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8.2　一元线性回归模型及其应用
一．选择题
1.(多选题)研究变量x,y得到一组样本数据,进行回归分析,以下说法正确的是(　　)
A.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好
B.用决定系数R2来刻画拟合效果,R2越小说明拟合效果越好
C.在经验回归方程=0.2x+0.8中,当解释变量x每增加1个单位时,响应变量平均增加0.2个单位
D.若变量y和x之间的样本相关系数为r=-0.946 2,则变量y和x之间的负相关性很强
2.中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关,某数学建模小组建立了茶水冷却时间x和茶水温度y的一组数据(xi,yi).经过分析,提出了四种回归模型,①②③④四种模型的残差平方和(yi-)2的值分别是0.98,0.80,0.12,1.36,则拟合效果最好的模型是(　　)
A.模型① B.模型②
C.模型③ D.模型④
3.某产品在某零售摊位的零售价x(单位:元)与每天的销售量y(单位:个)的统计资料如下表所示:
x 16 17 18 19
y 50 34 41 31
由上表可得经验回归方程x+中的=-5,据此模型预测当零售价为14.5元时,每天的销售量为(　　)
A.51 B.50 C.54 D.48
4.某产品的销售额y(单位:万元)与月份x的统计数据如表.用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程为=7x+,则实数=(　　)
x 3 4 5 6
y 25 30 40 45
A.3 B.3.5
C.4 D.10.5
5.某校课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,由实验数据得到的散点图如图所示.由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,最适宜作为发芽率y和温度x的经验回归方程类型的是(　　)
A.y=a+bx B.y=a+bln x
C.y=a+bex D.y=a+bx2
6.对变量x,y进行回归分析时,依据得到的4个不同的回归模型画出残差图,则下列模型拟合精度最高的是(　　)
7.对于经验回归方程x+>0),下列说法错误的是(　　)
A.当x增加一个单位时,的值平均增加个单位
B.点()一定在x+所表示的直线上
C.当x=t时,一定有y=t+
D.当x=t时,y的值近似为t+
8.符合下列数据的函数模型为(　　)
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 2 2.69 3 3.38 3.6 3.8 4 4.08 4.2 4.3
A.y=2+x B.y=2ex
C.y=2 D.y=2+ln x
9.为了考查两个变量x和y之间的线性相关性,甲、乙两名同学各自独立地做了100次和150次试验,并且利用最小二乘法求得的经验回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s,对变量y的观测数据的平均值都是t,那么下列说法中正确的是(　　)
A.l1与l2有交点(s,t)
B.l1与l2相交,但交点不一定是(s,t)
C.l1与l2必定平行
D.l1与l2必定重合
二．填空题
10.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为　　　　　.
11.以模型y=cekx去拟合一组数据时,为了求出经验回归方程,设z=ln y,将其变换后得到经验回归方程=0.2x+3,则c,k的值分别是　　　　　,　　　　　.
12.研究两个变量的相关关系时,观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y=ebx+a的周围.令=ln y,求得经验回归方程为=0.25x-2.58,则该模型的经验回归方程为　　　　　　　 .
13.已知样本点(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)的经验回归方程为=2x+,若样本点(r,1)与(1,s)的残差相同,则s与r的关系式为　　　　　　　.
14.已知具有线性相关的变量x,y,设其样本点为Pi(xi,yi)(i=1,2,…,6),经验回归方程为=2x+,若+…+=(12,18)(O为坐标原点),则=　　　　　.
三．解答题
15.关于x与y有如下数据:
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
有以下两个线性模型:
①=6.5x+17.5;
②=7x+17.
试比较哪一个模型拟合效果更好.
16.某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下:
次数x 30 33 35 37 39 44 46 50
成绩y 30 34 37 39 42 46 48 51
(1)作出散点图;
(2)求出经验回归方程;
(3)作出残差图;
(4)计算R2;
(5)试预测该运动员训练47次及55次的成绩.
17.某市春节期间7家超市的广告费支出xi(单位:万元)和销售额yi(单位:万元)的数据如下:
超市 A B C D E F G
广告费支出xi 1 2 4 6 11 13 19
销售额yi 19 32 40 44 52 53 54
(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系,求y关于x的经验回归方程.
(2)若用对数回归模型拟合y与x的关系,可得经验回归方程=12ln x+22,经计算得出线性回归模型和对数回归模型的R2分别约为0.75和0.97,请用R2说明选择哪个回归模型更合适,并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额.
参考数据及公式:=8,=42,xiyi=2 794,=708,,ln 2≈0.7.
18.假设关于某设备的使用年限x(单位:年)和支出的维修费用y(单位:万元),统计资料如下表所示:
使用年限x/年 2 3 4 5 6
维修费用y/万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料知y关于x呈线性相关关系,试求:
(1)经验回归方程x+;
(2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少
(3)计算残差平方和;
(4)求R2并说明模型的拟合效果.
