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23.4 实际问题与一次函数
一、单选题
1．在一条笔直的公路上，A，B两地相距，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．甲车的速度为 B．乙车的速度为
C． D．当乙车达到A地时，甲车离A地的距离为
2．随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（ ）
A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样
B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算
C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算
D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元
3．生物课上，生物老师让同学们观察一植物生长，爱思考的小聪发现植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（是线段，射线平行于x轴）．下列说法错误的是（ ）
A．从开始观察时起，50天后该植物停止长高
B．当时，y与x的函数表达式为
C．观察第40天，该植物的高度为14厘米
D．该植物最高为15厘米
二、填空题
4．小明的爸爸用50万元购进一辆出租车（含经营权），在投入营运后，每一年的总收入为18.5万元，而各种费用的总支出为6万元，则可预测该出租车在营运________年后开始盈利．
5．如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第_________秒时1号和2号无人机在同一高度．
6．现有两种品牌的共享电动车，上面图象反映了收费y（元）与骑行时间x（分钟）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应品牌的收费方式对应，当两种品牌共享电动车收费相差4元时，x的值是________．
三、解答题
7．大山开车从A地出发前往B地，同时小李从B地出发前往A地，出发一段时间后，小李将车速提高为原来的2倍，如图，图象分别表示两人与A地的距离和行驶时间之间的函数关系．
(1)求小李提速后与A地的距离和行驶时间之间的函数表达式；
(2)何时大山与B地的距离大于小李与B地的距离？
8.某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题：
(1)点表示的实际意义是什么？
(2)求的函数表达式；
(3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围．
9.甲、乙两车同时从地出发，直行前往地，如图，折线与线段分别表示甲、乙两车的行程（单位：）与时间（单位：）的函数关系．
(1)乙车的速度为______；
(2)分别求线段，C对应的函数表达式；
(3)当取何值时，甲、乙两车相距？
10.“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
(1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不低于乙型号“文房四宝”数量的3倍，请计算购进甲、乙两种型号“文房四宝”各多少套时花费最少．
11.为迎接六安市第九中学建校周年庆典暨第二十届校园文化艺术节，学校庐剧社团需要为节目《今日高唱凯歌归》采购道具包．现有两种道具包：（乐器+舞具）和（戏服+头饰）．已知每个道具包的单价比道具包的单价高元，且用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍．
(1)求、两种道具包的单价；
(2)在实际采购中，学校预算不超过元，计划购买、两种道具包共个，且道具包数量不高于道具包数量的倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？（请用函数知识解答）
12.某健身房推出蛋白能量包和碳水补给包两种食物套餐．套餐中的蛋白粉、燕麦片和水果的质量如下表（不完整）：
食物套餐 蛋白粉/ 燕麦片/ 水果/
蛋白能量包
碳水补给包
调研发现：份蛋白能量包中燕麦片与蛋白粉的总质量比份碳水补给包中燕麦片与蛋白粉的总质量多克，且份蛋白能量包和份碳水补给包中燕麦片的总质量为．
(1)求每份蛋白能量包和碳水补给包中的燕麦片质量；
(2)小凯为自己预订了连续天的运动补给套餐（每天只订一种套餐），为了保证训练需求，要求水果的总质量不高于．小凯应怎样选择这两款套餐，才能使这天的套餐中燕麦片的总质量最少？
13.某校九年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目（如图1）的规则是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进．用时少者胜．甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离与比赛时间的函数关系如图2．
(1)求乙班返回时的速度．
(2)求的函数表达式．
