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7.5　正态分布
一．选择题
1.设随机变量X服从正态分布,且正态密度函数为f(x)=,x∈R,则均值与标准差分别是(　　)
A.10与8 B.10与2
C.8与10 D.2与10
2.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),P(X<4)=0.84,则P(X≤0)等于(　　)
A.0.16 B.0.32
C.0.68 D.0.84
3.已知某批零件的长度误差X(单位:mm)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间[3,6]上的概率为(　　)(附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5)
A.0.045 6 B.0.135 9
C.0.271 8 D.0.317 4
4.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　)
A.2 386 B.2 718
C.3 414 D.4 772
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5.
5.(多选题)(2024·全国新高考卷Ⅰ,9)为了解某种植区推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(　　)
(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3)
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
6.如果正态变量的取值落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等,那么这个正态变量的均值是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
7.已知一次考试共有60名学生参加,考生的成绩X~N(110,52),据此估计,大约应有57人的分数位于区间(　　)
A.[90,110] B.[95,125]
C.[100,120] D.[105,115]
8.在某次高三联考数学测试中,学生成绩X服从正态分布(100,σ2)(σ>0),若X在(85,115)内的概率为0.75,则任意选取一名学生,该学生成绩不低于115的概率为(　　)
A.0.25 B.0.1
C.0.125 D.0.5
9.某市高三质量检测考试中,学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市学生约有9 450人,如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第(　　)
A.1 500名 B.1 700名
C.4 500名 D.8 000名
10.一批电阻的阻值X(单位:Ω)服从正态分布N(1 000,52),现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻,测得阻值分别为1 011 Ω和982 Ω,则下列结论正确的是(　　)
A.甲、乙两箱电阻均可出厂
B.甲、乙两箱电阻均不可出厂
C.甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂
D.甲箱电阻不可出厂,乙箱电阻可出厂
11.已知随机变量X服从正态分布N(0,1),若P(X≤-1.96)=0.025,则P(|X|<1.96)等于(　　)
A.0.025 B.0.050
C.0.950 D.0.975
12.某厂生产的零件外径(单位:cm)X~N(10,0.04),今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件,测得其外径分别为9.9 cm,9.3 cm,则根据3σ原则可认为(　　)
A.上午生产情况正常,下午生产情况异常
B.上午生产情况异常,下午生产情况正常
C.上午、下午生产情况均正常
D.上午、下午生产情况均异常
13.(多选题)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),其正态曲线在区间(-∞,80)内单调递增,在区间(80,+∞)内单调递减,且P(72≤X≤88)≈0.682 7,则(　　)
A.μ=80 B.σ=4
C.P(X≥64)=0.977 25 D.P(64≤X≤72)=0.135 9
二．填空题
14.某正态密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为,则总体落在区间[0,2]上的概率为　　　　　.(精确到0.000 1)
15.为了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(单位:kg)服从正态分布N(μ,22),且正态密度曲线如图所示.若体重范围在[58.5,62.5]属于正常情况,则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为　　　　　.
16.已知正态分布N(μ,σ2)的密度曲线是f(x)=,x∈R的图象.给出以下四个命题:
①对任意x∈R,f(μ+x)=f(μ-x)成立;
②如果随机变量X服从N(μ,σ2),且F(x)=P(X③如果随机变量X服从N(108,100),那么X的均值是108,标准差是100;
④若随机变量X服从N(μ,σ2),P(X<1)=,P(X>2)=p,则P(0其中,真命题是　　　　　　　　.(写出所有真命题的序号)
三．解答题
17.从某校的一次学科知识竞赛成绩中,随机抽取了50名同学的成绩,统计如下:
组别 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频数 3 10 12 15 6 2 2
(1)求这50名同学成绩的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)由频数分布表可知,本次学科知识竞赛的成绩Z服从正态分布N(μ,196),其中μ近似为样本平均数.
①利用该正态分布,求P(Z>74);
②某班级共有20名同学参加此次学科知识竞赛,记X表示这20名同学中成绩超过74分的人数,利用①的结果,求E(X).
附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5.
18.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得频率分布直方图如下图所示.
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P(187.8≤Z≤212.2);
②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间[187.8,212.2]上的产品件数,利用①的结果,求E(X).
(附:≈12.2)
7.5　正态分布
一．选择题
1. B
解析:由正态密度函数的定义可知,均值μ=10,方差σ2=4,即σ=2.
2. A
解析:∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),
∴μ=2.
