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广东深圳外国语学校2026届高三年级第七次阶段性考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，则集合A的子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
2．设为单位向量，且，则（ ）
A．1 B． C． D．2
3．“点M的坐标为”是“点M为函数图象的对称中心”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知数列中，，且为等比数列，则（ ）
A．50 B．90 C．162 D．242
5．由数字，可以组成多少个不同的四位数（ ）
A．24 B．12 C．10 D．6
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆与直线相交于两点，当最小时，的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，，且，，则的最小值为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．18
二、多选题
9．已知虚部不为的复数互为共轭复数，则（ ）
A．是实数 B．是纯虚数
C． D．
10．如图所示，轴截面为正三角形的圆锥，底面圆半径为是底面的两条直径，母线与该圆锥内切球分别切于点.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．圆锥与球的交线的轨迹长为
C．若，则
D．平面截球的截面面积的最小值为
11．设是数列的前项和，若，不等式恒成立，则称数列为“均增数列”，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则数列是“均增数列”
B．若等差数列是“均增数列”，则公差
C．若是“均增数列”，则
D．若，则存在负数，使得数列是“均增数列”
三、填空题
12．已知函数，且，则的值为__________.
13．椭圆的离心率为，双曲线渐近线的斜率绝对值小于，则的取值范围为__________.
14．已知集合，从集合中随机抽取一个数记为，再从中随机抽取一个数记为，则___________．
四、解答题
15．某工厂生产某款产品，根据质量指标值Q对产品进行等级划分，Q小于60的产品视为不合格品，Q不小于60的产品视为合格品，其中Q不小于90的产品视为优质品.工厂为了提升产品质量，对设备进行升级.为考察设备升级后产品的质量，质检部门对设备升级前后生产的产品进行简单随机抽样，得到样本数据，制作如下频数表：

(1)根据所给数据填写下列2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析产品合格与设备升级是否有关联.
不合格品件数 合格品件数 合计
升级前
升级后
合计
(2)以上述样本中设备升级后的优质品频率作为升级后产品的优质品率，质检部门为检查设备升级后是否正常运转，每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品并检测.
（i）记X表示抽取的10件产品中的优质品件数，求（精确到0.001）；
（ii）质检部门规定：若抽检的10件产品中，至少出现2件优质品，则认为设备正常运转，否则需对设备进行检修.请根据的值解释上述规定的合理性.
附：.
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
参考数据：，，
16．如图，已知直线，A是，之间的定点，过A分别作，的垂线，垂足分别为B，C，点D，E为，上的动点，满足．设，，．
(1)当时，求的长度；
(2)求面积的最小值．
17．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，.
(1)证明：平面；
(2)若，四棱锥的体积为1，求平面与平面夹角的余弦值.
18．设抛物线是直线上的动点，是抛物线的两条切线，且与抛物线分别相切于两点．
(1)设是抛物线上任意一点，求最小值；
(2)记的中点是，求的轨迹方程；
(3)记抛物线的焦点是，记，证明：．
19．已知函数．
(1)若函数过原点的切线为，求实数的值；
(2)若函数的图象与相交于两个不同点，，记直线的斜率为．
（i）当时，求实数取值范围；
（ii）当时，证明：．
参考答案
1．C
【详解】因为，
所以集合A的子集个数为.
2．B
【详解】因为为单位向量，所以，
因为，平方得，即，
所以，即.
故选：B．
3．B
【详解】由解得，所以的对称中心为，.
而 ，
所以“点M的坐标为”是“点M为函数图象的对称中心”的充分不必要条件.
4．B
【详解】由，可得，
因为数列为等比数列，设其公比为，可得，
则，所以.
5．B
【详解】4个数字的全排列数为.
因为有2个相同的数字2 ，所以需除以重复数字的排列数，
故数字，可以组成不同的四位数的个数：.
6．D
【详解】，
由
，
所以.
7．A
【详解】，得.
，解得.
所以直线过定点.
由，得.
所以圆心的坐标为，圆的半径为.
过圆心作交直线于点，因为，所以.
所以当最小时，也最小.
，，且在上单调递减，
所以当最小时，最大.
显然，当，即重合时，取得最大值.
此时，直线的斜率为，
所以直线的斜率为，解得.
故选：A.
8．D
【详解】令，则，所以.
令，则，
因为函数的定义域为，，
所以，当且仅当时，即时，等号成立.
所以的最小值为
故选：D
9．ABD
【详解】由题设，，
则，故A，B正确；
又，C选项错误；
又，D选项正确.
