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第23章《一次函数》--待定系数法求一次函数的表达式
一、单选题
1．已知y与x成正比例，当时，，那么函数的解析式是（　　）
A． B． C． D．
2．中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
3.已知点，在同一条直线上，则这条直线的关系式可能是（ ）
A． B． C． D．
4．某个一次函数的图象与直线平行，并且经过点，则这个一次函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，直线与轴正半轴交于点，若，则直线的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．已知直线经过点，且与直线平行，则的值为_____________．
7．直线关于x轴对称的直线的表达式为________________________；关于y轴对称的直线的表达式为________________________．
8．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，过点和作一次函数的图像，再作与关于轴对称的一次函数的图像，则的函数表达式为________．
9．已知直线与轴，轴分别交于点和点，点是上的一点，若将 ABC沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数表达式为______．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，直线与x轴，y轴分别交于点D，点C，两直线相交于点B．将直线绕点A逆时针旋转得到直线，则直线的表达式为________．
三、解答题
11．已知一次函数的图象经过点．
(1)求此一次函数的表达式；
(2)判断点是否在该函数图象上，并说明理由．
12．已知一次函数的图象经过点 和 ．
(1)求此一次函数的表达式；
(2)若点向下移动3个单位后恰好落在直线上，求的值．
13．根据下列条件求函数表达式
(1)已知一次函数的图象经过点，，求这个一次函数的表达式．
(2)已知一次函数的图象过点，并且是由一次函数的图象平移得到的，求该一次函数的表达式．
14．已知与成正比例，且时，．
(1)求关于的函数关系式．
(2)判断点是不是上述函数图象上的点，说明理由．
15．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，C是x轴上一点，将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处．
(1)求点D的坐标；
(2)求直线的函数表达式．
16．已知一次函数（k为常数，且）
(1)若点在一次函数的图象上．
①求k的值．
②设，则当时，求P的最大值．
(2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式．
17．如图1，直线：与直线交于轴上一点，点在轴正半轴上，．
(1)求直线的函数表达式；
(2)如图2，将直线绕点逆时针旋转与射线交于点，若面积是，求点的坐标；
(3)点E是直线上的一个动点，在坐标轴上找一点F，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标．
18．（1）【知识结论】
我们知道一次函数的图象可以由直线平移个单位得到．
那么将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数表达式为：________；
（2）【拓展探究】
我们已学过平移、轴对称两种基本的图形变换，某数学小组利用平移和轴对称开展“探究一次函数图象经过图形变换后的函数表达式”的数学活动．
①（平移变换）将图1中一次函数的图象沿着轴向左平移个单位长度，求所得到的图象对应的函数表达式．小组探究发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在原图象上任取两点，，将这两点沿着轴向左平移个单位长度，得到对应点，，其坐标分别为（________），（________），从而求出直线对应的函数表达式为：______________________________；
②（轴对称变换）将图1中一次函数的图象关于轴对称，所得到的图象对应的函数表达式为：________________；
（3）【学以致用】
将一次函数的图象沿轴翻折，然后将翻折后的部分先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的函数图象对应的函数为．由和的图象组成的函数图象对应的函数为．当时，，则的取值范围为________．

