资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
第四章 平行四边形 综合练习（1）
夯实基础，稳扎稳打
1．用反证法证明：在△ABC中，若AC2+BC2≠AB2，则∠C≠90°
2．如图，在 ABCD中，DB＝CD，∠C＝70°，AE⊥BD于点E．求∠DAE的度数．
3．在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，求BD的长
4．如图，在中，，，，求的面积．
连续递推，豁然开朗；
5．如图，E，F 分别是AB，AC边的中点，D 是 EF 上一点，且∠ADC=90°.若 BC=10，AC=8，求 DE 的长
如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,且.AO=CO,点E在BD上，
(1)△AOE≌△COD (2)求证：四边形AECD是平行四边形
思维拓展，更胜一筹
7．某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究．
（1）探究：如图，若四边形的对角线与相交于点，且，请你证明四边形的四条边长满足：．
（2）应用一：如图，若，分别是中，边上的中线．且垂足为，求证：；
（3）应用二：如图，中，点、、分别是，，的中点．若，，．求线段的长．
第四章 平行四边形 综合练习（2）
夯实基础，稳扎稳打
1．用反证法证明命题“在中，，则
2．将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°求∠B
3．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝7，EF＝3，求BC的长
4．如图，P 是□ABCD 的边AD上一点，已知S△ABP +S△PCD=3，求 ABCD 的面积
连续递推，豁然开朗；
5．如图 ∠BAC 的平分线交△ABC 的中位线 DE 于点 F.若AC=10，AB=6，求EF长
6．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．
（1）求证△ADE≌△CBF（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．

思维拓展，更胜一筹
7．如图
（1）用数学的眼光观察
如图①，在四边形ABCD中，AD=BC，P 是对角线BD 的中点，M是AB 的中点，N 是DC 的中点.求证：
（2）用数学的思维思考
如图②，延长图①中的线段AD交MN 的延长线于点E，延长线段 BC交MN 的延长线于点 F.求证：
（3）用数学的语言表达
如图③，在 中，AC第四章 平行四边形 综合练习（3）
夯实基础，稳扎稳打
1．用反证法证明下列问题：如图，在△ABC中，点 D，E 分别在边AC，AB上，BD，CE 相交于点O.求证：BD和CE 不可能互相平分.
2.在 ABCD中，∠ACB=25°，现将 ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，
求∠GFE的度数

3．如图 ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝2，求AB的长 ．
4． 如图，在 ABCD 中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD，交DC的延长线于点F.若AE=4，AF=6，且 ABCD的周长为40，求 ABCD的面积
连续递推，豁然开朗；
5． 如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC上的中线，过点 C作CG⊥AD于F，交AB于 G，连结EF，求线段EF的长
6．已知：如图，BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADE，AE⊥AC．
（1）△ADB≌△CDB（2）证明：四边形ABDE是平行四边形；
思维拓展，更胜一筹
7．问题背景：如图，分别以的直角边及斜边向外作等边、等边．
已知，垂足为，连接交于点．
探索求证：（1）求证：；（2）求证：四边形是平行四边形；
深入探究：（3）当时，求的面积．
第四章 平行四边形 综合练习（4）
夯实基础，稳扎稳打
1.已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．
求证：．
2.如图，中，，E，F分别为，的中点，将沿直线折叠，与交于点G，求的度数
3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，若AB，AC＝2，BD＝4．
（1）证明∠BAO＝90°，（2）求平行四边形ABCD的周长．（3）求点A到BC边的距离．
4．如图，在平行四边形 中， ， 的平分线 交 于点E，连接 ，若 ，求平行四边形 的面积.
连续递推，豁然开朗；
5．如图，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DC，若DC恰好平分，，求DE的长
6．如图，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE、等边△BCF．试探究四边形DAEF是平行四边形．
思维拓展，更胜一筹
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．（1）求证：AB＝AE；（2）若，AB＝4，连接OE；
①若，求BD的长；②设OB2﹣OA2＝k，试求k与m满足的关系．
第四章 平行四边形 综合练习（5）
夯实基础，稳扎稳打
1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”
2．如图，在 ABCD中，M为边CD上一点，将△ADM沿AM折叠至△AD′M处，AD′与CM交于点N．若∠B＝55°，∠DAM＝24°，求∠NMD′的度数．
3．如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，点P在AD上，且AP＝2，若直线l经过点P，将该平行四边形的面积平分，并与平行四边形的另一边交于点Q，求线段PQ的长度
4..如图,在□ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,
求证:(1)四边形AECF是平行四边形。(2)AE=CF。
连续递推，豁然开朗；
5. 在中，，分别是边的中点，延长到点，
使，连结．连结，交于点，若，求的长．
6．如图，点E是 ABCD内一点，且AE⊥AD，CE⊥CD，∠AEB＝135°．
（1）写出图中与∠BAE相等的角，并证明；（2）求证：CE＝CD；
（3）用等式表示线段BC，AE，BE之间的数量关系，并证明．
思维拓展，更胜一筹
7．图1是由两个全等直角三角形和两个长方形组成的，将其剪拼成不重叠，无缝隙的大正方形（如图2）。记①，②，③，④的面积分别为，已知。
求（1）；（2）若的周长比图2正方形的周长大18，求图2正方形的边长。
参考答案 第四章 平行四边形 综合练习（1）
1.证明：假设∠C=90°， AC2+BC2=AB2 ∴这与AC2+BC2≠AB2矛盾
因此假设不成立，故原命题成立.
