边三角形，的坐标是，，
∴，
∴，
∴的坐标是，
设直线的解析式为，把代入得：，
∴直线的解析式为，
∴的坐标为，
∴点向右平移个单位，向上平移个单位得到，
∴的坐标为．
11．
解：当时，，
；
∵四边形为正方形，
∴，
当时，，
，即；
同理，，即；
；
；
∴点的坐标是．
12． 或
解：（1）令，则；令，则，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴直线的解析式是．
故答案为：．
（2）由（1）可知，，，
∴，
∵，
∴，
当点在线段的处时，如图，
∵，
∴，
过点作交的延长线于点，过点作轴于点，
则，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵点C的坐标为，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
令时，，
解得，
∴点的坐标为；
当在点的右边处时，如图，
连接并延长交于点，
∵，
∵轴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，，
∴点与点关于点对称，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
令时，，
解得，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
故答案为：或．
三、解答题
13．（1）解：设函数关系式为，
∵当时，，
∴，
所以，
把代入得，
，
故函数关系式为．
（2）解：将点代入，
得，
解得．
14．（1）解：把点代入直线，得，
，
点的坐标为，
∵，都在上，
，
解得，
直线的表达式为．
（2）解：直线的表达式为，
当时，，
点的坐标为．
．
，
即的面积为3．
（3）解：，
，
，
设，
则，
解得：或
点的坐标为或．
15．（1）解：一次函数与的图象平行，
，
函数图象经过点，
，
．
一次函数的表达式为；
（2）解：对于，
令，则，解得，
令，则，
，，
画出函数的图象如图；
（3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的值最小，点即为所求，
的最小值为，，
由勾股定理得，
的最小值为．
16．（1）解：将点代入，
得，
解得，
∴这个函数解析式为．
（2）解：当时，，
∴点在这个函数图象上．
（3）解：∵，
∴y随着x增大而减小，
∵图象上的两点，，且，
∴．
17．（1）解：代入点，得，
∴，
∴，
当时，；
当时，，
∴；
（2）解：①当时，；
当时，，
∴；
②当时，；
当时，，
∴，
整理，得，
∴是定值，定值为1；
（3）解：代入，，得
整理，得，
∴当时，，即．
18．（1）解：由可得，．
四边形是矩形，
∴∠BCO=90 ，
由勾股定理可得：5，
故答案为：；
（2）设,，则由题意可得：，，，．
在中，由勾股定理可得：，
即，
解得，
∴；
（3）存在符合条件的点或或．理由如下：
由（2）知：，，
，
设直线的解析式为，
，，
，
，
直线的解析式为：，
点在轴上，点在直线上，
设，，
又，，
当、为的对角线时，与的中点重合，
，
解得：
；
当、为的对角线时，与的中点重合，
，
解得：，
；
当、为的对角线时，与的中点重合，
，
解得：，
；
或或
19．（1）解：，
，解得，
，即，
为等腰直角三角形；
（2）解：将关于对称得到，过分别作轴、轴，
，
，，即，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，即，
由对称可知为中点，则，
即；
（3）①证明：过作，交延长线于点，
则，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，即，
；
②解：由（2）知，设，则，又，
，解得，即，，
设直线的解析式为，
，解得，
即，
令，解得，
故，则，
又，且由①知为中点，
点的横坐标为
．
20．解：（1）∵函数经过得到的“形函数”的图象，
∴当时，函数的解析式为，
∴该“形函数”的解析式为，
∴当时，或．
（2）①∵直线经过得到“形函数”，
∴当时，，
∴当时，函数解析式为，
∴时，，
设时的函数解析式为，
∵时，图像经过，，
∴，
解得：，
∴时的函数解析式为，
∴当时，，
解得：．
故答案为：
②该函数的图象如图所示．
③时，，时，，
由图像可知，时，函数取最小值，
∴当时，“形函数”值的取值范围是．
④∵将直线经过得到的“形函数”的图象向右平移个单位，
∴当时，，
当时，，
当经过点时，，
解得：，
当经过点时，，
解得：，
∴，
当经过点时，，
解得：，
当经过点时，，
解得：，
∴，
综上所述：的取值范围为或．

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