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贵州省铜仁市玉屏侗族自治县2025年中考三模数学试题
一、选择题(以下每个小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分)
1．（2025·玉屏模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用相反数的定义（①符号相反；②绝对值相同的两个数互为相反数）分析求解即可.
2．（2025·玉屏模拟）2025年春节档，动画巨制《哪吒之魔童闹海》以其震撼的视听体验与精彩绝伦的故事，成功点燃观众的热情，掀起观影热潮．据网络平台数据显示，截至2025年4月12日，这部影片票房(含预售)已接近15200000000元，其中数据15200000000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：科学记数法要求数字写成 “≥1 且 < 10 的数 × 10n” 的形式。将 152000000000 转化为 1.52×10 ，
故答案为：C。
【分析】先明确科学记数法的规范要求，再将原数转化为符合标准的形式，最后对照选项选出正确答案。
3．（2025·玉屏模拟）化学实验室中竖直放置的玻璃漏斗，其主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是从物体正前方观察得到的平面图形。竖直放置的玻璃漏斗，正面看是上宽下窄的梯形主体，下方连接细长管状结构，边缘为直线 ：
故答案为：C。
【分析】 明确主视图是从物体正面观察得到的平面图形，结合漏斗的结构特征，判断符合正面视角的图形。
4．（2025·玉屏模拟）在下面（　　）盒子中，摸到红球的可能性最大．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：A、总球数为 1+2=3，红球 2 个，摸到红球的概率为；B、总球数为 9+4=13，红球 4 个，摸到红球的概率为；
C、总球数为 5+5=10，红球 5 个，摸到红球的概率为；
D、无红球，摸到红球的概率为 0。
比较概率大小：> > > 0，因此选项 A 中摸到红球的可能性最大。
故答案为：A。
【分析】计算每个盒子中红球数量占总球数的比例，比较比例大小，比例越大则摸到红球的可能性越大。
5．（2025·玉屏模拟）如表是某位男子马拉松长跑运动员近6次的比赛成绩：(单位：分钟)
第几次 1 2 3 4 5 6
比赛成绩 145 147 140 129 136 125
则这组成绩的中位数为（　　）
A．137 B．138 C．140 D．136
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：先把这 6 次比赛成绩按从小到大排列：125、129、136、140、145、147。因为数据个数是偶数，所以取中间第 3 个和第 4 个数据的平均数作为中位数，即 (136+140)÷2=138。所以这组成绩的中位数是 138，
故答案为：B。
【分析】 先将这组成绩按从小到大的顺序排列，再根据数据个数为偶数的特点，取中间两个数的平均值作为中位数。
6．（2025·玉屏模拟）已知反比例函数的图象上，随的增大而减小，则的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数的图象上，随的增大而减小，
，
，
故选：A．
【分析】根据反比例函数性质与系数的关系即可求出答案.
7．（2025·玉屏模拟）把不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】不等式 - 1 < x ≤ 2 中，-1 不包含在解集中，用空心圈标记；2 包含在解集中，用实心点标记，解集范围是 - 1 到 2 之间的所有数。
数轴上表示为：，
故答案为：B。
【分析】根据不等式解集的边界符号，在数轴上用空心圈或实心点标记端点，再画出对应区间。
8．（2025·玉屏模拟）一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若直线，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
9．（2025·玉屏模拟）如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵如图：，
∴，
故选：D．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出答案.
10．（2025·玉屏模拟）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故答案为：B.
【分析】设该店有客房x间，房客y人， 根据一间客房住7人，那么有7人无房可住可得7x+7=y；根据一间客房住9人，那么就空出一间客房可得9(x-1)=y，联立可得方程组.
