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8.3　列联表与独立性检验
一．选择题
1.高二第二学期期中考试,按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后,得到如下列联表:
单位:人
班级 数学成绩 合计
优秀 及格
甲班 11 34 45
乙班 8 37 45
合计 19 71 90
则随机变量χ2的值约为(　　)
A.0.600 B.0.828
C.2.712 D.6.004
2.为考察A,B两种药物预防某疾病的效果,进行动物实验,分别得到如下等高堆积条形图.根据图中信息,在下列各项中,说法最佳的一项是(　　)
A.药物B的预防效果优于药物A的预防效果
B.药物A的预防效果优于药物B的预防效果
C.药物A,B对该疾病均有显著的预防效果
D.药物A,B对该疾病均没有预防效果
3.有两个分类变量X,Y,其列联表如下所示,
X Y
Y1 Y2
X1 a 20-a
X2 15-a 30+a
其中a,15-a均为大于5的整数,若变量X与Y不独立,这个结论犯错误的概率不超过0.05,则a的值为(　　)
A.8 B.9
C.8或9 D.6或8
4.下列关于等高堆积条形图的叙述正确的是(　　)
A.从等高堆积条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系
B.从等高堆积条形图中可以看出两个变量频数的相对大小
C.从等高堆积条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系
D.以上说法都不对
5.(多选题)针对当下的“短视频热”,某校团委对“学生性别和喜欢短视频是否有关”做了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢短视频的人数占男生人数的,女生喜欢短视频的人数占女生人数的.若认为喜欢短视频和性别有关犯错误的概率不大于0.05,则调查中男生的人数可能是(　　)
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附:χ2=.
A.25 B.35
C.45 D.55
6.某校为了解学生对餐厅食品质量的态度(满意或不满意),对在餐厅就餐的学生随机做了一次调查.其中被调查的男生、女生人数相同,有的男生态度是“不满意”,有的女生态度是“不满意”,根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验得到男生和女生对餐厅食品质量的态度有差异,则调查的总人数可能为(　　)
A.120 B.160
C.240 D.260
二．填空题
7.若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2≈4.013,那么可以认为两个变量有关系,这个结论犯错误的概率不超过　　　　　
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.0.005 B.0.05
C.0.01 D.0.001
8.某大学为调查毕业学生的就业状况,抽查了100名学生毕业一个月能否就业的情况,得到2×2列联表如下:
单位:人
性别 就业 合计
能就业 不能就业
男生 40 10 50
女生 30 20 50
合计 70 30 100
如果该大学认为毕业学生一个月能否找到工作与性别有关,那么犯错误的概率不会超过　　　　　.
附:χ2=
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
9.为研究某新药的疗效,给100名患者服用此药,跟踪调查后得到数据如下表所示:
单位:人
性别 是否有效果 合计
无效 有效
男性患者 15 35 50
女性患者 6 44 50
合计 21 79 100
设H0:服用此药的效果与患者的性别无关,则χ2≈　　　　(结果精确到0.1).
三．解答题
10.某学生对其亲属30人的饮食进行了一次调查,30人的饮食指数如图所示.(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主)
甲(50岁以下) 21　43　45　58　74　76　77　78　82 83　85　90
乙(50岁以上) 20　21　25　26　26　27　32　33　36 37　39　42　44　45　58　61　75　78
(1)根据以上数据完成下列2×2列联表;
单位:人
年龄 主食 合计
主食蔬菜 主食肉类
50岁以下
50岁以上
合计
(2)根据小概率值α=0.01的独立性检验分析其亲属的饮食习惯与年龄是否有关,并写出简要分析.
11.某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关,随机抽取了55名市民,得到数据如下表所示:
单位:人
年龄 是否喜欢 合计
喜欢 不喜欢
大于40岁 20 5 25
20岁至40岁 10 20 30
合计 30 25 55
(1)根据小概率值α=0.005的独立性检验分析喜欢“人文景观”景点与年龄是否有关;
(2)用分层随机抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查,将这6名市民作为一个样本,从中任选2人,求恰有1名大于40岁的市民和1名20岁至40岁的市民的概率.
12.某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查,每位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参与问卷调查的100人的得分(满分:100分)数据,统计结果如表所示.
组别 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)
男 2 3 5 15 18 12
女 0 5 10 10 7 13
(1)若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”,请列出2×2列联表,根据小概率值α=0.05的独立性检验,分析“环保关注者”是否与性别有关.