(3)求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，的值．
14.为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准：
计费档 户年用气量 单价/（元）
第一档 2.73
第二档 3.28
第三档 3.82
(1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式；
(2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费；
(3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量．
15.请你根据下列素材，完成有关任务．
背景 某校计划到某体育用品商店购买篮球、足球和气排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．
素材一 买一个气排球元，买个篮球和一个足球价钱为元，购买个篮球的价格比购买一个足球多花费元．
素材二 该校要购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍．
素材三 根据学生兴趣需要，篮球不多于个，总花费不超过元．
请完成下列任务：
(1)求出篮球和足球的单价．
(2)求购买篮球，足球，气排球共花费（元）与购买篮球（个）的函数关系式．
(3)制定花费最少的购买方案．
16.为响应“节能”“环保”“减排”号召，张明家购买了一台电动汽车，需要申请加装电表，有两种电表可供选择：一种是普通电表，一种是峰谷分时计费电表．
该市居民用电的收费标准（注：峰段8：00～22：00，谷段：22：00～次日8：00）：
计费档 户年用电量 普通电价/[元/] 峰谷电价/[元/]
峰段电价 谷段电价
第一档 0.53 0.56 0.28
第二档 0.58 0.61 0.33
第三档 0.83 0.86 0.58
(1)张明的朋友李斌家去年总用电量为，峰段用电量为，哪种计费方式电费较少？为什么？
(2)截至今年9月底，李斌家的用电量已经超过，已知李斌家10月共用电，峰段用电量为（单位：），写出峰谷计费方式的电费（单位：元）与之间的关系式？并计算李斌家10月峰段用电量为多少时，两种计费方式相同？
(3)张明通过调查发现：安装哪种电表，取决于峰段用电量占总用电量的比值，比值越大，越适合安装普通电表，否则，安装峰谷计费电表．若张明家年用电量为，峰段用电量与总用电量的比值为．请你直接写出张明安装电表的方案．
参考答案
一、单选题
1．D
解：由图象可知，甲车的速度为，乙车的速度为，
∴甲车的速度为，乙车的速度为，故A、B项说法正确，不符合题意；
设甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为，代入，
得，解得，
∴甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为，
设乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为，代入，，
，解得，
∴乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为，
当时，，解得，即，故C项说法正确，不符合题意；
当时，，故D项说法错误，符合题意，
故选：D．
2．D
解：由图象可知，甲、乙两条直线在处相交，交点纵坐标为；在时，甲的直线在乙的下方；在时，乙的直线在甲的下方．
对于选项A，当时，甲、乙两直线交于同一点，说明此时两种消费卡所需费用一样，选项A正确；
对于选项B，当时，此时甲的直线位置低于乙的直线，说明甲种消费卡的费用更低，选择甲种消费卡划算，选项B正确；
对于选项C，当时，此时乙的直线位置低于甲的直线，说明乙种消费卡的费用更低，选择乙种消费卡划算，选项C正确；
对于选项D，设乙消费卡的费用函数为，由图象可知该函数过点和，
将，代入得，解得，
．
当时，，不是元，选项D错误；
综上，错误的说法是D．
3．D
解：A、∵射线平行于x轴，
∴50天后该植物的高度没有发生变化，
∴从开始观察时起，50天后该植物停止长高，原说法正确，不符合题意；
B、设当时，y与x的函数表达式为，
则，
∴，
∴当时，y与x的函数表达式为，原说法正确，不符合题意；
C、在中，当时，，
∴观察第40天，该植物的高度为14厘米，原说法正确，不符合题意；
D、在中，当时，，
∴该植物最高为16厘米，原说法错误，符合题意；
故选：D．
二、填空题
4．4
解：设该车营运年后开始盈利，盈利万元，则，
即，
∵，
∴，
∴，
∴第年后开始盈利．
故答案为：．
5．
解：当时，，
∴点的坐标为，
由题意知点的坐标为，
设，
将代入得，
∴，
∴，
∴线段对应的函数表达式为：，
由题意可知，则，
解得：，
∴，
∴点的坐标为，
∴则在第15秒时1号和2号无人机在同一高度，为，
故答案为：15．
6．5或40
解：当时，，
当时，设，则有
，
解得，
，
，
同理可得：，
当时，，
解得；
当时，，
解得或（舍去），
综上所述：x的值是或，
故答案为：或．
三、解答题
7．（1）解：根据题图可得，小李提速前的平均车速为，
∴小李提速后平均速度为．
由题意得A、B之间距离为，
∴提速后行驶时间为，
∴小李到达A地时间为．
设小李提速后的函数表达式为，
把点，点代入得
，
解得，
∴小李提速后的函数表达式为；
