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兴宁一中高二年级第一次月考数学试题 2026.04.03
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.已知函数 则
A. B. 2 C. 1 D. 3
2.某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加
市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有( )
A. 11种 B. 22种 C. 30种 D. 60种
3.若函数 的图象在(a，f(a))处的切线与直线2x+6y-5=0垂直，则a 的值为( )
A. 1 B. 2或 C. 2 D. 1或
4.已知函数 在[1，2]上存在单调递减区间，则实数b的取值范围
是( )
5.6位同学参加校运动会6×50m趣味接力赛，甲、乙两位同学必须跑相邻两棒，则这6位同学接力
赛的顺序有( )种
A. 360 B. 240 C. 120 D. 60
6.某校高一学生进行演讲比赛，原有5名同学参加比赛，后又增加两名同学参赛，如果保持原来5
名同学比赛顺序不变，那么不同的比赛顺序有( )
A. 12种 B. 30种 C. 36种 D. 42种
7.已知函数 若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A. [-1, 0) B. [0, +∞) C. [-1, +∞) D. [1, +∞)
8.已 知函数 若对于任意 都存在
使得 则实数a的取值范围是( )
B. [-6,3] D. [-3,3]
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全选对给6分，部分选对的给部分分，有错选的给0分。
9.定义在区间 上的函数f(x)的导函数f'(x)图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)在区间(1, 3)单调递减
B.函数f(x)在区间 单调递减
C.函数f(x)在x=1处取得极大值
D.函数f(x)在x=0处取得极小值
10.下列函数在定义域上为增函数的有( )
11.如图，在某城市中，M、N两地之间有整齐的方格形道路网，其中 是道路网中位于一
条对角线上的4个交汇处。今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N、M处，他们分别随机地选择一
条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N、M处为止。
则下列说法正确的是( )。
A、甲从M到达N处的方法有120种
B、甲从M必须经过 到达N处的方法有9种
C、甲、乙两人在 处相遇的概率为
D、甲、乙两人相遇的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从1,3,5,7,9中任取2个数,从2, 4, 6, 8中任取2个数,能组成 个没有重复
数字的四位数.
13.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”.现提
供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜
色不相同，则不同的涂色方案共有 种.
14.若关于x的不等式 恒成立，则实数a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (13分)设等差数列{an}的前n项和为 Sn,且
(1)求数列{an}的通项公式 ;
(2)若 求数列{b }n的前n项和T .
16. (15分)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且
(1)求 和角A的值；
(2)求△ABC的面积.
17. (15分)已知函数
(1)求曲线y= f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求f(x)的极值.
18.(17分)为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出
男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案：
(1)男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上；
(2)男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻；
(3)男选手小钱和男选手小周至少一人参加.
19. (17分)已知函数
(1)当 =0时,求f(x)的单调区间;
(2)若 恒成立，求 的值；
(3)若f(x)在区间(0,+∞)上存在零点,求 的取值范围.答案与解析
一、单选题（每小题 5分，共 40分）
1. 答案：B
解析：该极限是导数定义式，即 。 ，导数 ，故
。
2. 答案：C
解析：选 1男有 种，选 1女有 种，组合数为 。
3. 答案：D
解析： （ ）。直线 斜率为 ，切线斜率为
3（垂直斜率乘积为-1）。令 ，解得 或 。
4. 答案：A
解 析 ： ， 存 在 使 ， 即
有解。转化为 ，令 ， 在
递增，最小值为 ，故 。
5. 答案：B
解析：甲、乙捆绑为一个元素（2种排列），与其余 4人共 5元素排列，总数为
。
6. 答案：D
解析：原 5人有 6个间隙，插入第 1人 6种，插入第 2人 7种，总数 。
7. 答案：C
