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第23章《一次函数》--一次函数中含参数问题
一、单选题
1．已知一次函数（a为常数）的图象过第一、三、四象限，则a的值可以是（ ）
A．8 B．5 C．3 D．0
2．已知一次函数（为常数）的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数，则当时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．若关于的函数是一次函数，则的值为（ ）
A．1或 B．1或 C．或 D．1或或
4．规定：是一次函数（为实数，）的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
5．一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为（　　）
A．B． C． D．
6．小明在探究直线l：的性质时，得到如下结论：
①直线l必经过点；
②直线l的图像经过一、三、四象限；
③若点，在直线l上，，则；
④点O到直线l的距离的最大值为5．
则以上结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
7．如果一次函数（为常数，）的图象经过点，那么的值随的增大而__________．（填“增大”或“减小”）
8．是关于的一次函数，则___________．
9．若点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是 （填“”或“”）．
10．当时，一次函数（a为常数），图象在x轴上方，则a的取值范围______．
11．已知一次函数（是常数且）．
（1）若该一次函数是正比例函数，则____________；
（2）当时，该一次函数有最大值8，则的值为____________．
12．定义：在函数中，我们把关于x的一次函数与称为一组对称函数，例如与是一组对称函数．请完成下列问题：
（1）一次函数的对称函数在y轴上的截距为______；
（2）若一次函数的对称函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，且的面积为8，则k的值为______．
三、解答题
13．已知一次函数，当时，，求k的值．
14．（1）若函数是正比例函数，求m的值；
（2）若函数是一次函数，求m的值．
15．已知一次函数．
(1)当m为何值时，y随x的增大而增大；
(2)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方；
(3)当m为何值时，函数图象经过原点．
16．已知一次函数的图象经过点和点，且点在正比例函数的图象上．
(1)求该一次函数的表达式．
(2)若是该一次函数图象上的两点
①请判断的大小关系，并说明理由．
②当时，求函数值的取值范围．
17.已知一次函数（k，b是常数，且）．
(1)若，点在一次函数图象上，求的值．
(2)若，求一次函数图象与轴的交点坐标．
(3)若，，点，在一次函数图象上，且，判断q，n的大小关系．
18.已知一次函数过定点，另一个一次函数为．
(1)请你判断是否过定点，并说明理由．
(2)点和点分别在一次函数和的图象上，求证：．
(3)设函数，当时，函数有最大值，求的值．
19.已知一次函数，（，k，b为常数）的图象分别记为，，当时，．
(1)求b的值；
(2)若点在上，点在上．
①当时，若，，比较p、q大小，并说明理由；
②当时，．若k，m都为整数，求q的最大值．
20.一次函数恒过定点．
(1)若一次函数还经过点，求的表达式；
(2)若有另一个一次函数．
①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：；
②设函数，当时，函数有最大值8，求的值．
21.如图1，若一次函数图象经过，，则有．例如：一次函数的图象经过和，则有．
(1)若点，在一次函数图象上，则______；
(2)若一次函数在范围内，函数的最大值与最小值的差为3，求k的值；
(3)如图2，点A，B在直线上，点C，D在直线上，已知轴，轴，且，求与满足的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、单选题
1．D
解：∵ 一次函数的图象过第一、三、四象限，
∴，即，
观察选项，只有选项D中的0满足．
2．A
解：∵一次函数随的增大而减小，
∴，
解得，
∵函数图象与轴负半轴相交，
∴当时，，
解得，
∴，
∵为整数，
∴，
∴一次函数，
当时，则，
解得．
3．D
解：∵函数是一次函数，
∴需考虑的情况：
情况1：当系数时，即，函数化为，是一次函数；
情况2：当指数时，即，函数化为，是一次函数；
情况3：当指数时，即，函数化为，是一次函数；
其他情况均不满足一次函数定义；
故选：D．
4．A
解：由题意得：
∵“特征数”是的一次函数是正比例函数，
∴，
∴．
故选A．
5．C
解：根据一次函数的图象分析可得：
对于A、由一次函数图象可知，则；
正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意；