19.把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象．
【阅读理解】
小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？
老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象．
请你帮助小尧解决他的困难．
（1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________．
【解决问题】
（2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式．
【拓展探究】
（3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果）
参考答案
一、单选题
1．C
解：根据题意，得，
∴，
∴函数解析式为．
故选：C．
2．A
解：由题意，∵“帅”位于点，
∴“马”，
设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为，
∴，
∴．
∴．
故选：A．
3．D
解：设这条直线表达式为，
则
两式相减得，
∴只有D符合题意，
故选：D．
4．A
解：∵一次函数图象与直线平行，
∴设该一次函数解析式为，
∵函数经过点，
∴将代入解析式得，解得，
∴该一次函数解析式为 ．
5．B
解：对于一次函数，令，得，令，则，
∴，．
∴，．
如图，过点作交于，过作轴于，则，
，
是等腰直角三角形．
．
，
，
∵，
．
，．
∴．
设直线的函数表达式为，
将，代入，得
，解得，
∴直线的函数表达式为．
故选：B．
二、填空题
6．
解：∵直线与直线平行，
∴，
所求直线的解析式为．
又∵直线经过点，
∴，解得．
7．
解：直线关于轴对称时，其上任意一点的对称点为，
代入原方程得，即；
关于轴对称时，点的对称点为，
代入原方程得，即．
故答案为：；．
8．
解：令，即，解得，
故点的坐标为；
所以，点关于轴对称的点的坐标为，
设过点和点的一次函数的解析式为，
∴，
解得
所以，关于轴对称的函数的解析式为，
故答案为：．
9．
解：∵直线与轴，轴分别交于点和点，
∴当时，，当时，，
∴，，，，
∴，
∵将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，
∴，，
∴，，
设，则，
在中，，即，
解得：，
∵点是上的一点，，
∴，
设直线的函数表达式为，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为．
故答案为：
10．
解：直线与y轴交于点A，
令，，则，
直线与x轴，y轴分别交于点D，点C，
令，，令，，
则，，
，
直线绕点A逆时针旋转得到直线，
如图，连接，绕点A逆时针旋转得到，绕点A逆时针旋转得到，连接，所在直线即为，过点作轴，
则，轴，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，轴，
设直线的解析式为，
，解得：，
则直线的表达式为，
故答案为：
三、解答题
11．（1）解：将点代入解析式，
得，解得，
一次函数的解析式为．
（2）解：当时，，
点在该函数图象上．
12．（1）解：将点 和 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴一次函数的表达式为 ．
（2）解：点 向下平移3个单位后坐标为 ，
∵该点在直线 上，
∴代入 得 ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
13．（1）解：设一次函数为，
一次函数的图象经过点，，
，
解得，
这个一次函数的表达式为；
（2）一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，
，则该一次函数表达式为，
函数图象过点，
，
解得，
该一次函数的表达式为．
14．（1）与成正比例，
∴设正比例函数的解析式为，
时，
，
解得，
∴，
∴；
（2）点不是上述函数图象上的点，理由如下：
由（1）知y与x的解析式为，
∴当时，，
∴点不是上述函数图象上的点．
15．（1）解：当时，，即；
当时，解得：，即；
∴，，
∴，
∵将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处，
∴，
∴，
即；
（2）解：∵将沿着过点B、C的直线折叠，使点A落在y轴上的点D处，
∴，
设，
则，
∴，
解得：，
则，
即，
设直线的函数表达式为，
则，
解得：，
即．
16．（1）解：①把代入得：，
解得；
②当时，，
∴，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，时，P的值最大，
当时，，
即P的最大值为6；
（2）解：当时，，，
∵，
∴，
解得，
此时一次函数解析式为；
当时，，，
∵，
∴，
解得，
此时一次函数解析式为；
综上所述，一次函数解析式为或．
17．（1）解：直线：分别与轴，轴交于两点，
在中，当时，，
点坐标为，
点在轴正半轴上，，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的函数表达式为；
（2）解：直线：分别与轴，轴交于两点，
在中，当时，，
解得，
，
，
，
，
，
，
由题意知，点在轴下方，
，
，
，
把代入，
，
解得，
；
（3）解：若点在轴的正半轴，如图，
是以为底边的等腰直角三角形，
，
，
直线的解析式为，
时，，
，
，
，
；
若点在轴的负半轴，如图，
同理可得，
，
；
若点在轴的负半轴，如图，
过点作轴于点，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
设，则，
，
解得，
，
，
；
若点在轴的正半轴，如图，
过点作轴于点，
同理可得，
，
，
，
，
，
综上所述，点的坐标为或或或．
18．解：（1）将一次函数的图象向上平移个单位长度，所得到的函数表达式为，
故答案为：；
（2）①，两点沿着轴向左平移个单位长度，得到对应点，，
设直线的解析式为，将点，代入得，
解得，
直线对应的函数表达式为，
故答案为：，，；
②在一次函数的图象上任取两点，，则，两点关于轴的对称点为，，
设直线的解析式为，将，代入得，
解得，
直线的解析式为，即一次函数的图象关于轴对称的函数表达式为，
故答案为：；
（3），
函数与轴交点为，与轴交于点．
这两点关于轴对称的对称点坐标分别为，．
将其向左平移个单位，再向上平移个单位得到对应点的坐标分别为，
函数的解析式为．
，
当时，
，
随的增大而减小．
当时，，
当时，代入，得到，
，
，矛盾，不合题意，舍去；
当，即时，
，
随的增大而增大，
当时，，
，
，不合题意，舍去；
当，即时，
由图象知函数最小值为．
，
，
，，
，
当时，，
当时，，
当时，，则，
当时，，则，
，
．

19.解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度，
平移后与x轴的交点为，将代入中，得
，
解得，
所以平移后的函数表达式为，
故答案为：；
（2）解：在函数的图象上取两个点、，
关于x轴对称的点的坐标、，
设直线的解析式为，
把代入，得
，
∴一次函数的表达式为；
（3）解：如图，在直线上取两点，，
一次函数的图象绕点逆时针方向旋转，
点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、，
过点作轴于，过点作轴于，过点作于，
，
，，
由旋转可得，，
，
，，
，
，
，
，
，，
轴，
四边形是矩形，
，，
，
，
同理可求得点，
设直线解析式为，
把、代入，得
，
解得：，
∴旋转后得到函数解析式为：．
故答案为：．

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