11．（2025·玉屏模拟）如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：在△ABC 中，∠B=70°，∠C=30°，所以∠BAC=180° 70° 30°=80°。
由作图可知，MN 是 AC 的垂直平分线，因此 AD=CD，∠DAC=∠C=30°。
所以∠BAD=∠BAC ∠DAC=80° 30°=50°。
故答案为：B。
【分析】 先利用三角形内角和求出∠BAC，再根据作图得到 MN 是 AC 的垂直平分线，推出 AD=CD，进而得到∠DAC=∠C，最后用∠BAC 减去∠DAC 得到∠BAD 的度数。
12．（2025·玉屏模拟）如图，已知开口向下的抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列选项中的结论，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．关于x的方程有两个不相等的实数根
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，故；对称轴为直线，由对称轴公式，可得；抛物线与轴交于正半轴，故。
A、、、，则， A正确；
B、由对称轴公式得，代入得，故， B正确；
C、已知抛物线与轴一个交点为，对称轴为，由对称性可得另一交点为。因此当时，，并非小于0， C错误；
D、方程可整理为，其判别式。结合、，可推得，故方程有两个不相等实数根， D正确；
故答案为：C。
【分析】结合抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点等信息，逐一分析每个选项的代数符号与结论正确性，找出错误选项。
二、填空题(本大题4个小题，每小题4分，共16分)
13．（2025·玉屏模拟）2025年第九届亚洲冬季运动会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”，旨在通过“冰雪”这一元素串联亚洲各国，打造冰雪经济新增长级，促进亚洲各国和“一带一路”国家的人文交流．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，若建立适当的平面直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：根据题意可建立如下坐标系，
∴，
故答案为：．
【分析】 根据点 A 和点 B 的坐标，确定平面直角坐标系的原点位置与坐标轴方向，再据此确定点 C 的坐标。
14．（2025·玉屏模拟）关于的方程有两个不相等的实数根，则整数的值可以是　 　(填一个即可)．
【答案】（不唯一）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故只需整数即可，
故答案为：（不唯一）．
【分析】利用一元二次方程根的判别式，根据 “有两个不相等实数根” 的条件，确定判别式大于 0；代入系数计算判别式，建立关于整数 k 的不等式，求解得到 k 的取值范围；在取值范围内选取一个满足条件的整数 k 即可。
15．（2025·玉屏模拟）某校为了解九年级男生中考体育项目的训练情况，决定让每名九年级男生通过抽签的方式从掷实心球、足球、1000米跑、1分钟跳绳四个项目中随机选择一项进行测试，则甲、乙两名男生抽到同一个项目的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：设掷实心球、足球、1000米跑、1分钟跳绳四个项目分别用A，B， C， D表示，根据题意，
列出表格如下：
　 A B C D
A A，A A，B A，C A，D
B B，A B，B B，C B，D
C C，A C，B C，C C，D
D D，A D，B D，C D，D
一共有16种等可能结果，其中甲、乙两名男生抽到同一个项目的有4种，.甲、乙两名男生抽到同一个项目的概率为
故答案为：.
【分析】设掷实心球、足球、1000 米跑、1分钟跳绳四个项目分别用A， B， C， D表示，列出表格，得出总的可能数和甲、乙两名男生抽到同一个项目的可能数，再由概率公式计算即可。
16．（2025·玉屏模拟）已知点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点，为y轴上一点，连接，，则四边形面积的最小值为　 　．
【答案】6
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；直角三角形斜边上的中线；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：取的中点E，连接，
∵，
∴，
当时，最小，就最小，与都最小，就最小，
∵点为直线上一点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
．
故答案为：6．
【分析】取的中点E，连接，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，当时，最小，就最小，与都最小，就最小，将点D坐标代入直线解析式可得，根据两点间距离可得DE，OC，再根据三角形面积即可求出答案.
