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第23章《一次函数》--一次函数与三角形综合问题
一、单选题
1．如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点E为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在x轴正半轴上存在点F，使得以O、E、F为顶点的三角形与 OME全等，这样的点F有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为（ ）
A． B．或 C．或 D．
3．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，直线（是常数）与三角形的边有交点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．函数的图象不经过第____________象限，它与轴的交点坐标是____________，它与轴的交点坐标是____________，与两坐标轴围成的三角形面积是____________．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，已知一次函数的图象为，当，，不能围成三角形，则_____．
6．一次函数与x轴，y轴分别交于A点和B点，点P为x轴上的一个动点，若以P、A、B三点形成的三角形为等腰三角形，则点P坐标为____．
三、解答题
7．如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点．
(1)求一次函数的表达式．
(2)点在一次函数的图象上．若是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标．
8.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的负半轴上，若将 ABC沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．
(1)点的坐标是______，点的坐标是______，的长为______；
(2)求点的坐标；
(3)在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9.如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将 ABC沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合．
(1)求直线对应的函数表达式；
(2)求的长；
(3)P为直线上一点，，求点P的坐标．
10.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．
(1)求两点的坐标；
(2)若轴正半轴上有一点，当时，求点的坐标；
(3)若轴上有一点，将沿直线折叠，当点恰好落在直线上时，请求出点的坐标．
11.“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．
【模型呈现】如图1，等腰直角三角形中，，．过A作于点D，过B作于点E．试说明：；
【模型应用】如图2，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰，求点C的坐标及直线的表达式；
【深入探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求的面积．
12.如图1，直线经过两点，且与直线交于点．
(1)求直线的表达式和点的坐标；
(2)如图2，已知点，过点作直线的平行线交直线于点．
①求直线的表达式；
②判断是什么特殊的三角形？（直接写出结果，不必说明理由）
13.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，直线与直线相交于点，直线与轴交于点．
(1)填空： ， ；
(2)求的面积；
(3)点是轴上一个动点，
①当值最小时，请直接写出点的坐标 ；
②当以点为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标 ．
14.【探索发现】如图①，等腰直角三角形中，．直线经过点，过作于点，过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．
【迁移应用】已知直线与轴、轴分别交于两点．
(1)如图（2），当时，在第一象限构造等腰直角三角形．
①________，________；
②点的坐标为________．
(2)如图③，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，且．连接的面积是否发生变化？请说明理由．
15.定义：已知直线l：（k为常数）绕定点旋转，则称直线l为“旋转簇直线”，点为“旋转簇直线”的不动点，
(1)求直线l：的不动点坐标；
(2)已知直线：与x、y轴分别交于点A、B．
①如图1，直线l：（k为常数）绕不动点P旋转时，与y轴正半轴相交于点Q，且点Q在点B上方，当时，求点Q坐标；
②）如图2，直线与x正半轴交于点C，与直线相交于第一象限内的点D，且恒有，试问直线是否为“旋转簇直线”，若是，请求出不动点的坐标；若不是，请说明理由．
16.某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型．
【全等模型】如图1，已知在 ABC中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点D，E．易证：．
（1）①如图1，若，则__________；
②如图2，，点的坐标为，连接交轴于点，求点的坐标，点的坐标．
【拓展探究】
（2）如图3，的图象分别交轴和轴于A、B两点，点坐标为，点在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请求出点的坐标．
参考答案
一、单选题
1．C
解：将代入得：，解得，
∴，
将代入得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的斜边，
∴也是以为顶点的三角形的斜边，
则分以下两种情况：
①如图1，当时，
∴，
∴此时点的坐标为；
②如图2和图3，当时，
∴，
∴点的纵坐标为或，
将代入得：，解得，
∴此时点的坐标为；
将代入得：，解得，
∴此时点的坐标为；
综上，这样的点有3个．
故选：C．
2．C
解：当时，，
函数与y轴的交点为，
当时，，
解得，
函数与x轴的交点为，
函数图像与坐标轴围成的三角形面积为6，三角形的两条直角边长分别为和，
，
整理得，
或，
解得或，均满足，即函数图象与坐标轴围成三角形的条件，
的值为或．
3.A
解：当直线经过点时，，解得；
当直线经过点时，，解得，
当时，直线是常数）与三角形的边有交点，
故选：A．
二、填空题
4． 二 9
解：函数是一次函数，比例系数，随的增大而增大，且与轴的交点坐标为，
∴直线经过第一、第三和第四象限，不经过第二象限，
故答案为：二；
当时，，
解得，
∴与轴的交点坐标是，
故答案为：；
当时，，
∴与轴的交点坐标是，
故答案为：；
直线与两坐标轴围成的三角形是直角三角形，两直角边长度分别为6和3，
∴三角形面积为，
故答案为：9；
5．或或