（2）解：设大山匀速行驶的函数表达式为，
把点代入得，
∴，
∴大山匀速行驶的函数表达式为．
解方程组得，
所以当时，大山与B地的距离大于小李与B地的距离．
8.（1）解：点表示第14秒时乙组追上甲组；
或“乙组到第14秒时已经走了24米”，
或“甲组第14秒时途中已经掉球2秒”．
（2）解：设的函数表达式为
点，点
，解得，
的函数表达式为．
（3）解：设的函数表达式为
∵，
，解得，
的函数表达式为，
分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前
，
可解得
②当甲到终点，乙还没有到终点前
将代入，
解得：，
，
综合①②得的取值范围为：或
9.（1）解：根据图象，乙车的速度为；
故答案为：；
（2）解：设线段对应的函数表达式为，
∵点在上，
∴将代入，得，解得，
∴线段的函数表达式为；
设线段对应的函数表达式为，
∵点、在上，
∴将两点坐标代入得，解得，
∴线段的函数表达式为；
（3）解：线段的函数表达式为，
分三种情况讨论：
①当时，根据图象，线段的函数表达式为，
两车的距离为，解得，
，不符合的范围，故舍去；
②当时，甲的行程为，
两车的距离为，令，解得，
，符合该范围；
③当时，线段的函数表达式为，
此时两车的距离应为，
令，解得，
，符合该范围．
综上，当或时，甲、乙两车相距；
答：当为或时，甲、乙两车相距．
10.（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元，每套乙型号“文房四宝”的价格为y元，
则，
解得，
答：每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元．
（2）解：设需购乙型号“文房四宝”m套，则购甲型号“文房四宝”套，花费为w元．
则，
，
解得，
又∵学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，
∴且为整数．
∵，
∴w随m的增大而减小，
∵m为整数，
∴当时，w最小，
此时，
故当购买甲90套，乙30套时，所需费用最少．
11.（1）解：设道具包的单价为元，则道具包的单价为元，
，
解得：，
经检验：是原方程的解．
∴．
答：道具包的单价为元，道具包的单价为元；
（2）解：设购买总成本为元，购买道具包个，道具包个，
得：，
∵，
∴随的增大而减小，
由题意得：，
解得：，
∴当时，最小，，
∴．
答：购买道具包个，道具包个，总采购成本最低，最低成本是元．
12.（1）解：设每份蛋白能量包中的燕麦片质量为，每份碳水补给包中的燕麦片质量为．
，
解得
答：每份蛋白能量包中的燕麦片质量为，每份碳水补给包中的燕麦片质量为．
（2）解：设预订蛋白能量包天，则预订碳水补给包天．
，
解得，
设燕麦片总质量为，则
，
∴，
，
随的增大而减小．
当时，取得最小值．
（天）．
答：小凯应预订蛋白能量包天，碳水补给包天，才能使燕麦片总质量最少．
13.（1）解：∵，
∴乙班返回共用走完，
∴乙班返回时的速度为：．
（2）解：∵，
设的表达式为，把代入得：
，
解得：，
∴的表达式为．
（3）解：∵，
设的函数表达式为，则，
解得：，
∴的函数表达式为，
由图象可得：和的交点表示甲、乙两班同学在途中第一次到起点的距离相同，
∴，
解得：．
∵，
设的函数表达式为，则
，
解得：，
∴的表达式为，
由图象可得：和的交点表示甲、乙两班同学在途中第二次到起点的距离相同，
∵的表达式为，
∴，解得：．
综上所述，甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，或．
14.（1）解： 由表格可知，当时，．
（2）解：，
当时，，
所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元．
（3）解：当时，（元），
当时，（元），
，
所以，该户用气量属于第二档，
当时，，
解得，，
所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为．
15.（1）解：设一个篮球价格为元，一个足球价格为元，
依题意得，
解得，
答：篮球和足球的单价分别为元和元．
（2）解：购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍，购买篮球个，
气排球个数是个，足球个数是个，
依题意得：
．
（3）解：由素材三得，
解得，
，，
随的增大而减小，
当时，最小，此时，，
花费最少的购买方案为篮球个，足球个，气排球个．
16.（1）解：普通电表：（元），
峰谷计费：（元），
，
因此，选择普通电表电费较少．
（2）解：，
，
解得，
因此，小明家月峰段用电量为时，两种计费方式相同．
（3）解：设峰段电量为，谷段为，
分档讨论：
①第一档（）：普通电费，
峰谷电费，
令相等得，
解得：，
当时，选普通电表；
当时，选峰谷电表；
②第二档（）：普通电费，
峰谷电费，
令相等得，
解得：，
当时，选普通电表；
当时，选峰谷电表；
③第三档（）：普通电费，
峰谷电费，
令相等得，
解得：，
当时，选普通电表；
当时，选峰谷电表，
综上，当时，选择安装普通计费电表；当时，两种电表的费用相同；当时，选择安装峰谷计费电表．

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