三、解答题(本大题9个小题，共98分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形)
17．（2025·玉屏模拟）（1）计算：
（2）化简：
【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1) 分别计算算术平方根、零指数幂和绝对值，再进行加减运算得出结果。
(2) 先对括号内分式通分，再将除法转化为乘法，因式分解后约分得到最简分式。
18．（2025·玉屏模拟）某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（表示成绩，单位：分），组：；组：；组：；组：；组：．并绘制出如图两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加初赛的选手共有_______名，请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，组对应的圆心角是_______度，组人数占参赛选手的百分比是_______；
（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，组6名选手直接进入代表队，现要从组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1），B组有：（名）
频数分布直方图补充如下：
（2），
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有8种结果，
∴抽取的两人恰好是一男生和一女生的概率为

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）参加初赛的选手共有：（名）
故答案为：40
（2）C组对应的圆心角度数是：
E组人数占参赛选手的百分比是：
故答案为：，
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可用A组人数除以A组所占百分比得到参加初赛的选手总人数，用总人数乘以B组所占百分比得到B组人数，从而补全频数分布直方图；
（2）用360度乘以C组所占百分比得到C组对应的圆心角度数，用E组人数除以总人数得到E组人数占参赛选手的百分比；
（3）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏、列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）参加初赛的选手共有：（名）
B组有：（名）
频数分布直方图补充如下：
故答案为：40
（2）C组对应的圆心角度数是：
E组人数占参赛选手的百分比是：
故答案为：，
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有8种结果，
∴抽取的两人恰好是一男生和一女生的概率为
19．（2025·玉屏模拟）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求的面积．
【答案】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：.
（2）解：∵，
∴，
∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为8，点D的横坐标为8．
∴，，
∴，，
∴，
过点A作轴交于点E，则，
∴，
∴.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出点B和点D的坐标，再求出AE=4，最后利用三角形的面积公式计算求解即可.
（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：．
（2）∵，
∴，
∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为8．点D的横坐标为8．
∴，，
∴，，
∴，
过点A作轴交于点E，则，
∴，
∴
20．（2025·玉屏模拟）如图，在矩形中，对角线、相交于点，过点作的垂线与、的延长线相交于点、．
（1）求证：；
（2）若，，求及的长．
【答案】（1）解：∵四边形是矩形，∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，，，∴，，， ，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
又∵ ，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵，
∴，
∴．
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1) 利用矩形对角线互相平分得 BE=DE，由 AB 平行 CD 推出角 F 等于角 G，结合 FG 垂直 BD 得到的直角相等，用 AAS 证明三角形 FBE 全等于三角形 GDE。
(2)先通过勾股定理算出矩形对角线 AC 的长度；再证明三角形 FBE 相似于三角形 BDC，由相似比求出 FE 的长度，根据全等得 GE 和 FE 相等，最后算出 FG 的总长度。
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，，，
∴，，， ，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
又∵ ，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵，
∴，
∴．
21．（2025·玉屏模拟）在长为米的书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚厘米，每本语文书厚厘米．
（1）若数学书和语文书共本恰好摆满该书架，问数学书和语文书各有多少本？
（2）若书架上已摆放了本数学书，那么最多还可以摆多少本语文书？
【答案】（1）解：设书架上数学书有本，语文书有本，
由题意得：，
解得，
答：数学书有本，语文书有本．
（2）解：设再摆本语文书，
根据题意得：，