2.解：∵DB＝DC，∠C＝70°，∴∠DBC＝∠C＝70°，
由AD∥BC，∴∠ADE＝∠DBC＝70°，
∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∠DAE＝90°﹣∠ADE＝20°
3..解：∵AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，∴∠ACB＝90°，∴AC6，
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∴CO＝AOAC＝3，
∴DO＝BO，∴BD＝2DO＝2，
4．解：如图所示，过点A作于E，
∵，，∴是等腰直角三角形，∴，
∴，∴，
∵四边形是平行四边形，∴，
5．解：∵E，F分别是AB，AC边的中点，
∴EF是△ABC的中位线，∴EF=BC.∵BC=10，∴EF=5.
在Rt△ADC中，∵F是AC的中点，AC=8，∴DF=AC=4，∴DE=EF-DF=5-4=1.
6.(1)在△AOE和△COD中, ∴△AOE≌△COD(ASA)。∴OD=OE。
(2) ∵ △AOE≌△COD(ASA)∴OD=OE又∵AO=CO,∴四边形AECD是平行四边形。
7．（1）证明：如图由勾股定理得：，
，
（2）证明：如图所示，连接.
，，
，，
，，，
，，，，
（3）解：如图3，连接，交于，与交于点，设与的交点为，
点、分别是，的中点，，，，
四边形是平行四边形，，，，
，分别是，的中点，，，，
，四边形是平行四边形，，，
在和中，，，，
，分别是的中线，由（2）的结论得：，
，．
参考答案 第四章 平行四边形 综合练习（2）
1．证明：假设，∴，这与矛盾；因此假设不成立，∴
2.解：根据翻折可知：∠B′AC＝∠BAC，
∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB∴∠BAC＝∠DCA∴∠BAC＝∠DCA＝∠B′AC，
∵∠1＝∠B′AC+∠DCA，∴∠1＝2∠BAC＝36°，∴∠BAC＝18°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠2＝180°﹣18°﹣36°＝126°，
3.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝7，BC＝AD，AD∥BC，
∵BF平分∠ABC交AD于F，CE平分∠BCD交AD于E，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB，∠BCE＝∠DCE＝∠CED，∴AB＝AF＝7，DC＝DE＝7，
∴EF＝AF+DE﹣AD＝7+7﹣AD＝3．∴AD＝11，∴BC＝11．
4．解：如图，过点B作BE⊥AD，交DA的延长线于点E，∵S△ABP=AP·BE，S△PCD=DP·BE，
∴S△ABP+S△PCD=AP·BE+DP·BE=(AP+DP)·BE=AD·BE，∴3=AD·BE，
∴AD·BE=6，∴ ABCD的面积为6.

5．解：∵DE是△ABC的中位线， AC=10， AB=6，
∴∠CAF=∠DFA，
∵AF平分∠BAC∴∠DAF=∠CAF∴∠DAF=∠DFA∴DF=DA =3∴EF= DE-DF =5-3=2，
6.【详解】证明：（1）如图：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，，∠3=∠4
∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，∴∠1=∠2∴∠5=∠6
∵在△ADE与△CBF中，∠3=∠4，AD=BC，∠5=∠6，∴△ADE≌△CBF（ASA）∴AE=CF
（2）∵∠1=∠2，∴
又∵由（1）知△ADE≌△CBF，∴DE=BF∴四边形EBFD是平行四边形
7．（1）证明：∵P是BD的中点，N是DC的中点，M是AB的中点，
∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，∴PN=BC，PM=AD.
又∵AD=BC，∴PM=PN，∴∠PMN=∠PNM
（2）证明：由(1)知，PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN∥BC，PM∥AD，∴∠PNM=∠F，∠PMN=∠AEM.