(2)若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”,视频率为概率:
①在我市所有“环保达人”中,随机抽取3人,求抽取的3人中,既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率;
②为了鼓励市民关注环保,针对此次的调查制定了如下奖励方案:“环保达人”获得两次抽奖机会;其他参与的市民获得一次抽奖机会,每次抽奖获得红包的金额和对应的概率如下表:
红包金额/元 10 20
概率
现某市民要参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获得的红包金额,求X的分布列及均值.
附表及公式:
χ2=,n=a+b+c+d.
χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
13.为了研究玉米品种对产量的影响,某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10 000株的生长情况进行研究,现采用分层随机抽样方法抽取50株作为样本,统计结果如下:
单位:株
玉米粒 的形状 植株的高矮 合计
高茎 矮茎
圆粒 10 20 30
皱粒 14 6 20
合计 24 26 50
(1)现采用分层随机抽样的方法,先从该样本所含的圆粒玉米中取出6株玉米,再从这6株玉米中随机选出2株,求这2株之中既有高茎玉米又有矮茎玉米的概率;
(2)根据小概率值α=0.05的独立性检验,分析玉米粒的形状与植株的高矮有无关联.
14.为比较注射A,B两种药物产生的皮肤疱疹的面积,选200只家兔做试验,将这200只家兔随机地分成两组,每组100只,其中一组注射药物A,另一组注射药物B.表1和表2所示的分别是注射药物A和药物B后皮肤疱疹面积的频数分布.(疱疹面积单位:mm2)
表1
疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80]
频数 30 40 20 10
表2
疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85]
频数 10 25 20 30 15
(1)完成图①和图②所示的分别注射药物A,B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图,并求注射药物A后疱疹面积的中位数;
图①
图②
(2)完成2×2列联表,根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析疱疹面积是否与注射两种药物有关.
单位:只
注射药物 疱疹面积 合计
疱疹面积小于 70 mm2 疱疹面积不小于 70 mm2
注射药物A a= b=
注射药物B c= d=
合计
附:χ2=,n=a+b+c+d.
χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
15.高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”,彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从某市移动支付用户中随机抽取100名进行调查,得到如下数据:
每周移动 支付次数 1次 2次 3次 4次 5次 6次及以上
男 10 8 7 3 2 15
女 5 4 6 4 6 30
合计 15 12 13 7 8 45
(1)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”,依据小概率值α=0.005的χ2独立性检验,分析“移动支付活跃用户”与性别是否有关.
(2)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”,视频率为概率,在该市所有“移动支付达人”中,随机抽取4名用户.
①求抽取的4名用户中,既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率;
②为了鼓励男性用户使用移动支付,对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元,记奖励总金额为X,求X的分布列及均值.
附公式及表如下:χ2=
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
8.3　列联表与独立性检验
一．选择题
1. A
解析:根据列联表中的数据,可得随机变量χ2=≈0.600.故选A.
2. B
3. C
解析:根据公式,
得χ2==≥3.841,
根据a>5,且15-a>5,a∈Z,求得当a=8或9时满足题意.
4. C
5. CD
解析:设男生的人数为5n(n∈N*),
根据题意列出2×2列联表如表所示:
是否喜欢 短视频 性别 合计
男生 女生
喜欢 4n 3n 7n
不喜欢 n 2n 3n
合计 5n 5n 10n
则χ2=.
因为认为喜欢短视频和性别有关犯错误的概率不大于0.05,
则χ2≥3.841,即≥3.841,得n≥8.066 1.
因为n∈N*,所以n的可能取值有9,10,11,…,所以调查人数中男生人数可能是45,50,55,….
6. C
解析:设调查的总人数为x,则男生人数有人,女生人数有人,
由题意完成2×2列联表如下:
性别 态度 合计
满意 不满意
男生
女生
合计 x
根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验得到男生和女生对餐厅食品质量的态度有差异,
则χ2=≥6.635=x0.01,x≥179.145,
结合选项知,调查的总人数可能为240或260,又260×≈21.7,不符合题意,故选C.
二．填空题
7.0.05
解析:由一个2×2列联表中的数据计算得χ2≈4.013,
因为χ2≈4.013>3.841=x0.05,
那么可以认为两个变量有关系,这个结论犯错误的概率不超过0.05.
8. 0.05
解析:由列联表数据可得,χ2=≈4.762>3.841=x0.05,
故犯错误的概率不会超过0.05.
9. 4.9
解析:由公式计算得χ2≈4.9.
三．解答题
10.