8.2　一元线性回归模型及其应用
一．选择题
1. ACD
解析:对于A,可用残差平方和判断模型的拟合效果,残差平方和越小,模型的拟合效果越好,故A正确;
对于B,用决定系数R2来刻画拟合效果,R2越大,说明拟合效果越好,故B错误;
对于C,在经验回归方程=0.2x+0.8中,当解释变量x每增加1个单位时,响应变量平均增加0.2个单位,故C正确;
对于D,若变量y和x之间的样本相关系数为r=-0.946 2,r的绝对值趋向于1,则变量y和x之间的负相关性很强,故D正确.
2. C
3. C
解析:由题意知=17.5,=39,代入经验回归方程得=126.5,经验回归方程为=-5x+126.5,当x=14.5时,=126.5-14.5×5=54,故选C.
4. B
解析:=4.5,
=35,
样本点的中心为(4.5,35),代入=7x+,得35=7×4.5+,即=3.5.
5. B
解析:由题中散点图知,在10 ℃至40 ℃之间,发芽率y和温度x所对应的点(x,y),分布在一个对数函数的图象附近,因此最适合作为发芽率y和温度x的经验回归方程类型的是y=a+bln x.故选B.
6. A
解析:用残差图判断模型的拟合效果,残差比较均匀地落在水平的带状区域中,说明这样的模型比较合适.带状区域的宽度越窄,说明模型的拟合精度越高.
7. C
解析:经验回归方程是一个模拟函数,它表示的是一系列离散的点大致所在直线的位置及其大致变化规律,因此有些散点不一定在经验回归直线上.
8. D
解析:分别将x值代入解析式判断知满足y=2+ln x.
9. A
解析:经验回归直线l1,l2都过样本点的中心(s,t),但它们的斜率不确定,故选项A正确.
二．填空题
10. 1
解析:根据样本相关系数的定义可知,所有样本点都在一条直线上,
又>0,故样本相关系数为1.
11. e3　0.2
解析:由题意,y=cekx,等式两边同时取对数可得ln y=ln(cekx)=ln c+ln ekx=kx+ln c.因为z=ln y,所以z=kx+ln c.因为=0.2x+3,所以k=0.2,ln c=3,所以c=e3,k=0.2.
12. =e0.25x-2.58
解析:因为=0.25x-2.58,=ln y,
所以=e0.25x-2.58.
13. s=3-2r
解析:∵经验回归方程为=2x+,样本点(r,1)与(1,s)的残差相同,∴1-(2r+)=s-(2+),即s=3-2r.
故答案为s=3-2r.
14. -1
解析:由题意可得,(x1+x2+…+x6)==2,(y1+y2+…+y6)==3.
因为经验回归方程为=2x+,
所以3=2×2+,解得=-1.
三．解答题
15.
解:由①可得yi-与yi-的关系如下表:
yi- -0.5 -3.5 10 -6.5 0.5
yi- -20 -10 10 0 20
∴(yi-)2=(-0.5)2+(-3.5)2+102+(-6.5)2+0.52=155,
(yi-)2=(-20)2+(-10)2+102+02+202=1 000.
∴=1-=1-=0.845.
由②可得yi-与yi-的关系如下表:
yi- -1 -5 8 -9 -3
yi- -20 -10 10 0 20
∴(yi-)2=(-1)2+(-5)2+82+(-9)2+(-3)2=180,
(yi-)2=(-20)2+(-10)2+102+02+202=1 000.
∴=1-=1-=0.82.
由于=0.845,=0.82,0.845>0.82,∴,模型①拟合效果更好.
16.
散点图,如图,由散点图可知,它们之间具有线性相关关系.
(2)计算可得=39.25,=40.875,
=12 656,xiyi=13 180,
设经验回归方程为x+,
则≈1.041 48,=-0.003 09,
故经验回归方程为=1.041 48x-0.003 09.
(3)作残差图如图.
(4)计算得R2≈0.985 5.
(5)将x=47和x=55分别代入该方程可得≈49和≈57.
故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.
17.
解:(1)=1.7,
=28.4,
故y关于x的经验回归方程是=1.7x+28.4.
(2)因为0.75<0.97,
所以对数回归模型更合适.
当x=8时,=12×ln 8+22≈47.2,预测A超市销售额为47.2万元.
18.
解:(1)将已知条件制成下表.
i 1 2 3 4 5 合计
xi 2 3 4 5 6 20
yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25
xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3
4 9 16 25 36 90
=4;=5;=90;xiyi=112.3
于是有=1.23,
=5-1.23×4=0.08,经验回归方程是=1.23x+0.08.
(2)当x=10时,=1.23×10+0.08=12.38,即预测使用10年时,维修费用是12.38万元.
(3)残差平方和:=2.46+0.08=2.54,=3.77,=5,=6.23,=7.46,(yi-)2=0.651.
(4)R2=1-=1-≈0.958 7,模型的拟合效果较好.

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