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7.3　离散型随机变量的数字特征
7.3.1　离散型随机变量的均值
一．选择题
1.今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达台数为X,则E(X)为(　　)
A.0.765 B.1.75
C.1.765 D.0.22
2.已知Y=5X+1,E(Y)=6,则E(X)的值为(　　)
A. B.5
C.1 D.31
3.一个不透明的口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的均值为(　　)
A. B.
C.2 D.
4.某船队若出海后天气好,可获得5 000元;若出海后天气坏,将损失2 000元;若不出海也要损失1 000元.设出海的效益为X,根据预测知天气好的概率为0.6,则出海的期望效益E(X)是(　　)
A.2 000元 B.2 200元
C.2 400元 D.2 600元
5.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值E(X)=(　　)
A. B.
C. D.
二．填空题
6.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,未命中得0分.已知他命中的概率为0.8,则罚球一次得分X的均值是　　　　　.
7.某射击爱好者射击所得环数X的分布列如下:
X 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知X的均值E(X)=8.9,则y的值为　　　　　.
8.已知随机变量X的分布列如表:
X -1 0 b
P a b
若X的均值E(X)=,则ab=　　　　　.
9.甲、乙、丙三人参加某次招聘会,甲应聘成功的概率为,乙、丙应聘成功的概率均为(010.对某个数学题,甲单独解出该题的概率为,乙单独解出该题的概率为.记X为解出该题的人数,则E(X)=　　　　　.
11.体育课的排球发球项目考试的规则:每名学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发完3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的均值E(X)>1.75,则p的取值范围是　　　　　.
12.某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛,规则为:每位参赛教师都要回答3个问题,且这3个问题回答正确与否相互之间互不影响,若每答对1个问题,得1分;答错,得0分,最后按照得分高低排出名次,并分一、二、三等奖分别给予奖励.已知给出的3个问题,教师甲答对的概率分别为,p.若教师甲恰好答对3个问题的概率是,则p=　　　　　;在上述条件下,设随机变量X表示教师甲答对题目的个数,则X的均值为　　　　　.
三．解答题
13.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为X,求X的均值.
14.从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为.设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和均值.
15.已知某险种的保费为0.4万元,前3次出险每次赔付0.8万元,第4次赔付0.6万元.
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数 800 100 60 30 10
在总体中抽样1 000单,以频率估计概率:
(1)求随机抽取一单,赔偿不少于2次的概率;
(2)(ⅰ)毛利润是保费与赔偿金额之差.设毛利润为X,估计X的数学期望;
(ⅱ)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%,已赔偿过的增加20%.估计保单下一保险期毛利润的数学期望.
16.随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中一等品126件,二等品50件,三等品20件,次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:万元)为X.
(1)求X的分布列;
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值);
(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%,若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少
7.3　离散型随机变量的数字特征
7.3.1　离散型随机变量的均值
一．选择题
1. B
解析:由题意知,X的取值为0,1,2,
因此P(X=0)=0.1×0.15=0.015,
P(X=1)=0.9×0.15+0.1×0.85=0.22,
P(X=2)=0.9×0.85=0.765,
故E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.
2. C
解析:因为E(Y)=E(5X+1)=5E(X)+1=6,
所以E(X)=1.
3. D
解析:X的取值为2,3.
因为P(X=2)=,P(X=3)=,
所以E(X)=2×+3×.
4. B
解析:出海的期望效益E(X)=5 000×0.6+(1-0.6)×(-2 000)=3 000-800=2 200元.
5. B
解析:由题意知X所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
所以E(X)=0×+1×+2×+3×.
二．填空题
6. 0.8
解析:因为P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,
所以E(X)=1×0.8+0×0.2=0.8.
7. 0.4
解析:依题意得
即
解得y=0.4.
8.解析:由题意,可得
解得a=,b=.
因此ab=.
9. 2　
解析:依题意,得甲、乙、丙三人都应聘成功的概率是,
解得t=2(负值舍去),
所以乙应聘成功的概率为.X的所有可能的取值为0,1,2,
P(X=2)=,
P(X=1)=×+×,
P(X=0)=×=,
则E(X)=2×+1×+0×.
10.
解析:设“甲单独解出该题”为事件A,“乙单独解出该题”为事件B,A,B相互独立.
由题意知,X的可能取值为0,1,2.
故P(X=0)=P()P()=,
P(X=1)=P(A)+P(B)
=P(A)P()+P()P(B)
=,
P(X=2)=P(A)P(B)=.
因此解出该题的人数X的分布列为
X 0 1 2
P
即E(X)=0×+1×+2×.
11.
解析:由已知条件可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>1.75,解得p>或p<.
又由p∈(0,1),可得p∈.
12.
解析:因为教师甲恰好答对3个问题的概率是,所以×p=,解得p=.
由题意,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,
所以P(X=0)=××=,
P(X=1)=××+××+××,
P(X=2)=×+××+×,
P(X=3)=,
所以E(X)=0×+1×+2×+3×.
三．解答题
13.
解由题意,得(0.006+0.006+0.010+0.054+x+0.006)×10=1,解得x=0.018.
由题意得区间[80,90)内的人数为50×0.018×10=9人,区间[90,100]内的人数为50×0.006×10=3人.
从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,
记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为X,
则X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,
则X的均值E(X)=0×+1×+2×.
14.解随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=.
所以,随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的均值E(X)=0×+1×+2×+3×.
15.
解:(1)设A为“随机抽取一单,赔偿不少于2次”,则P(A)=.
(2)(ⅰ)设ξ为赔偿金额,则ξ可取0,0.8,1.6,2.4,3.
由题意可得P(ξ=0)=,P(ξ=0.8)=,P(ξ=1.6)=, P(ξ=2.4)=,P(ξ=3)=.
∴E(ξ)=0×+0.8×+1.6×+2.4×+3×=0.278.
故E(X)=0.4-0.278=0.122(万元).
(ⅱ)由题设可知每一单保费变为0.4××96%+0.4××1.2=0.403 2,设保单下一保险期毛利润为Y,则E(Y)=0.403 2-E(ξ)=0.125 2(万元).
16.
解(1)X的所有可能取值为6,2,1,-2.
P(X=6)==0.63,P(X=2)==0.25,
P(X=1)==0.1,P(X=-2)==0.02.
故X的分布列为
X 6 2 1 -2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
(2)由(1)知随机变量X的均值E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34.
(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E(X)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29).
依题意,E(X)≥4.73,
即4.76-x≥4.73,
解得x≤0.03,因此三等品率最多为3%.

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