∵P(X<4)=0.84,
∴P(X≥4)=1-0.84=0.16,
∴P(X≤0)=P(X≥4)=0.16.
3. B
解析:由正态分布的概率公式,知P(-3≤X≤3)≈0.682 7,P(-6≤X≤6)≈0.954 5,
故P(3≤X≤6)==0.135 9,故选B.
4. C
解析:由P(-1≤X≤1)≈0.682 7,得P(0≤X≤1)≈0.341 4,则阴影部分的面积约为0.341 4,故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×=3 414.
5． BC
解析:由题意知,X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12).
∵P(X<1.8+0.1)≈0.841 3,∴P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7.
∴P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)1.8+0.1)≈0.158 7,∴A错误.
P(X>2)1.8)=0.5,∴B正确.
∵P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3,∴C正确,D错误.故选BC.
6. B
解析:由题意知,正态曲线关于直线x=1对称,即μ=1,因此正态变量的均值是1.
7. C
解析:∵X~N(110,52),∴μ=110,σ=5.
∵=0.95,
∴可得大约应有57人的分数位于区间[μ-2σ,μ+2σ]内,即区间[100,120]内.
8. C
解析:由学生成绩X服从正态分布(100,σ2)(σ>0),且P(85得P(X≥115)==0.125.故选C.
9. A
解析:因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100),
所以P(X>108)=[1-P(88≤X≤108)]=[1-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈×(1-0.682 7)≈0.158 7,
所以0.158 7×9 450≈1 500,故该学生的数学成绩大约排在全市第1 500名.
10. C
解析:依题意N(1 000,52),μ-3σ=1 000-15=985,μ+3σ=1 000+15=1 015,
[μ-3σ,μ+3σ]=[985,1 015],1 011∈[985,1 015],982 [985,1 015],
所以甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂.
11. C
解析:由随机变量X服从正态分布N(0,1),
知P(X≥1.96)=P(X≤-1.96)=0.025.
所以P(|X|<1.96)=P(-1.9612. A
解析:因为测量值X为随机变量,且X~N(10,0.04),所以μ=10,σ=0.2.
记I=[μ-3σ,μ+3σ]=[9.4,10.6],则9.9∈I,9.3 I.所以上午生产情况正常,下午生产情况异常.
13. ACD
解析:因为正态曲线在区间(-∞,80)内单调递增,在区间(80,+∞)内单调递减,
所以正态曲线关于直线x=80对称,所以μ=80,A正确;
因为P(72≤X≤88)≈0.682 7,结合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,可知σ=8,B错误;
因为P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,且P(X<64)=P(X>96),
所以P(X<64)≈×(1-0.954 5)=×0.045 5=0.022 75,
所以P(X≥64)=0.977 25,C正确;
因为P(X<72)=×[1-P(72≤X≤88)]≈×(1-0.682 7)=0.158 65,
所以P(64≤X≤72)=P(X≥64)-P(X>72)=0.977 25-(1-0.158 65)=0.135 9.
二．填空题
14. 0.477 3
解析:已知正态密度函数是f(x)=,x∈R.
若它是偶函数,则μ=0.
∵f(x)的最大值为f(μ)=,∴σ=1,
∴P(0≤X≤2)=P(-2≤X≤2)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈×0.954 5≈0.477 3.
15. 683
解析:依题意可知,μ=60.5,σ=2,故P(58.5≤X≤62.5)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,
从而属于正常情况的人数为1 000×0.682 7≈683.
16.①②④
解析:如果随机变量X~N(108,100),
所以μ=108,σ2=100,即σ=10,故③错;
又f(μ+x)=,
f(μ-x)=,
故①正确;
由正态密度函数性质以及概率的计算知②④正确,
故填①②④.
三．解答题
17.
解(1)样本平均数=35×+45×+55×+65×+75×+85×+95×=60.
(2)①由(1)可知,Z~N(60,196),
故P(Z>74)=≈0.158 65.
②由①知,某名同学参加学科知识竞赛的成绩Z超过74分的概率为0.158 65,依题意可知,X~B(20,0.158 65),因此E(X)=20×0.158 65=3.173.
18.
解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,
s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02
=150.
(2)①由(1)知,Z~N(200,150),
从而P(187.8≤Z≤212.2)=P(200-12.2≤Z≤200+12.2)≈0.682 7.
②由①知,一件产品的质量指标值位于区间[187.8,212.2]的概率为0.682 7,
依题意知X~B(100,0.682 7),
所以E(X)=100×0.682 7=68.27.

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