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8.3实数及其简单运算
一、单选题
1．下列各数中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．在实数，，0，3这四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．3
3．实数的整数部分是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
5．数轴上表示1，的点分别为A，B，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
6．若a，b均为正整数，且，，则的最小值是（ ）
A．4 B．2 C．5 D．3
7．有一个数值转换器，原理如图．当输入的为64时，输出的为（ ）
A．4 B． C． D．
8．已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（ ）
A． B．
C． D．2026
9．若我们约定：表示不大于x的最大整数，例如：，，，记，则的值为（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
10．定义：是不大于数x的最大整数，如：，，．规定是x的小数部分．设，a是x的小数部分，b是的小数部分；．则（ ）
A． B． C．0 D．1
二、填空题
11．请写出一个小于的无理数：______．（写出一个正确答案即可）
12．比较大小：__________（填“＞”、“＝”或“＜”）．
13．的算术平方根是________，的立方根是________，的平方根是________，的绝对值是________．
14．如图，实数，，在数轴上对应点的位置，化简的结果为________．
15．规定：若一个非零实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则的值是________．
16．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______．
三、解答题
17．请将下列各数分别填入相应的括号内：…（两个6之间依次增加一个5），，0，，8，，，，，，．
正数：{ ，…}；
有理数：{ ，…}；
负数：{ ，…}；
无理数：{ ，…}．
18．计算：
(1)； (2)．
19．我们知道：，它是无限不循环小数，它的整数部分是3，可以用来表示它的小数部分，请根据上述方法解答：
(1)的整数部分__________；
(2)为的整数部分，为的小数部分，求解的值．
20．已知某个数的平方根是和，且的算术平方根是．
(1)求、的值；
(2)求的立方根并判断其与的大小关系．
21．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，）
(1)求摆针摆动的周期．
(2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？
22．如图是一个数值转换器（）
(1)当输入的为时，输出的值是________；
(2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________；
(3)若输出的是，求的负整数值．
23．对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：，
观察上述式子的特征，解答下列问题：
(1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）：
______________；______________．
(2)当时，______________；当时，______________．
(3)计算：．
参考答案
一、单选题
1．C
解：是无理数，，，是有理数
2．B
解：∵，
∴，
∴，
∴，
因此最小的数是．
3．B
解：∵，
∴ ，
即，
∴的整数部分是．
4．B
解：∵，
∴，
在数轴上表示实数的点可能是点B．
5．B
解：∵数轴上表示1，的点分别为A，B，
∴线段的长为．
6．A
解：∵，，且，
∴，
又∵为正整数且，
∴的最小值为3，
∵，，且，
∴，
又∵为正整数且，
∴，
∴的最小值为．
7．B
解：当输入的为时，其立方根为，它是有理数，返回继续运算；的立方根为，它是无理数，输出的值.
故选：B．
8．B
解：由条件可知：这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同，
∵ ，
∴ 第项为负平方根，即.
故选：B．
9．B
解：，
，
，
当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个，
则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，
，
，
故选：B．
10．A
解：∵
∴
，即
又
，即
．
二、填空题
11．（答案不唯一）
解：，
，
即为小于的无理数．（答案不唯一）
12．
解：∵，，且，
∴．
故答案为：．
13． 9 /
解：，81的算术平方根是，
的立方根是，
，5的平方根是，
的绝对值是，
故答案为：9，，，．
14．
解：由数轴可得，
∴，
∴
，
故答案为：．
15．
解：设最美实数为，则，且，
两边六次方得，
即，
解得：或，
由于为非零实数，
，
，
解得：．
故答案为：．
16．256
解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大，
设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ，
设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为，
验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2．
故答案为：256．
三、解答题
17．解：正数：；
有理数：；
负数：{（两个6之间依次增加一个5），，，，，…}；
无理数：{（两个6之间依次增加一个5），，，，，…}．
18．（1）解：
；
（2）
．
19．（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分为2；
故答案为：2；
（2）解：∵，
∴，
∴的整数部分为3，小数部分为，
∴，
∴．
20．（1）解：某个数的平方根是和，
，
解得；
的算术平方根是，
，
解得；
（2）解：由（1）知，，
，
则的立方根是，
，
．
21．（1）解：∵，
∴当时，；
（2）（次）．
答：该座钟大约发出了420次滴答声．
22．（1）解：当时，，，3不是无理数，
再求算术平方根，是无理数，
∴ 当输入的为时，输出的值是；
故答案为：；
（2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数，
∴当或时，始终输不出y值，
∴或或；
故答案为：2或3或1；
（3）解：若第1次运算是，
∴，
∴，
解得或，
∵为负整数，
∴输入的值为；
若第2次运算是，
∴，，
∴，
解得或，
∵为负整数，
∴ 输入的值为，
∴，
∴的负整数值为或．
23．（1）解：、，
故答案为：，；
（2）解：当时，，
当时，，
故答案为：，；
（3）解：
．

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