故选：ABD
10．ACD
【详解】对于A，画出圆锥的轴截面如图（1）所示.连接，则必过球心，
因为轴截面为正三角形且底面圆半径为，
所以，
所以，
故A正确；
对于B，如图（2），易知，圆锥与球的交线的轨迹为，
因为，所以在中，
可得，求得半径，
故轨迹长为错误；
对于C，根据三余弦定理可知，
，
故C正确；
对于D，当绕着旋转时，平面恒过定直线，若要使得平面截球的截面面积最小，只需球心到平面的距离达到最大，
如图（3）过作直线的垂线，垂足为到平面的最大距离为，
又因为在中，，所以截面半径的最小值为，
所以平面截球的截面面积的最小值为，故D正确.
11．ABD
【详解】由，可得，
则由，显然有，数列是“均增数列”，故A正确；
由等差数列是“均增数列”，且，
则由可得：，故B正确；
当，取时，，
要证明，只需要证明，
即证，
则只需要证明，
当为奇数，不等式显然成立，
当为偶数，要证明，
因为，对任意都成立，
所以，即对任意为偶数也成立，
即原不等式对任意都成立，
所以存在负数，使得数列是“均增数列”，故D正确；
由于是“均增数列”，
由于，，不满足，故C错误；
故选：ABD
12．/
【详解】函数，当时，，
当时，，由，得，则，解得，
所以.
故答案为：
13．
【详解】对于双曲线，渐近线方程为，由题意得，即。
椭圆中满足（c为椭圆半焦距），代入 得
整理得 ，两边同除以得，即 ，解得
所以的取值范围为
14．
【详解】可能的取值为，由全概率公式有：
，
故
.
15．(1)列联表见解析，可以认为产品合格与设备升级有关联，该推断犯错误的概率不超过
(2)（i）；（ii）理由见解析
【详解】（1）依题意可得列联表为：
不合格品件数 合格品件数 合计
升级前 20 80 100
升级后 10 90 100
合计 30 170 200
零假设：产品合格与设备升级没有关联，
由列联表可计算，
依据小概率的独立性检验，我们可以推断不成立，
因此可以认为产品合格与设备升级有关联，该推断犯错误的概率不超过.
（2）（i）根据题意，设备升级后的优质品率为，
可以认为从生产线中抽出的10件产品是否为优质品是相互独立的，则，
，
所以；
（ii）如果设备正常运转，一天内抽取的10 件产品中，优质品件数少于2个的概率只有，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为设备运转异常，需对设备进行检修，可见上述规定是合理的.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为，且，所以
易知，且，故，
所以
（2）因为，所以．
又因为，所以．
故，
因此
而．
此时．故面积的最小值为
17．(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）
如图，设中点为，连接，
四边形为菱形，，，
是等边三角形，,
，，
在中，，即，所以,即.
又四边形为菱形，
平面，平面,
平面.
（2）设四棱锥的高为，则，解得.
如图建立空间直角坐标系，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过点作轴平面，则.
由（1）可知，平面，平面，平面平面，
所以设，则，解得，
因为，所以，所以点.
，
设平面的法向量，
则，取，则，故.
，
设平面的法向量，
则，取，则，故.
所以，平面与平面夹角的余弦值为
18．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由是抛物线上任意一点,设，
点到直线的距离为，
当时，取得最小值为，
故最小值为．
（2）设，
抛物线上任一点，过点的切线方程为：，
下面证明:当过点的切线的斜率存在时,设切线方程为: ,
与抛物线,消去得，，
整理得，，
则，
得，而，
得，得，
得，
则切线方程为：，得，
而，代入上式，得，即．
当过点的切线的斜率不存在时，切线方程为：，此时切点为坐标原点，也满足上式，
故抛物线上任一点，过点的切线方程为：，
由点是直线上的动点，
设，则切线均过点，
即，又，代入得，
，
得，
同理，，
所以是方程的两根，
由韦达定理得，，
因为的中点是，所以，
，
联立方程：，消去，得，
故的轨迹方程为：．
（3）过点分别作准线：的垂线，垂足分别为，
由点，得，而，得，
由（2）知，由，及，
得，而，得，
则
，
得，即，
由抛物线的定义得，则为线段的垂直平分线，
得，同理可得，
得，
所以，
则,
同理，
得，由，得，
故．
19．(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析；
【详解】（1）设切点为，，所以，所以，
所以函数在处的切线为，
将代入得，解得，
（2）（ⅰ）当时，原问题有两个不等实根．
法一：设，
则
∴当时，，当时，
在递减，递增，
，，，
法二：
，令，
则，在上递增，
，使得，当时，，当时，
在上单调递减，在上单调递增，
，
又，
设，则
当时，，当时，，
，．
（ⅱ）设，，不妨设
则，即，
令，
则，是方程两个根．
又
欲证，只需证
设
则
∴当时，；当时，；
在递减，递增，
设
下面证明
，
设，，则
故．
在递增，，
，，
又在递减，，故．

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