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(共14张PPT)
7.2　不等式的基本性质
1.不等式的基本性质
性质 数学符号表示 语言叙述
性质1 如果a>b,那么 a+c b+c, a-c　 　b-c 不等式的两边都加上(或都减去)同一个数,不等号的方向　 　
性质2 如果a>b,并且c>0, 那么ac　 　bc, 　 　 不等式的两边都乘以(或都除以)同一个正数,不等号的方向　 　
性质3 如果a>b,并且c<0, 那么ac　 　bc, 　 　 不等式的两边都乘以(或都除以)同一个负数,不等号的方向________
>
>
不变
>
>
不变
<
<
改变
2.求差法比较大小
用不等式的一边减去另一边,比较作差所得到的结果与0的大小.
(1)a-b>0 a>b;　　(2)a-b≥0 a≥b;
(3)a-b<0 a注意:运用求差法比较大小的一般步骤是:
(1)作差; (2)判断差的符号; (3)确定大小.
3.不等关系的传递性
如果a>b且b>c,那么a　 　c.
>
不等式的基本性质
下列说法不一定成立的有　 　.(填序号)
①若a>b,则a+c>b+c; ②若a+c>b+c,则a>b;
③若a>b,则ac2>bc2; ④若ac2>bc2,则a>b;
⑤若a(c2+1)>b(c2+1),则a>b; ⑥若a>b,则>;
⑦若a>b,则a2>b2.
③⑦
1.根据不等式的性质,用不等号填空:
(1)若a>b,则a+2　 　b+2;
(2)若-5x<20,则x　 　-4;
(3)若x>y,则-3x-1　 　-3y-1;
(4)若a0,则+c　 +c.
>
>
<
<
2.(2025·南昌)根据不等式的基本性质将下列不等式化成“x>a”或“x(1)x-1>3; (2)->1.
解:(1)根据不等式的基本性质1,
两边都加1,得x>3+1,即x>4.
(2)根据不等式的基本性质3,
两边都乘-2,得x<-2.
含参数的不等式
(1)若a>2,则不等式(2-a)x(2)不等式(-2m+1)x>-2m+1的解集为x<1,则m的取值范围是　 　.
[解题策略] 变形前后不等号的方向不变,说明两边乘以(或除以)的数是正数;变形前后不等号的方向改变,说明两边乘以(或除以)的数是负数.
x>-1
m>
3.(1)若mm-n的解集为　 　;
4.(1)已知方程ax+12=0的解是x=3,求不等式(a+2)x<-6的解集;
解:(1)将x=3代入方程ax+12=0,得a=-4.
当a=-4时,不等式(a+2)x<-6为-2x<-6,解得x>3.
x<1
(2)(2026·成都七中)若关于x的不等式(a-3)x>1可化为x<,则a的取值范围是　 .
a<3
(2)若不等式ax-2>0的解集为x<-2,求关于y的方程ay+2=0的解.
(2)∵ax-2>0,∴ax>2.
∵此不等式的解集为x<-2,∴a<0,
∴不等式的解集为x<,
∴=-2,解得a=-1.
则关于y的方程为-y+2=0,解得y=2.
利用不等式的性质比较整式的大小
若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a(1)试比较代数式5m2-4m+2与4m2-4m-7的值之间的大小关系;
解:(1)(5m2-4m+2)-(4m2-4m-7)=5m2-4m+2-4m2+4m+7=m2+9.
∵不论m为何值,都有m2+9>0,
∴5m2-4m+2>4m2-4m-7.
(2)已知代数式3a+2b与2a+3b相等,试用等式的性质比较a,b的大小关系;
(2)∵3a+2b=2a+3b,
∴等式两边同时减去(2a+3b),得
3a+2b-(2a+3b)=0,
整理,得a-b=0,∴a=b.
(3)已知m-n-1=n-m,试用等式的性质比较m,n的大小关系.
(3)∵m-n-1=n-m,
根据等式的性质两边同时乘以6可得
3m-2n-6=3n-2m,整理,得5m-5n=6,
即5(m-n)=6,∴m-n>0,∴m>n.
5.比较大小:
(1)比较5-3a与-3a+2的大小;
解:(1)(5-3a)-(-3a+2)=5-3a+3a-2=3>0,
∴5-3a>-3a+2.
(2)比较6x2+3x+5与5x2+3x+2的大小.
(2)6x2+3x+5-(5x2+3x+2)=6x2+3x+5-5x2-3x-2=x2+3.
∵x2≥0,∴x2+3>0.∴6x2+3x+5-(5x2+3x+2)>0,
∴6x2+3x+5>5x2+3x+2.
6.有一个两位数,个位上的数是a,十位上的数是b,如果把这个两位数的个位与十位上的数对调,试比较新得到的两位数与原来的两位数的大小.