又∵∠PNM=∠PMN，∴∠AEM=∠F
（3）解：△CGD是直角三角形.
证明：如图，连结BD，取BD的中点P，连结PM，PN.
∵P是BD的中点，N是DC的中点，M是AB的中点，
∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，
∴PN∥BC，PN=BC，PM∥AD，PM=AD.
∵AD=BC，∴PM=PN，∴∠PNM=∠PMN.
∵PM∥AD，∴∠PMN=∠ANM=60°，∴∠PNM=∠PMN=60°.
∵PN∥BC，∴∠CGN=∠PNM=60°.又∵∠CNG=∠ANM=60°，∴△CGN是等边三角形，∴CN=GN.
又∵CN=DN，∴DN=GN，∴∠NDG=∠NGD=∠CNG=30°，∴∠CGD=∠CGN+∠NGD=90°，
∴△CGD是直角三角形
参考答案 第四章 平行四边形 综合练习（3）
1．证明：如图所示，连结DE.
假设BD和CE互相平分，则四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD.
∵在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，∴BE不可能平行于CD.故假设不成立，
∴BD和CE不可能互相平分
2.解：根据图形的折叠可得：AE=EC，即，，又∵，∴∠AEC=130°，∴∠FEC=65°，
∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥B∴∠DFE=115°∴∠GFE=115°，
3.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD．
∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形．∴AB＝DE＝CD，∴D为CE中点．
∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°．∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠ABC＝60°．∴∠CEF＝30°．
∵EF＝2，∴tan30°，∵CF＝2，∴AB＝CF＝2．
4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD= BC ，
∵的周长为40，∴2(BC+CD)=40，∴BC+CD=20，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴AE×BC=AF×CD，
∵AE=4，AF=6，∴4BC=6CD，即BC=1.5CD，∴1.5CD+CD=20，∴CD=8，
∴的面积为6x×8=48，
5．【解答】解：∵ AD是∠BAC的角平分线，∴∠DAG=∠DAC.
∵CG⊥AD于点F，∴∠AFG=∠AFC=90°，
∵AF=AF，∴△AFG≌△AFC(ASA)，∴AG=AC=3，GF=FC.
∵AB=4，∴BG=AB－AG=1.
∵GF=FC，AE是BC上的中线，∴EF是△BCG的中位线，∴.
6（1）证明：∵BD垂直平分AC，∴AD＝CD，AB＝BC，
在△ADB与△CDB中，，∴△ADB≌△CDB（SSS），
（2）∵△ADB≌△CDB∴∠DAB＝∠DCB，
∵∠BCD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAB，∴DE∥AB，
∵AE⊥AC，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；
7.【详解】（1）证明：中，，，
又是等边三角形，，
，，
，．
（2）证明：是等边三角形，，
，∴，，
，，四边形ADFE是平行四边形．
（3）解：，
四边形是平行四边形，，，．
，，，
是等边三角形，，
，，，．
参考答案 第四章 平行四边形 综合练习（4）
1．证明：假设 ．过点 G作直线 ，使 ．
因为，由平行线判定定理（同位角相等，两直线平行），
可知 ．又已知 ，则过 G有两条直线和都平行于，
这与平行公理（过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行）矛盾．
因此假设 不成立，所以 ．
2.∵四边形是平行四边形∴，，∵E，F分别为，的中点，
∴，，∴平行四边形是平行四边形，∴，∴，
∴，，∴，
由折叠的性质得，，∴，
3.（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形且AC＝2，BD＝4∴
∵，∴OA2+AB2＝4＝OB2，∴△AOB是直角三角形，且∠BAO＝90°，
（2）∵，∴，
则平行四边形ABCD的周长为；
（3）如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵，
∴S平行四边形ABCD＝BC AE＝AB AC，即，解得，
即点A到BC边的距离为．
4．解：过点B作BF⊥CE于点F，
四边形ABCD为平行四边形，AB//CD，AD=BC=5，∠BAD=∠C，∠DEA=∠BAE，
AE平分∠BAD，∠DAE=∠BAE，∠DAE=∠DEA，DA=DE=3，CE=CD-DE=2，
∠BAD=∠BEC，∠C=∠BEC，BE=BC=3，EF=CF=1，
在Rt△BCF中，BF=，平行四边形 的面积为CD×BF=5×=，
5．解：∵，分别是边，的中点，∴是的中位线.∴，且.∴.又∵恰好平分 ，∴.∴.∴为等腰三角形，且.∴.
6∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC．
又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF，∴AC＝DF＝AE，
同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，
∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
7..（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝60°，∴△ABE为等边三角形，∴AB＝AE．
（2）解：①由（1）可知△ABE为等边三角形，即AB＝BE＝AE，
∵，∴BE＝ABBC，∴CE＝BC﹣BE＝2BE﹣BE＝BE，∴AE＝CE，
∵O为平行四边形ABCD对角线的交点，∴AO＝CO，∴EO⊥AC，OE∥AB，∴BA⊥AC，
∵AB＝4，∴ACAB＝4，∴OAAC＝2，
∴OB2，∴BD＝2OB＝4；
②如图所示，过点A作AG⊥BC于G，过点D作DH⊥BA交BA延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，，OBBD，
设AD＝BC＝2x，，∴AB＝2mx，
∵∠BAD＝120°∴∠HAD＝180°﹣120°＝60°∴∠ADH＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴，∴，∴BH＝AB+AH＝x+4，
∴，
∵∠ABG＝60°，AG⊥BC，∴∠BAG＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴，
AG2＝AB2﹣BG2＝12，CG＝BC﹣BG＝2x﹣2∴AC2＝AG2+CG2＝12+（2x﹣2）2＝4x2﹣8x+16，∵OB2﹣OA2＝k，∴，∴，
∴，∴x2+2x+4﹣x2+2x﹣4＝k，
∴k＝4x，又∵AB＝2mx＝4，∴，∴．
参考答案 第四章 平行四边形 综合练习（5）
1．解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于，
∴第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°．
∴∠A+∠B+∠C>180°这与“三角形三个内角的和等于180°”矛盾；
因此假设不成立，∴三角形的内角中至少有一个角不大于60°
2.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=55°，
由折叠的性质得：∠D'=∠D=55°，∠MAD'=∠DAM=24°，
∴∠AMN=∠D+∠DAM=55°+24°=79°，∠AMD'=180°-∠MAD'-∠D'=101°，∴∠NMD'=101°-79°=22°；
3.解：连接AC，BD交于O，过C作CM⊥AD于M，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，
∵PQ将平行四边形面积平分∴O在PQ上，由中心对称性知CQ＝AP＝2∴DP＝BQ＝1，
∵∠MDC＝∠ABC＝60°∴∠MCD＝30°∴DMCD＝1，CMDM∴DM＝DP，
∴M，P重合∴CP，∠PCQ＝∠DPC＝90°∴PQ，
4..(1)连结AC交BD于点O。∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC,OB=OD。
∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF。∴四边形AECF是平行四边形。
(2)∵四边形AECF是平行四边形,∴AE=CF。
5．解：∵分别为的中点，∴，，∴，
∵，∴，∴四边形是平行四边形；
∵，，∴，，
∵，∴，
在中，，
在平行四边形中，，，
在中，，∴．
6解：（1）∠BCE＝∠BAE．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD．∵AE⊥AD，CE⊥CD，∴∠EAD＝∠ECD＝90°∴∠BCD﹣∠ECD＝∠BAD﹣∠EAD．即∠BCE＝∠BAE．
（2）证明：如图，延长AE交BC于点F．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD．∴∠BFA＝∠EAD＝90°．
∴∠AFC＝180°﹣∠BFA＝180°﹣90°＝90°＝∠BFA．
∵∠BEA＝135°，∴∠BEF＝180°﹣∠BEA＝180°﹣135°＝45°．
在Rt△BFE中，∠EBF＝90°﹣∠BEF＝90°﹣45°＝45°＝∠BEF．∴BF＝EF．
∵∠BCE＝∠BAE，∠AFC＝∠BFA，∴△ABF≌△CEF（AAS）．∴AB＝CE．
∵AB＝CD，∴CE＝CD．
（3）．由（2）△ABF≌△CEF可得，CF＝AF，
∴BC﹣AE＝BF+CF﹣AE＝BF+AF﹣AE＝BF+EF＝2BF．
在Rt△BFE中，∠BFE＝90°，由勾股定理可得，
BF2+EF2＝BE2，BF2+BF2＝BE2，2BF2＝BE2，∴．∴．
7．
由题意设PE=x∵，∴，∴PH=3PE=3x，∴FG=EH=4x，HQ=QG=2x，
∴S2=PE·HQ=x·2x =2x2，S3=FG·QG=4x·2x=8x2，∴S2：S3= 2：8 = 1：4；
(2)如图，由勾股定理可得，
AB=CD=PQ==，∵AD=BC=8x，EF=FG=GH=EH=4x，
又∵平行四边形的周长比长方形③的周长大18，
∴2+16 x -16x=18，∴，∴FG=4x=，、
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