解得：，
答：最多还可以摆本语文书．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）设书架上数学书有本，语文书有本，由题中的两个相等关系“x本数学书+y本语文书=100，x本数学书的费用+y本语文书的费用=100”可列关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设再摆本语文书，根据题中的不等关系列出关于m的不等式，解不等式即可求解．
（1）解：设书架上数学书有本，语文书有本，
由题意得：，
解得，
答：数学书有本，语文书有本．
（2）解：设再摆本语文书，
根据题意得：，
解得：，
答：最多还可以摆本语文书．
22．（2025·玉屏模拟）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，为了测量此展板的最高点A到地面l的高度．绘制了如图2所示的展板侧面的截面图（底座高度忽略不计），并测得，，与水平线的夹角，与水平线的夹角，请求出展板最高点A到地面l的距离（精确到1cm，参考数据：，，，，，）
【答案】解：如图所示，
在中，，
∵
∴
在中，，
∵
∴
∴A到地面l的距离为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点 B 作水平线交 A 的竖直线于 C，构造直角三角形 ABC，利用角 1 的正弦值计算 AC 的长度。过点 B 作 BF 到地面 l，构造直角三角形 BEF，利用角 2 的正弦值计算 EF 的长度。将 AC 与 EF 相加，得到点 A 到地面 l 的总距离并精确到整数。
23．（2025·玉屏模拟）图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D＝108°，连结AC．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若AB＝8，且∠DCA＝27°，求DC的长度；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=108°，∴∠B=180°－∠ADC=180°－108°=72°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°－72°=18°；
（2）如图，连接OC，OD，
∵∠ADC=108°，∠DCA=27°，
∴∠DAC=180°－108°－27°=45°，
∴∠DOC=2∠DAC=90°，
∵AB=8，
∴OD=OC=OA=4，
∴在中，；
（3）∵∠DOC=90°，OD=4，
∴S扇形OCD，
又∵，
∴S阴影=S扇形OCD－S△OCD=．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)利用圆内接四边形对角互补求出∠B，再结合直径所对圆周角为直角，通过三角形内角和算出∠BAC。
(2)先在△ADC 中算出∠DAC，再由圆周角定理得到圆心角∠DOC=90°，最后在等腰直角△OCD 中用勾股定理求出 DC。
(3)用扇形 OCD 的面积减去△OCD 的面积，分别代入扇形面积公式和三角形面积公式计算。
24．（2025·玉屏模拟）某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡上的点C处，以水平地面为轴，为轴建立平面直角坐标系如图．已知抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为，米，点为抛物线的顶点，过点作轴于点，点到轴的水平距离米．
（1）请求出抛物线的函数表达式；
（2）求点的坐标．
（3）点是点左侧抛物线上一点，过点作轴交坡面于点，若石头运动到点时到坡面的铅直高度为米，求此时石头（点）到轴的距离．
【答案】（1）解：由题可得，将代入，得，∴，
∵抛物线的顶点横坐标为，
∴，
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：联立，得（负值舍去），
∴；
（3）解：由题意可得，，解得，（舍去），
∴此时石头到轴的距离为米．
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1) 将 A 点坐标代入抛物线表达式求出 a，再结合顶点横坐标为 20，求出 b，从而确定抛物线表达式。
(2) 联立抛物线与直线 OB 的解析式，解方程组，舍去不合题意的解，确定 C 点坐标。
(3) 根据 M、N 纵坐标之差列出方程，求解并舍去大于 20 的根，得到点 M 到 y 轴的距离。
（1）解：由题可得，将代入，得，
∴，
∵抛物线的顶点横坐标为，
∴，
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：联立，
得（负值舍去），
∴；
（3）解：由题意可得，，
解得，（舍去），
∴此时石头到轴的距离为米．
25．（2025·玉屏模拟）如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．
（1）在图中，作的高线；
（2）在图中．
在边上画一点，使平分的面积；
点是边上任意一点，在的条件下，在上画一点，使，并说明理由．
（3）在图中，在边上画一点F，使．
【答案】（1）解：如图所示，
线段即为所求；
（2）解：如图所示，
线段即为所求；
如图所示，点即为所求，
理由：∵线段AB与线段A'B关于BC对称，
∴AB=A'B，∠EBN=∠E'BN，
∵点E与点E'分别为AB、A'B的中点，
∴BE=BE'，
∴在△BEN和△BE'N中，
，
∴△BEN≌△BE'N（SAS），
∴∠ENB=∠E'NB，
∵∠E'NB=∠MNC，
∴∠ENB=∠MNC.
（3）解：如图所示，
点即为所求.
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）首先选择格点，然后连接，并将该连线延长至与相交于点，CD即为所求；
（） 找到的中点，连接即可；
先作出关于的对称线段，取其中点。然后连接与相交于点，最后连接即可；
（）选取格点构造等腰直角三角形，再取格点和，连接与相交于点，连接并延长使其与相交于点，点即为所求.
