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4.1《 认识三角形》同步练习
一、单选题
1．以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．1，2，1 C．2，2，3 D．2，5，2
2．若为 ABC的三边长，且，则 ABC一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
3．如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知在 ABC中，，，，在 ABC所在平面内画一条直线，将 ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可以画（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰 ABC的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（ ）
A． B． C． 或 D．或
二、填空题
6．已知三角形三边分别是1，2，，则的取值范围是__________．
7．希望之舟大桥是位于河北曹妃甸工业区的跨纳潮河特大桥，为河北省首座斜拉索特大桥，之所以采用斜拉索结构，是因为其稳固性、蕴含的数学道理是______．
8．（1）图①中直角三角形共有______个；
（2）如图②，已知，，则图中共有______个等腰三角形，______个等边三角形．
9．已知a、b、c为 ABC的三边长，b、c满足，且a为方程的解，则 ABC的形状为______三角形．
10．定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为，底边长为，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形 ABC的周长为，，则它的“优美比”k为______．
三、解答题
11．如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒．
(1)用含t的式子表示、；
(2)当t为何值时，为等腰直角三角形？
12.有两根长度分别为和的木棒．
(1)用长度为的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？
(2)用长度为的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？
(3)要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是多少？
13．已知三角形的三边长分别为，和．
(1)求的取值范围．
(2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长．
14．如图，在 ABC中，，点是垂足，点是边上的一点，连接．
(1)写出的三个内角；
(2)在中，的对边是__________；在 ABC中，的对边是__________．
(3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？
15．已知 ABC的三边长分别为，，．
(1)若，满足，求整数的最小值．
(2)化简：．
16．现有a、b、c三个有理数，且，．
(1)求a、b、c的值；
(2)若a、b、c分别是 ABC三条边的长度，
①判断 ABC形状，并说明理由；
②求出此时 ABC的周长．
17．设 ABC的三边长是，周长是x，其中．
(1)直接写出c及x的取值范围；
(2)当c为奇数时，求x的最大值和最小值；
(3)若x为小于18的偶数，试判断 ABC的形状．
18．找规律，填空：
(1)请按照下列要求数出三角形的个数．
①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________．
②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________．
③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________．
(2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________．
参考答案
一、单选题
1．C
解：A、，不满足三边关系，
∴无法构成三角形，该选项不符合题意；
B、，不满足三边关系，
∴无法构成三角形，该选项不符合题意；
C、有两边长为2，符合等腰三角形定义，且，满足三边关系，
∴可构成等腰三角形，该选项符合题意；
D、，不满足三边关系，
∴无法构成三角形，该选项不符合题意；
故选：C．
2．A
解：∵，
∴或，
即或，
∴至少有两条边相等，
∴一定是等腰三角形.
3．D
解：∵，，
∴，即，
观察各选项，只有选项D符合题意，
故选：D．
4．D
解：如图，腰为3的等腰三角形有3种情况，
底为3的有一种情况，
故选：D．
5．D
解：分两种情况讨论：
①当3为腰长时，
∵等腰 ABC的周长为10，
∴底边长，
∵，满足三角形三边关系，
∴“优美比”是；
②当3为底边长时，
∵等腰 ABC的周长为10，
∴腰长，
∵，满足三角形三边关系，
∴“优美比”是；
综上，“优美比”是或．
二、填空题
6．
解：由三角形三边关系定理，得：，
整理得；
故答案为：．
7．三角形具有稳定性
由题意得，蕴含的数学道理是：三角形具有稳定性．
8． 3 4 1
解：（1）图①中直角三角形共有3个；
（2）图②中等腰三角形有，共4个；等边三角形有，共1个；
故答案为3；4；1．
9．等边
解：∵，
∴和，
解得：，，
∵
∴或，
解得：或，
∴或，
当，，时，，不能构成三角形，
当，，时，， ABC为等边三角形，
故答案为：等边．
10．或
解：根据题意得，等腰三角形的周长为，．
当为腰时，另一腰也为，底边长为，
∴优美比腰长/底边长．
当为底边时，腰长为，
∴优美比腰长/底边长．
故答案为：或．
三、解答题
11．（1）解：∵动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，
∴，，
∴，
（2）解：若为等腰直角三角形，则，且，
∴，
解得，
此时，满足条件．
故当秒时，为等腰直角三角形．
12．（1）解：用长度为的木棒与它们不能摆成三角形．
因为，，不满足三角形三边之间的关系；
（2）解：用长度为的木棒与它们不能摆成三角形．
因为，，不满足三角形三边之间的关系；
（3）解：，，
所以要能摆成三角形，第三边能用的木棒的长度范围是大于且小于．
13．（1）解：∵三角形的三边长分别为，和，
∴，
；
（2）解：∵，
∴当时，该三角形为等腰三角形，
∴该三角形的周长为，
答：该三角形的周长为．
14．（1）的三个内角是：，，；
（2）在中，的对边是；在 ABC中，的对边是．
故答案为：；；
（3）图中共有6个三角形，分别是：，， ABC， ADE，，．
故答案为：6；
是 ADE，的公共角；
15．（1）解：，
，．
，．
根据三角形三边关系，可得，即．
为整数，
的最小值为3．
（2）解：根据三角形三边关系，可得，，，
．
16．（1）解：，
，
，
，
，
或；
（2）解：①等腰三角形，理由如下：
当时，
，即
此时无法组成三角形，
a、b、c是 ABC三条边的长度时，，
，
是等腰三角形；
②此时 ABC的周长为．
17．（1），
，
，
周长x的取值范围为，即；
（2）为奇数，，
∴c最大为9，最小为3，
最大为．最小为；
（3）周长为小于18的偶数，
或．
当x为16时，；当x为14时．．
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
综上所述， ABC是等腰三角形．
18．（1）解：通过观察得知：
点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形；
点、之间有2个点时，即线段共有4个点时，边上线段的总数为：，共有6个三角形；
点、之间有3个点时，即线段共有5个点时，边上线段的总数为：，共有10个三角形；
故答案为：3，6，10
（2）解：由（1）可看出，点、之间有个点时，即线段共有个点时，边上线段的总数为：，共有个三角形；
故答案为：．

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