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2026 年中考一模数学试卷
一、选择题（共 30 分，每小题 3 分）
1．下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2． 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．一元二次方程 的两根为 、 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图， 是直径， 是弦且 ，垂足为 ．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 10 个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸
出红球的频率稳定在 0.3 左右，则袋子中红球的个数最有可能的是（ ）
A．10 B．0.3 C．3 D．7
7．如图，在平面直角坐标系中，点 在 轴正半轴上， ， 轴，双曲线 的
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图象经过 、 两点，若 的面积等于 ，则 的值为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图， 与 相交于点 ，点 在线段 上，且 ，若 ， ， ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在直角三角形 中， ，点 D 为 的中点，连接 ，过点 D 作 交
于点 E，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
10．如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 ，顶点是 ，则以下结论：
① ；② ；③若 ，则 或 ；④ ．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．①④
二、填空题（共 24 分，每小题 3 分）
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11．因式分解： _________．
12．一元二次方程 有两个不等实根，则 的取值范围是______．
13．已知点 A 的坐标为 ，则点 A 关于原点对称的点 B 的坐标为_______．
14．如图， 为 直径， 为 的一条弦， 于 E，连接 ， ． ，则
的大小为 _______ °．
15．如图，正比例函数与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，点 C 在 x 轴上，且 ，则
的面积为__________．
16．如图，在矩形 中， 为 的中点，连接 ，过点 作 ，与 的
延长线交于点 ， 平分 ，且点 在 边上，则 的长为______．
17．如图，在 中， ，点 D 为 中点，连接 ，过点 D 作 交 于点 E，
若 ，则 的值为_________．
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18．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图、俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小
立方块至少有________个．
三、解答题（共 66 分）
19．（6 分）如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点都在格点上，点 A、B、C 的坐标分别为
， ， ，请解答下列问题：
(1)若 与 关于原点 O 中心对称，请画出 ；
(2)画出 绕点 C 顺时针旋转 后得到的 ，请画出 并直接写出点 的坐标
及点 A 旋转时走过的路程（每个小正方形的边长为 1）．
20．（6 分）先化简，再求代数式 的值，其中 ．
21．（6 分）已知一件商品原售价为 120 元/件，商场计划对其进行降价促销，每件先降价 11.8 元，销量不
理想，又每件降价 11 元，销售异常火爆．若视作平均每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
22．（8 分）如图，点 E 是正方形 的边 上一点，连接 ，将线段 绕点 E 顺时针旋转一定的角
度得到 ，点 C 在 上，连接 交边 于点 G．
(1)若 ， ，求 的长；
(2)求证： ．
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23．（8 分）如图， 为 的直径， 的边 ， 分别与 交于 D，E，若 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
24．（8 分）如图，一次函数 的图象与 x 轴交于点 C，交 y 轴于点 D（点 C 与
点 D 不重合），与反比例函数 的图象交于 ，B 两点，已知 ．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点 是 x 轴上一点，若 的面积是 面积的 6 倍，求点 P 的坐标．
25．（8 分）如图，已知 中，以 为直径的 交 于点 ， ．
(1)求证： 为 的切线；
(2)若 为 中点， ， ，求 的长．
26．（6 分）为庆祝建党 周年，今年国庆节推出许多新影片，全国人民掀起了看电影的热潮．为此，同
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学们到几个社区作随机调查，了解市民对电影的喜爱程度．同学小王将自己的调查结果进行分类并绘制成
如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明： 《我和我的父辈》、 《长津湖》、 《铁
道英雄》、 《五个扑水的少年》）
(1)（3 分）请把条形统计图补充完整；扇形统计图中 类所在的扇形的圆心角度数是 ；
(2)（3 分）小王打算从喜欢《我和我的父辈》的 4 位璧山人民（一男三女）中，抽取两人分别赠送电影票
一张，问抽到一男一女的概率是多少？
27．（10 分）在平面直角坐标系中，抛物线 与 x 轴交于 A，B 两点．与 y 轴交于点 C．且
点 A 的坐标为 ，点 C 的坐标为 ．
(1)（3 分）求该抛物线的解析式；
(2)（3 分）如图甲，若点 P 是第一象限内抛物线上的一动点．当点 P 到直线 的距离最大时，求点 P 的
坐标；
(3)（4 分）图乙中，若点 M 是抛物线上一点，点 N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 M 使得以 B，C，
M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
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参考答案
1-5 DBCAD 6-10 CDBCC
11． 12． 且 13． 14．70
15．16 16． 17． 18．9
19．（1）如图所示， 即为所求：
（2）如图所示， 即为所求， ，
∵线段 ，
∴点 A 旋转时走过的路程为： ．
20．
,
∴原式 .
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21．设每次降价的百分率为 ．由题意，得 ．
解得 ， （舍去）．
答：每次降价的百分率是 ．
22．（1）由旋转的性质可知 ，
设 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）延长 到 H，使得 ，
∵ ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
23．（1）连接 、 ，
∵E 为 的中点
∴ ，
∴ ， ，
∵ 是直径所对的圆周角，
∴ ，
即 ，
∴
在 和 中
，
∴
∴ ，
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∴ ；
（2）在 中，
设半径为 r，则 ，
∵
∴ ，
∵ ，
∴
在 中
∴
解得： ．
24．（1）∵一次函数 的图象与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，与反比例函数
的图象交于 ，B 两点，
∴ ，
∴点 ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ；
当 时， ，
∴ ；
当 时， ，
∵ ，
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∴ ，
解得 或 （舍去，此时点 与点 重合），
∴一次函数的解析式为 ．
（2）∵一次函数图象交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 D，
∴点 ，点 ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 x 轴上一点，
∴ ．
∵ 的面积是 面积的 6 倍，
∴ ，
解得 或 ，
∴点 或点 ．
25．（1）证明如下：
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ 是半径，
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∴ 为 的切线．
（2）连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 中点，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
26．（1）∵被调查的总人数为： （人），
∴ 种类的人数为： （人），
补全图形如下：
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∴扇形统计图中 类所在的扇形的圆心角度数是 ；
（2）根据题意列表如下：
女 1 女 2 女 3 男
女 1 女 1 女 2 女 1 女 3 女 1 男
女 2 女 2 女 1 女 2 女 3 女 2 男
女 3 女 3 女 1 女 3 女 2 女 3 男
男 男女 1 男女 2 男女 3
由表可知总有 种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有 种，
∴抽到一男一女的概率为： ．
27．（1）将 A 的坐标 ，点 C 的坐标 代入 得：
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）过 P 作 轴于 D，交 于 Q，过 P 作 于 H，如图所示：
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在 中，令 得： ，
解得： 或 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴当 最大时， 最大，
设直线 解析式为 ，将 代入得 ，
解得： ，
∴直线 解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 最大为 ，
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∴ 时， 最大，即点 P 到直线 的距离最大，此时 ；
（3）存在，理由如下：
抛物线 对称轴为直线 ，
设 ， ，而 ， ，
①以 、 为对角线，则 、 的中点重合，如图：
∴ ，
解得： ，
∴ ；
②以 、 为对角线，则 、 的中点重合，如图所示：
∴ ，
解得 ，
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∴ ；
③以 、 为对角线，则 、 中点重合，如图所示：
，
解得 ，
∴ ；
综上所述，M 的坐标为： 或 或 ．
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