（1）解：如图，线段即为所求；
（2）解：如图中，线段即为所求；
如图中，点即为所求；
（3）解：如图中，点即为所求，
理由：由网格可知：，
∴，
∴点即为所求．
1 / 1贵州省铜仁市玉屏侗族自治县2025年中考三模数学试题
一、选择题(以下每个小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分)
1．（2025·玉屏模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．2
2．（2025·玉屏模拟）2025年春节档，动画巨制《哪吒之魔童闹海》以其震撼的视听体验与精彩绝伦的故事，成功点燃观众的热情，掀起观影热潮．据网络平台数据显示，截至2025年4月12日，这部影片票房(含预售)已接近15200000000元，其中数据15200000000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·玉屏模拟）化学实验室中竖直放置的玻璃漏斗，其主视图是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·玉屏模拟）在下面（　　）盒子中，摸到红球的可能性最大．
A． B．
C． D．
5．（2025·玉屏模拟）如表是某位男子马拉松长跑运动员近6次的比赛成绩：(单位：分钟)
第几次 1 2 3 4 5 6
比赛成绩 145 147 140 129 136 125
则这组成绩的中位数为（　　）
A．137 B．138 C．140 D．136
6．（2025·玉屏模拟）已知反比例函数的图象上，随的增大而减小，则的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
7．（2025·玉屏模拟）把不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·玉屏模拟）一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若直线，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·玉屏模拟）如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·玉屏模拟）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025·玉屏模拟）如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·玉屏模拟）如图，已知开口向下的抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列选项中的结论，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．关于x的方程有两个不相等的实数根
二、填空题(本大题4个小题，每小题4分，共16分)
13．（2025·玉屏模拟）2025年第九届亚洲冬季运动会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”，旨在通过“冰雪”这一元素串联亚洲各国，打造冰雪经济新增长级，促进亚洲各国和“一带一路”国家的人文交流．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，若建立适当的平面直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为　 　．
14．（2025·玉屏模拟）关于的方程有两个不相等的实数根，则整数的值可以是　 　(填一个即可)．
15．（2025·玉屏模拟）某校为了解九年级男生中考体育项目的训练情况，决定让每名九年级男生通过抽签的方式从掷实心球、足球、1000米跑、1分钟跳绳四个项目中随机选择一项进行测试，则甲、乙两名男生抽到同一个项目的概率为　 　．
16．（2025·玉屏模拟）已知点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点，为y轴上一点，连接，，则四边形面积的最小值为　 　．
三、解答题(本大题9个小题，共98分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形)
17．（2025·玉屏模拟）（1）计算：
（2）化简：
18．（2025·玉屏模拟）某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（表示成绩，单位：分），组：；组：；组：；组：；组：．并绘制出如图两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加初赛的选手共有_______名，请补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，组对应的圆心角是_______度，组人数占参赛选手的百分比是_______；
（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，组6名选手直接进入代表队，现要从组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
19．（2025·玉屏模拟）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求的面积．
20．（2025·玉屏模拟）如图，在矩形中，对角线、相交于点，过点作的垂线与、的延长线相交于点、．
（1）求证：；
（2）若，，求及的长．
21．（2025·玉屏模拟）在长为米的书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚厘米，每本语文书厚厘米．
（1）若数学书和语文书共本恰好摆满该书架，问数学书和语文书各有多少本？
（2）若书架上已摆放了本数学书，那么最多还可以摆多少本语文书？
22．（2025·玉屏模拟）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，为了测量此展板的最高点A到地面l的高度．绘制了如图2所示的展板侧面的截面图（底座高度忽略不计），并测得，，与水平线的夹角，与水平线的夹角，请求出展板最高点A到地面l的距离（精确到1cm，参考数据：，，，，，）
23．（2025·玉屏模拟）图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠D＝108°，连结AC．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若AB＝8，且∠DCA＝27°，求DC的长度；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