解：由题意得，，
解得，
∴直线交于点，
当直线经过点时，符合题意，此时，解得；
当直线时，符合题意，则；
当直线时，符合题意，则；
综上：当，，不能围成三角形，则或或，
故答案为：或或．
6．或或或
解：在中，当时，，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴；
当时，则点P的坐标为或，即点P的坐标为或，
当时，为等腰三角形，
∵点B在y轴上，点A、P在x轴上，
∴为中边上的高，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知也是边上的中线，
∴为的中点，
∴，且点P在x轴负半轴，
∴点P的坐标为；
当时，则，
设点P的坐标为
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或或，
故答案为：或或或．
三、解答题
7．（1）解：将，代入得，
解得
一次函数的表达式为；
（2）解：①当时，
点在一次函数图象上．
解得，
，
且是轴上的动点，
；
②当时，
过点作，垂足为，
由（1）得则，，
设，则，
由勾股定理得，，
，
，由勾股定理得，
，
解得，
，
；
综上，点的坐标为或．
8.（1）解：令得
∴；
，
令得
解得
∴，
，
在中，，
故答案为：，，5；
（2）解：由折叠的性质可知，，
，
设，则，
在中，，则，
解得：，
，
；
（3）解：存在，理由如下：
①若，
如图，过点作轴交轴于点，
，
，
，
，
，
∴，，
，
∴此时点的坐标为；
②若，
如图，过点作轴交轴点，
同理可得，此时点的坐标为；
③若，
如图，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，
，
∴∠BPM+∠APM=90 ，
，
，
，
，
设点的坐标为，
，
解得：，
∴此时点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．
9.（1）解：设直线对应的函数表达式为：，
∵直线交坐标轴于点，，
∴，
解得：，
∴直线对应的函数表达式为：．
（2）解：由题意可知：，，，
∴，
∵将 ABC沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合，
，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
解得，
即．
（3）解：∵P在直线上，
∴设，
∵，
∴，
解得或，
①当时，，
②当时，，
∴或．
10.（1）解：在中，
当时，，
当时，，
；
（2）解：设，
则，
，
，
解得或（舍去），
点的坐标为；
（3）解：当点D在x轴的正半轴上时，如图①，将沿直线折叠，
点恰好落在直线上的点处，
，
，
，
由翻折得，
，
，
在中，
即，
解得，
；
当点在轴的负半轴上时，如图②，将沿直线折叠，
当点恰好落在直线上的点处，
由翻折得，
，
，
，
在中，
即，
解得，
；
综上所述，点的坐标为或.
11.模型呈现：
证明：在 ABC中，，，
，
于点，于点，
，
，
，
在和中，，
；
模型应用：
解：令，则，
令，则，
则点A，B的坐标分别为：、，
过点C作轴于点H，如图所示：
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
则点，
设直线的解析式为，
将点A、C的坐标代入一次函数表达式得：，
解得，
故直线的表达式为；
深入探究：
解：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，如图：
把代入得，
解得，
把代入得，
，，
，，
直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R，
是等腰直角三角形，
，
∵∠PQW=90 ，
，
，
，
，
，，
，
，
设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
直线的解析式为，
在中，令得，
，
，
，
的面积为．
12.（1）设直线l的解析式为，
将和代入，得：
，
解得：，
∴直线l解析式为；
解方程组：，
得：，
∴；
（2）解：①∵过点作直线的平行线交直线于点．
∴设直线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
∴直线的解析式为；
②∵，
∴轴，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
13.（1）解：∵点在直线上，
∴，解得，
∴点，
∵点在直线上，
∴，解得，
故答案为：2，；
（2）解：∵直线与轴，轴分别交于两点，
令，可得；令，可得，
∴点，点，
∵直线与轴交于点，
令，可得，
∴点，
∴，
∴；
（3）解：①作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，
则，此时值最小，最小值为，
∵点，
∴点B关于x轴的对称点点，
又点，
设直线的表达式为，
∴，解得，
∴直线的表达式为，
令，可得，
∴点的坐标为；
故答案为：；
②∵，
∴，
当时，
∴，
即，
∴点的坐标为；
当时，
又，
∴，
即，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
故答案为：或．
14.（1）解：（1）①若，则直线．
当时，，
．
当时，，
，
．
②如图②，过点作轴于点，
，
．
是以为直角顶点的等腰直角三角形，．
，
，
，
，
，
点的坐标为．
故：①8 6 （2）
（2）解：的面积不发生变化．理由如下：
当变化时，点随之在轴负半轴上运动，
．
如图①，过点作轴于点．
，
．
，
，
，
．
，
，
，
．
故当变化时，的面积不发生变化．
15.（1）解：∵直线l：，
令，则，
∴直线l：的不动点坐标为；
（2）①解：令，解得：；
∴，
如图1，过点A作，垂足为，分别过点，点E作x轴的垂线，垂足分别为，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点代入直线l：，则，
解得：，
∴直线l的解析式为：，
将代入，则，
∴；
②直线是“旋转簇直线”，不动点的坐标，
设直线的解析式为，点，
将点代入直线得，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴直线是“旋转簇直线”，不动点的坐标．
16.（1）解：①∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：8；
②如图2，
过A作轴于C，过B作轴于D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在与中，
，
∴，
∴，，
∵点B的坐标为，
∴，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，代入，得，
，
解得：
∴直线的解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形，
设，则，，
同理可得，
∴，
∴，
∵在上，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
当在点的位置时，，
综上所述，或．

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