解(1)2×2列联表如下:
单位:人
年龄 主食 合计
主食蔬菜 主食肉类
50岁以下 4 8 12
50岁以上 16 2 18
合计 20 10 30
(2)零假设为H0:亲属的饮食习惯与年龄无关联.根据列联表中的数据,经计算得到
χ2==10>6.635=x0.01.
根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即认为其亲属的饮食习惯与年龄有关,此推断犯错误的概率不大于0.01.
11.
解(1)零假设为H0:喜欢“人文景观”景点与年龄无关联.
根据列联表中的数据,经计算得χ2=≈11.978>7.879=x0.005.
根据小概率值α=0.005的独立性检验,推断H0不成立,因此可以认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005.
(2)由题意知抽取的6人中大于40岁的市民有4人,20岁至40岁的市民有2人,分别记为B1,B2,B3,B4,C1,C2,
从中任选2人的可能结果有(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,B4),(B2,C1),(B2,C2),(B3,B4),(B3,C1),(B3,C2),(B4,C1),(B4,C2),(C1,C2),共15个,其中恰有1名大于40岁的市民和1名20岁至40岁的市民的结果有(B1,C1),(B1,C2),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(B4,C1),(B4,C2),共8个,因此恰有1名大于40岁的市民和1名20岁至40岁的市民的概率为.
12.解:(1)零假设为H0:“环保关注者”与性别无关联.
由题中表格可得2×2列联表如下:
　　　　　　　　　　　　　　　单位:人
性别 是否为“环保关注者” 合计
非“环保关注者” “环保关注者”
男 10 45 55
女 15 30 45
合计 25 75 100
将2×2列联表中的数据代入公式
χ2=,n=a+b+c+d,
得χ2=≈3.03<3.841=x0.05.
根据小概率值α=0.05的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,
因此可以认为H0成立,
即认为性别与“环保关注者”无关联.
(2)视频率为概率,则抽取1人为男“环保达人”的概率为,为女“环保达人”的概率为.
①抽取的3人中既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率为P=1-.
②X的取值为10,20,30,40;
P(X=10)=;
P(X=20)=;
P(X=30)=;
P(X=40)=.
故X的分布列为
X 10 20 30 40
P
E(X)=10×+20×+30×+40×.
13.
解:(1)依题意,取出的6株圆粒玉米中含高茎2株,记为a,b;矮茎4株,记为A,B,C,D,从中随机选取2株有如下15种情况:aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,ab,AB,AC,AD,BC,BD,CD.
其中满足题意的共有aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,共8种,则所求概率为P=.
(2)零假设为H0:玉米粒的形状与植株的高矮之间无关联.根据已知列联表,得χ2=≈6.464>3.841=x0.05,根据小概率值α=0.05的独立性检验,推断H0不成立,即认为玉米粒的形状与植株的高矮有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05.
14.解:(1)根据题意,完成图①和图②的频率分布直方图,如图所示:
图①
图②
注射药物A后疱疹面积的中位数为=65+5×=67.5.
(2)零假设为H0:疱疹面积与注射两种药物独立,即疱疹面积与注射两种药物无关.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　单位:只
注射药物 疱疹面积 合计
疱疹面积小于 70 mm2 疱疹面积不小于 70 mm2
注射药物A a=70 b=30 100
注射药物B c=35 d=65 100
合计 105 95 200
得χ2==≈24.56>10.828=x0.001.
根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,
即认为疱疹面积与注射两种药物有关,此推断犯错误的概率不大于0.001.
15.解(1)由表格数据可得2×2列联表如下:
单位:名
性别 用户 合计
非移动支付活跃用户 移动支付活跃用户
男 25 20 45
女 15 40 55
合计 40 60 100
零假设为H0:“移动支付活跃用户”与性别无关.
将列联表中的数据代入公式计算得
χ2==≈8.249>7.879=x0.005.
依据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为“移动支付活跃用户”与性别有关.
(2)视频率为概率,在某市所有“移动支付达人”中,随机抽取1名用户,
该用户为男“移动支付达人”的概率为,女“移动支付达人”的概率为.
①抽取的4名用户中,既有男“移动支付达人”,
又有女“移动支付达人”的概率为P=1-.
②记抽出的男“移动支付达人”人数为Y,则X=300Y.
由题意得Y~B,
P(Y=0)=;
P(Y=1)=;
P(Y=2)=;
P(Y=3)=;
P(Y=4)=.
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3 4
P
所以X的分布列为
X 0 300 600 900 1 200
P
由E(Y)=4×,
得X的均值E(X)=300E(Y)=400元.

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