解析： 的零点即 的解。分析 图像：
时， 递增，值域 ；
时， 递增，值域 。直线 与 有两交点
需 （当 时，交点为 和 ； 时两交点均存在）。
8. 答案：A（注：选项应为 ）
解析： 在 的值域为 （最小值 ，最大值 ）。
在 的导数为 ，极值点
（ ）、 （ ）， 端 点
、 ，故 值域为 。由
，得 且 ，解得 。
二、多选题（每小题 6分，共 18分）
9.答案：ABCD
结合导函数符号与原函数单调性、极值的关系逐步推导：
步骤1：明确核心关系
若 ，则原函数 单调递增；
若 ，则原函数 单调递减；
极值点处，导函数符号需“由正变负”（极大值）或“由负变正”（极小值）。
步骤2：分析各选项
选项A：函数 在区间 单调递减
观察导函数图像，区间 内 的图像位于 轴下方，即 。根据
“ 单调递减”，可知 在 单调递减。选项A正确。
选项B：函数 在区间 单调递减
观察导函数图像，区间 内 的图像位于 轴下方，即 。根据
“ 单调递减”，可知 在 单调递减。选项B正确。
选项C：函数 在 处取得极大值
分析 处导函数的符号变化：
左侧区间 ： 的图像位于 轴上方（ ）， 单调递增；
右侧区间 ： 的图像位于 轴下方（ ）， 单调递减。
导函数在 处“由正变负”，根据极值定义， 是 的极大值点。选项C正确
。
选项D：函数 在 处取得极小值
分析 处导函数的符号变化：
左侧区间 ： 的图像位于 轴下方（ ）， 单调递减；
右侧区间 ： 的图像位于 轴上方（ ）， 单调递增。
导函数在 处“由负变正”，根据极值定义， 是 的极小值点。选项D正确
。
综上，正确答案为 。
10.答案：ACD
解析：
A： ，仅 时为 0，增函数；
B： ， 时负，非增；
C： ，仅孤立点为 0，增函数；
D： （均值不等式），仅 时为 0，增函数。
11.答案：BCD
结合组合数学中最短路径的计数方法，以及概率的基本计算逻辑来分析每个选项。
步骤1：分析选项A（甲从M到达N处的方法数）
从M到 N的最短路径需满足：横向走 3段，纵向走 3段，共 6步。需从 6步中选 3步
走横向（剩余 3步自然走纵向），方法数为组合数 。
计算得： ，而选项 A声称有 120种，明显错误。
步骤2：分析选项B（甲从M必须经过 到达N处的方法数）
“经过 ”可分为两步：
9. 第一步：从M到 的最短路径。需横向走 2段、纵向走 1段（或横向 1段、纵向 2
段），共 3步，选 1步走纵向（或横向），方法数为 。
10.第二步：从 到N的最短路径。需横向走 1段、纵向走 2段（或横向 2段、纵向 1
段），共 3步，选 1步走纵向（或横向），方法数也为 。
因此，经过 的总方法数为 ，选项 B正确。
步骤3：分析选项C（甲、乙两人在 处相遇的概率）
概率计算需明确：分子为两人在 相遇的路径组合数，分母为两人所有路径的组合数。
甲经过 的方法数：由步骤 2知为 9种；同理，乙从N到M经过 的方法数
也为 9种（路径反向，逻辑对称）。
两人在 相遇的路径组合数： 。
两人所有路径的组合数：甲的总路径数为 20种，乙的总路径数也为 20种，因
此组合数为 。
因此，相遇概率为 ，选项 C正确。
步骤4：分析选项D（甲、乙两人相遇的概率）
两人速度相同且沿最短路径行走，相遇点只能是对角线上的 （否则步数
不同，无法相遇）。
对每个 （ ），设其对应“从M到 需走 步横向+ 步纵向”，方法数为
（甲的路径数）；同理，乙从 N到 的方法数也为 。因此，两人在
相遇的路径组合数为 。
分别计算各 的贡献：
1. （对应 ）：
2. （对应 ）：
3. （对应 ）：
4. （对应 ）：
总相遇路径组合数为 ，因此相遇概率为 ，选
项 D正确。
最终结论
正确答案为 。
三、填空题（每小题 5分，共 15分）
12.答案：1440
解析： （选 2奇 2偶，排列 4数）。
13.答案：72
解析：弦图 5区域（中心+4周边），中心 4色选 1，周边 4区环形用剩余 3色（相邻不
同），环形 4区用 3色方案数 （公式： ），总方
案 。
14.答案：
解析： ，令 ，求导得 在 处取最小值
，故 （含 时恒成立）。
四、解答题（共 77分）
15.（13分）等差数列
(1) 求通项公式设首项 ，公差 ，由 得 ； 得
， 即 。 联 立 解 得 ， ， 故
。
(2) 求 前 项 和 ，
。
16.（15分）
(1) 求 和角 由正弦定理， 。代入
，得 ，解得 ， 。因 ，故
， （舍去 ）。
(2) 求面积由余弦定理 ，得 ，解得
或 。面积 ，代入得 或 。
17.（15分）
(1) 切线方程 ， ，故 ，切线方程为
。
(2) 求极值临界点 和 ：
时， （负负得正）， 递增；
时， ， 递减；
时 ， ， 递 增 。 极 大 值 ， 极 小 值
。
18.（17分）选选手与座位安排（题目表述略，按常见题型解答）
(1) 小王必选且坐第4位选男：小王+C(5,1)=5种；选女：C(5,2)=10种；排座：小王固
定，其余 3人排 3位（3!），总方案 。
(2) 小李、小赵必选且不相邻选男：小李+C(5,1)=5种；选女：小赵+C(4,1)=4种；排座：
4人总排列 24，减相邻 12种，得 12种，总方案 。
(3) 小钱、小周至少1人参加总选法 C(6,2)C(5,2)=150，减都不参加 C(4,2)C(5,2)=60，
得 90种；排座 4!，总方案 。
19.（17分）
(1) 时单调区间 ， 在
处取最小值 1>0，故 ， 在 递增。
(2) 求 使 ，故 是极小值点， 。
，代入 得 ，故 。验证：
时 在 处取最小值 0。
(3) 求 使 在 有 零 点 零 点 即 ， 令
， 在 递 减 ， 时 ，
时 ，故 。

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