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仙游一中 2025-2026 学年下学期第一次月考试卷
高二数学
一、单选题
1．下列求导，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．在空间直角坐标系中， 为原点，已知 ， ，则（ ）
A．点 关于点 的对称点为 B．点 关于 轴的对称点为
C．点 关于 轴的对称点为 D．点 关于平面 的对称点为
3．如图，在四面体 中， 是 的中点，若 ，
， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
4．若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数 a的值为
（ ） A．－4 B．－3 C．4 D．3
5．下列关于空间向量的命题中正确的是（ ）
A．已知两个向量 ， ，则 与 的夹角为锐角
B．已知过点 的平面 的法向量为 ，则点 到平面 的
距离为
C．若 是空间的一组基底，则 也是空间的一组基底
D．已知 ， ，则 在 上的投影向量坐标为
6．在空间直角坐标系中，直线 经过点 ，且其方向向量 ，则点
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到直线 的距离为（ ） A． B． C．3 D．
7．已知 ，若函数 恰有 1个零点，则 （ ）
A． B．e C．1 D．3
8．若对任意 ，且 ，都有 ，则 a的取值
范围是（ ） A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若向量 ， ，则 ， ， 三点共线
B．若非零向量 和 不共线，若 和 共线，则
C．与向量 垂直的单位向量可以是
D．平面上三点的坐标分别为 ， ， ，若点 与 ， ， 三
点能构成平行四边形四个顶点．则 的坐标可以是
10．已知空间中三点 ， ， ，则（ ）
A． B． 方向上的单位向量坐标是
C． 是平面 的一个法向量 D． 在 上的投影向量的模为
11．已知函数 ，则（ ）
A． 是函数 的极小值点
B．
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C．对 ，方程 恒有两个不同的实数解
D．存在 ，使得直线 与曲线 相切
三、填空题
12．在平行六面体 中， ，
则 ______________.
13．函数 的单调递减区间为__________________________.
14．曲线 在 处的切线也是曲线 的切线，则实数
__________．
四、解答题
15．如图，在正方体 中， 、 分别是 、 的中点．
(1)求异面直线 与 所成的角；
(2)证明： 平面 ．
16．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 4的正方形，侧面 是正
三角形．侧面 底面 ， 是 的中点．
(1)证明：平面 平面 ．
(2)求二面角 的余弦值．
(3)若 ，求点 到平面 的距离．
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17．已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，求证： ．
18．如图，在四棱锥 中，四边形 是直角梯形，
，且 ， ，
， 为 中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)证明： 平面 ；
(3)在线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存
在，求出点 的位置；若不存在，请说明理由．
19．已知函数 ．
(1)若 ，求函数 在 处的切线方程；
(2)设 有且仅有一个极值点，求 a的取值范围；
(3)若函数 存在 2个极值点 ，且满足 ，求证： ．
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高二下数学第一次月考试卷参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C A D D B A B ACD BC AC
三、填空题
12． 13． 14．
四、解答题
15．【解】（1）异面直线 与 所成的角为 ．（2）略
16．【解】（1）略
（2）以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，过 作平面 的垂线为 轴，
建立空间直角坐标系.所以：
因为 是 的中点，故 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，所以 ，即 ，
令 ， ，即 ，
又因为平面 的一个法向量为 ，
设二面角 的平面角为 ，则
，
又因为所成角为锐角，所以二面角 的余弦值为 .
（3）若 ，此时底面 边长为 2， 是正三角形，
故 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
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又因为 ，所以点 到平面 的距离为 .
17．【解】（1）由题意可知，函数 ， 的定义域为 ，
导数 ，
当 时， ， ；
当 时， ， ； ， ；
综上，当 时，函数 在区间 上单调递增；
当 时，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
（2）由（1）可知，当 时，
函数 在区间 上单调递增，在区间 ，上单调递减．
所以 ，
要证 ，需证 ．
即需证 恒成立，
令 ，则
所以函数 在区间 单调递增，故 ，
所以 ， 恒成立，
所以当 时， ．
18．【解】解析 （1）略
（2）证明；记 中点为 ，连接 ， ，
则四边形 为正方形，且根据勾股定理得 ，
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所以 ，则 ，所以 ．
又因为 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ．
又因为 ，所以 ，
且 ， ， 平面 ，所以 平面 ．
（3）由（2）知， 平面 ，且 ．以 为坐标原点，建立如图空间直角坐
标系，
则 ， ， ， ， ，
由向量爪子定理：设 ，则
则 ， ， ，
平面 的法向量 （只需在找一条与 垂直的线，且垂直于 ），取
与平面 的法向量为 则 ，则 ，
令 ，得 ．
设平面 与平面 的夹角为 ， ，
则 ，解得 ．
因此存在点 为 的中点，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
19．【解】（1）当 时， ，
，且 ，
故 在 处的切线方程为 ，即 2x＋y－2＝0，
（2） ，
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，
由 ＝0可得 ，令 ，x>0，
则
令 ， 在 上单调递减，且 ，
则当 时， ，则 ，即 在 上单调递增，
时， ， ，即 在 上单调递减，
且又 时， ， 时， ，
由题得， 有且只有一个变号根，故
（3）由 ，可得 ，
令 ，则 ，由 得 ，由 ，得 .
故 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，当 时， ，
因 ，对于 ，有 ， ，故 ， ，
则由 ，又 ，故 ，
令 ，则 ，
因 ，则 ，故 在 上单调递增，
又 ，
则 在 上存在唯一解 ，∴
又 ， ，
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则有 ，故可得 ．
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