24．（2025·玉屏模拟）某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡上的点C处，以水平地面为轴，为轴建立平面直角坐标系如图．已知抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为，米，点为抛物线的顶点，过点作轴于点，点到轴的水平距离米．
（1）请求出抛物线的函数表达式；
（2）求点的坐标．
（3）点是点左侧抛物线上一点，过点作轴交坡面于点，若石头运动到点时到坡面的铅直高度为米，求此时石头（点）到轴的距离．
25．（2025·玉屏模拟）如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．
（1）在图中，作的高线；
（2）在图中．
在边上画一点，使平分的面积；
点是边上任意一点，在的条件下，在上画一点，使，并说明理由．
（3）在图中，在边上画一点F，使．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用相反数的定义（①符号相反；②绝对值相同的两个数互为相反数）分析求解即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：科学记数法要求数字写成 “≥1 且 < 10 的数 × 10n” 的形式。将 152000000000 转化为 1.52×10 ，
故答案为：C。
【分析】先明确科学记数法的规范要求，再将原数转化为符合标准的形式，最后对照选项选出正确答案。
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是从物体正前方观察得到的平面图形。竖直放置的玻璃漏斗，正面看是上宽下窄的梯形主体，下方连接细长管状结构，边缘为直线 ：
故答案为：C。
【分析】 明确主视图是从物体正面观察得到的平面图形，结合漏斗的结构特征，判断符合正面视角的图形。
4．【答案】A
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：A、总球数为 1+2=3，红球 2 个，摸到红球的概率为；B、总球数为 9+4=13，红球 4 个，摸到红球的概率为；
C、总球数为 5+5=10，红球 5 个，摸到红球的概率为；
D、无红球，摸到红球的概率为 0。
比较概率大小：> > > 0，因此选项 A 中摸到红球的可能性最大。
故答案为：A。
【分析】计算每个盒子中红球数量占总球数的比例，比较比例大小，比例越大则摸到红球的可能性越大。
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：先把这 6 次比赛成绩按从小到大排列：125、129、136、140、145、147。因为数据个数是偶数，所以取中间第 3 个和第 4 个数据的平均数作为中位数，即 (136+140)÷2=138。所以这组成绩的中位数是 138，
故答案为：B。
【分析】 先将这组成绩按从小到大的顺序排列，再根据数据个数为偶数的特点，取中间两个数的平均值作为中位数。
6．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数的图象上，随的增大而减小，
，
，
故选：A．
【分析】根据反比例函数性质与系数的关系即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】不等式 - 1 < x ≤ 2 中，-1 不包含在解集中，用空心圈标记；2 包含在解集中，用实心点标记，解集范围是 - 1 到 2 之间的所有数。
数轴上表示为：，
故答案为：B。
【分析】根据不等式解集的边界符号，在数轴上用空心圈或实心点标记端点，再画出对应区间。
8．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵如图：，
∴，
故选：D．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故答案为：B.
【分析】设该店有客房x间，房客y人， 根据一间客房住7人，那么有7人无房可住可得7x+7=y；根据一间客房住9人，那么就空出一间客房可得9(x-1)=y，联立可得方程组.
11．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：在△ABC 中，∠B=70°，∠C=30°，所以∠BAC=180° 70° 30°=80°。
由作图可知，MN 是 AC 的垂直平分线，因此 AD=CD，∠DAC=∠C=30°。
所以∠BAD=∠BAC ∠DAC=80° 30°=50°。
故答案为：B。
【分析】 先利用三角形内角和求出∠BAC，再根据作图得到 MN 是 AC 的垂直平分线，推出 AD=CD，进而得到∠DAC=∠C，最后用∠BAC 减去∠DAC 得到∠BAD 的度数。
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，故；对称轴为直线，由对称轴公式，可得；抛物线与轴交于正半轴，故。
A、、、，则， A正确；
B、由对称轴公式得，代入得，故， B正确；
C、已知抛物线与轴一个交点为，对称轴为，由对称性可得另一交点为。因此当时，，并非小于0， C错误；
D、方程可整理为，其判别式。结合、，可推得，故方程有两个不相等实数根， D正确；
故答案为：C。
【分析】结合抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点等信息，逐一分析每个选项的代数符号与结论正确性，找出错误选项。
13．【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：根据题意可建立如下坐标系，
∴，
故答案为：．
【分析】 根据点 A 和点 B 的坐标，确定平面直角坐标系的原点位置与坐标轴方向，再据此确定点 C 的坐标。
14．【答案】（不唯一）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故只需整数即可，
故答案为：（不唯一）．
【分析】利用一元二次方程根的判别式，根据 “有两个不相等实数根” 的条件，确定判别式大于 0；代入系数计算判别式，建立关于整数 k 的不等式，求解得到 k 的取值范围；在取值范围内选取一个满足条件的整数 k 即可。
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：设掷实心球、足球、1000米跑、1分钟跳绳四个项目分别用A，B， C， D表示，根据题意，
列出表格如下：
　 A B C D
A A，A A，B A，C A，D
B B，A B，B B，C B，D
C C，A C，B C，C C，D
D D，A D，B D，C D，D
一共有16种等可能结果，其中甲、乙两名男生抽到同一个项目的有4种，.甲、乙两名男生抽到同一个项目的概率为
故答案为：.