对于B、由一次函数图象可知，则；
正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意；
对于C、由一次函数图象可知，；
正比例函数的图象可知，故此选项符合题意；
对于D、由一次函数图象可知，；
正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意．
6．C
①∵直线可变形为，
∴当时，，与取值无关，
∴直线必经过点，结论①正确；
②∵，
∴
∴，
∵，
∴直线经过一、二、四象限，结论②错误；
③∵，一次函数中随的增大而减小，
∴当时，，结论③正确；
④∵直线恒过定点，根据垂线段最短，点到直线的距离（当时取等号），
∵，
∴点到直线的距离的最大值为5，结论④正确；
综上，正确的结论是①③④．
故选：C．
二、填空题
7．减小
解：∵一次函数（为常数，）的图象经过点，
∴，
解得，
∴y 的值随 x 的增大而减小．
故答案为：减小
8．
解：由一次函数的定义，得
解方程，
，
或 ．
当 时，，系数为 0，不符合一次函数定义，
当 时，，符合一次函数定义．
故答案为： ．
9．
解：∵在一次函数中，比例系数，
∴随的增大而增大，
又∵，
∴．
10．或
解：一次函数为，
当，即时，一次函数为增函数，最小值为处，
当时，，
∵当时，一次函数（a为常数），图象在x轴上方，
∴，
∴，
∴；
当，即时，一次函数为减函数，最小值为处，
当时，，
∵当时，一次函数（a为常数），图象在x轴上方，
∴，
∴，
∴；
综上，的取值范围为或，
故答案为：或．
11． 2 0或
（1）因为该一次函数是正比例函数，
所以常数项为零，即，
解得．
故答案为：2；
（2）当时，即，函数随x的增大而增大，最大值在处取得．
代入得：，
化简得，
解得．
当时，即，函数随x的增大而减小，最大值在处取得．
代入得：，
化简得，
解得．
综上，m的值为0或．
故答案为：0或．
12． 8
解：（1）根据对称函数的定义，
可知一次函数的对称函数是，
当时，，
一次函数在轴上的截距为，
故答案为：；
（2）根据对称函数的定义，
可知一次函数的对称函数为，
当时，，
点坐标为，
，
，
当时，，
点坐标为，
，
三角形的面积为8，
，
解得或（舍，
故答案为：8．
三、解答题
13．解：∵一次函数，当时，，
∴，
解得：．
14．（1）解：∵函数是正比例函数，
∴，
∴；
（2）解：∵函数是一次函数，
∴且，
解得．
15．（1）解：∵y随x的增大而增大，
∴，
∴．
（2）解：∵一次函数图象与y轴的交点在x轴的下方，
∴，，
∴且．
（3）解：∵一次函数图象经过原点，
∴，
解得．
16．（1）解：∵点在上，
∴，
解得，
∴，
∵过和，
∴，
解得，，
∴一次函数表达式为；
（2）解：①∵，
∴中，随的增大而减小，
∵，
∴；
②∵，
，
∴，即，
∵中，随的增大而减小，
∴．
17.（1）解：把代入得，
又点在一次函数的图象上，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
令，则，
∵，
∴，
解得：，
所以，一次函数与轴的交点坐标为；
（3）解：由已知得，，
∴，
又，
∴，
∴；
∴一次函数中，函数值随的增大而减小，
∵点，在一次函数图象上，且，
∴．
18.（1）解：因为一次函数过定点，
所以，；
当时，，
所以一次函数过定点．
（2）解：因为点和点分别在一次函数和的图象上，
所以，，即；
因为，所以；
因为，所以，即；
（3）解：，
①若，随的增大而增大，当时，，解得；
②若，随的增大而减小，当时，，解得；
所以的值为或．
19.（1）解：当时，，，
，
，
；
（2）解：①，理由如下：
由题意：，，
，
，
，
，，
，，
，
，
；
②由题意：，，
，
∴，
，
，
，
k，m都为整数，1为整数，
为整数，
是2的因数，
或或2或，
或0或3或，
又且，
当时，，不合题意，故舍去，
的取值为0，2，3，
，
又，
q随m的增大而增大，
当时，q的最大值为6．
20.（1）解：∵一次函数恒过定点，且经过点，
∴，解得，
∴；
（2）解：①证明：∵点在的图象上，
∴；
∵点在的图象上，
∴；
∴，
又∵恒过，
∴，即，
∴，移项化简得，
∵，
∴；
②∵，，
∴，
分两种情况讨论：
当时，，
∴在上随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，
最大值为，即，解得；
当时，，
∴在上随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，
最大值为，即，解得；
综上，的值为或．
21.（1）解：∵点，在一次函数图象上，
∴；
（2）解：当时，y随x的增大而增大，
∴当时，函数有最小值，当时，函数有最大值，
∵函数的最大值与最小值的差为3，
∴；
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，
∵函数的最大值与最小值的差为3，
∴；
综上，；
（3）解：；理由如下
∵轴，轴，
∴，，，
根据题意可得：，
，
∴，
∵，
∴，即．

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