【分析】设掷实心球、足球、1000 米跑、1分钟跳绳四个项目分别用A， B， C， D表示，列出表格，得出总的可能数和甲、乙两名男生抽到同一个项目的可能数，再由概率公式计算即可。
16．【答案】6
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；直角三角形斜边上的中线；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：取的中点E，连接，
∵，
∴，
当时，最小，就最小，与都最小，就最小，
∵点为直线上一点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
．
故答案为：6．
【分析】取的中点E，连接，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，当时，最小，就最小，与都最小，就最小，将点D坐标代入直线解析式可得，根据两点间距离可得DE，OC，再根据三角形面积即可求出答案.
17．【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1) 分别计算算术平方根、零指数幂和绝对值，再进行加减运算得出结果。
(2) 先对括号内分式通分，再将除法转化为乘法，因式分解后约分得到最简分式。
18．【答案】（1），B组有：（名）
频数分布直方图补充如下：
（2），
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有8种结果，
∴抽取的两人恰好是一男生和一女生的概率为

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）参加初赛的选手共有：（名）
故答案为：40
（2）C组对应的圆心角度数是：
E组人数占参赛选手的百分比是：
故答案为：，
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可用A组人数除以A组所占百分比得到参加初赛的选手总人数，用总人数乘以B组所占百分比得到B组人数，从而补全频数分布直方图；
（2）用360度乘以C组所占百分比得到C组对应的圆心角度数，用E组人数除以总人数得到E组人数占参赛选手的百分比；
（3）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏、列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）参加初赛的选手共有：（名）
B组有：（名）
频数分布直方图补充如下：
故答案为：40
（2）C组对应的圆心角度数是：
E组人数占参赛选手的百分比是：
故答案为：，
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有8种结果，
∴抽取的两人恰好是一男生和一女生的概率为
19．【答案】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：.
（2）解：∵，
∴，
∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为8，点D的横坐标为8．
∴，，
∴，，
∴，
过点A作轴交于点E，则，
∴，
∴.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出点B和点D的坐标，再求出AE=4，最后利用三角形的面积公式计算求解即可.
（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：．
（2）∵，
∴，
∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为8．点D的横坐标为8．
∴，，
∴，，
∴，
过点A作轴交于点E，则，
∴，
∴
20．【答案】（1）解：∵四边形是矩形，∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，，，∴，，， ，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
又∵ ，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵，
∴，
∴．
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1) 利用矩形对角线互相平分得 BE=DE，由 AB 平行 CD 推出角 F 等于角 G，结合 FG 垂直 BD 得到的直角相等，用 AAS 证明三角形 FBE 全等于三角形 GDE。
(2)先通过勾股定理算出矩形对角线 AC 的长度；再证明三角形 FBE 相似于三角形 BDC，由相似比求出 FE 的长度，根据全等得 GE 和 FE 相等，最后算出 FG 的总长度。
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，，，
∴，，， ，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
又∵ ，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：设书架上数学书有本，语文书有本，
由题意得：，
解得，
答：数学书有本，语文书有本．
（2）解：设再摆本语文书，
根据题意得：，
解得：，
答：最多还可以摆本语文书．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）设书架上数学书有本，语文书有本，由题中的两个相等关系“x本数学书+y本语文书=100，x本数学书的费用+y本语文书的费用=100”可列关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设再摆本语文书，根据题中的不等关系列出关于m的不等式，解不等式即可求解．
（1）解：设书架上数学书有本，语文书有本，
由题意得：，
解得，
答：数学书有本，语文书有本．
（2）解：设再摆本语文书，
根据题意得：，
解得：，
答：最多还可以摆本语文书．
22．【答案】解：如图所示，
在中，，
∵
∴
在中，，
∵
∴
∴A到地面l的距离为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点 B 作水平线交 A 的竖直线于 C，构造直角三角形 ABC，利用角 1 的正弦值计算 AC 的长度。过点 B 作 BF 到地面 l，构造直角三角形 BEF，利用角 2 的正弦值计算 EF 的长度。将 AC 与 EF 相加，得到点 A 到地面 l 的总距离并精确到整数。
23．【答案】解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC=108°，∴∠B=180°－∠ADC=180°－108°=72°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°－72°=18°；
（2）如图，连接OC，OD，
∵∠ADC=108°，∠DCA=27°，
∴∠DAC=180°－108°－27°=45°，
∴∠DOC=2∠DAC=90°，
∵AB=8，
∴OD=OC=OA=4，
∴在中，；
（3）∵∠DOC=90°，OD=4，
∴S扇形OCD，
又∵，
∴S阴影=S扇形OCD－S△OCD=．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)利用圆内接四边形对角互补求出∠B，再结合直径所对圆周角为直角，通过三角形内角和算出∠BAC。
(2)先在△ADC 中算出∠DAC，再由圆周角定理得到圆心角∠DOC=90°，最后在等腰直角△OCD 中用勾股定理求出 DC。
(3)用扇形 OCD 的面积减去△OCD 的面积，分别代入扇形面积公式和三角形面积公式计算。
24．【答案】（1）解：由题可得，将代入，得，∴，
∵抛物线的顶点横坐标为，
∴，
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：联立，得（负值舍去），
∴；
（3）解：由题意可得，，解得，（舍去），
∴此时石头到轴的距离为米．
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1) 将 A 点坐标代入抛物线表达式求出 a，再结合顶点横坐标为 20，求出 b，从而确定抛物线表达式。
(2) 联立抛物线与直线 OB 的解析式，解方程组，舍去不合题意的解，确定 C 点坐标。
(3) 根据 M、N 纵坐标之差列出方程，求解并舍去大于 20 的根，得到点 M 到 y 轴的距离。
（1）解：由题可得，将代入，得，
∴，
∵抛物线的顶点横坐标为，
∴，
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：联立，
得（负值舍去），
∴；
（3）解：由题意可得，，
解得，（舍去），
∴此时石头到轴的距离为米．
25．【答案】（1）解：如图所示，
线段即为所求；
（2）解：如图所示，
线段即为所求；
如图所示，点即为所求，
理由：∵线段AB与线段A'B关于BC对称，
∴AB=A'B，∠EBN=∠E'BN，
∵点E与点E'分别为AB、A'B的中点，
∴BE=BE'，
∴在△BEN和△BE'N中，
，
∴△BEN≌△BE'N（SAS），
∴∠ENB=∠E'NB，
∵∠E'NB=∠MNC，
∴∠ENB=∠MNC.
（3）解：如图所示，
点即为所求.
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）首先选择格点，然后连接，并将该连线延长至与相交于点，CD即为所求；
（） 找到的中点，连接即可；
先作出关于的对称线段，取其中点。然后连接与相交于点，最后连接即可；
（）选取格点构造等腰直角三角形，再取格点和，连接与相交于点，连接并延长使其与相交于点，点即为所求.
（1）解：如图，线段即为所求；
（2）解：如图中，线段即为所求；
如图中，点即为所求；
（3）解：如图中，点即为所求，
理由：由网格可知：，
∴，
∴点即为所求．
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