解:因为原来的两位数为10b+a,新得到的两位数为10a+b,
所以(10a+b)-(10b+a)=10a+b-10b-a=9a-9b.
当a>b时,a-b>0,则9a-9b>0,所以10a+b>10b+a,
即新得到的两位数大于原来的两位数;
当a=b时,a-b=0,则9a-9b=0,所以10a+b=10b+a,
即新得到的两位数等于原来的两位数;
当a即新得到的两位数小于原来的两位数.(共22张PPT)
7.1 认识不等式
7.1.1　不等式
1.不等式的概念
用不等号“<”“>”或“≤”“≥”表示　 　的式子.
不等关系
例:用不等号填空:
大于(　 　);小于(　 　);不大于(　 　);
不小于(　 　);不超过(　 　);至多(　 　);
至少(　 　);正数(　 　)0;负数(　 　)0;
非负数(　 　)0;非正数(　 　)0……
>
<
≤
≥
≤
≤
≥
>
<
≥
≤
2.不等式的解
能使不等式成立的　 　的值,叫做不等式的解.
3.列不等式
根据数量关系列不等式的关键是找出其中的 关系,用含未知数的代数式表示这个关系即可列出不等式.
注意:在具体的问题情境中,有一些反映不等关系的字词,如:不足、超过、达不到、不大于(小于或等于)、不小于(大于或等于)等,我们要灵活运用不等式表示数量关系.
未知数
不等
不等式的概念
下列式子中:① 3x=5;②a>2;③3m-1<4;④ 5x+6y;
⑤-1<2;⑥-1≠5.不等式有 (　 　)
A.2个　　B.3个　　C.4个　　D.5个
[分析] 判断不等式的关键是看式子中是否有不等号.
C
1.下列式子中,是不等式的有 (　 　)
①2x=7;②2x+3;③-2<2;④5a-3≥0;⑤x≠1;⑥m-n>8.
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
2.用不等号填空:
(1)-　 　-; (2)x2+1　 　1;
(3)若02,b>2,则a+b　 　ab;
(5)若b>0,则a+b　 　a-b; (6)　 +.
B
>
≥
<
<
>
≤
不等式的解
x=3是下列哪个不等式的解 (　 　)
A.x+2>4 B.x2-3>6
C.2x-1<3 D.3x+2<10
[方法归纳] 检验某数是否是不等式的解与方程的解的检验方法相同,将所给的数代入不等式中,如果不等式成立就是不等式的解,反之,则不是.
A
3.x=-1不是下列哪一个不等式的解(　 　)
A.2x+1≤-3 B.2x-1≥-3
C.-2x+1≥3 D.-2x-1≤3
4.请写出满足不等式2x-1<5的正整数x的值　 　.(填写一个即可)
5.下列哪些数是不等式2x-5>3的解 哪些不是
-3,0,2,4,4.001,5,51.
A
1或2
解:4.001,5,51是不等式的解,
-3,0,2,4不是不等式的解.
根据数量关系列不等式
用不等式表示下列关系:
(1)a是正数;
解:(1)a>0.
(2)2x与2的差小于-1;
(2)2x-2<-1.
(3)x的4倍大于7;
(3)4x>7.
(4)2y的不等于3;
(4)≠3.
(5)a与b的平方差不小于4;
(5)a2-b2≥4.
(6)(a-b)2≤4.
(6)a与b的差的平方不大于4;
(7)a的绝对值的相反数小于-3.
(7)-<-3.
6.(2025·山西)某双向六车道高速公路,分车道与分车型组合限速,其标牌版面如图所示.每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速(单位:km/h),右侧数字代表该车道车型的最低通行车速(单位:km/h).王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶,车速为v km/h,则车速v的范围是 (　 　)
A.90≤v≤100 B.80≤v≤100 C.60≤v≤100 D.60≤v≤80
C
7.用不等式表示:
(1)a的2倍与4的差是正数;
解:(1)2a-4>0.
(2)a的与15的和的是负数;
(2)<0.
(3)x的绝对值与1的和大于1;
(3)+1>1.
(4)a的20%与a的和不等于a的2倍与1的差;
(4)20%a+a≠2a-1.
(5)b的与c的和不大于9;
(5)b+c≤9.
(6)a与b的和大于a的2倍而小于b的3倍.
(6)2a7.1.2　不等式的解集
1.不等式的解集与解不等式
一个不等式的　 　 解,组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集.
求不等式的解集的过程,叫做解不等式.
注意:不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值,而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值,不等式的所有解组成了不等式的解集,解集包括了每一个解.
所有
2.用数轴表示不等式的解集的方法
大于向 画,小于向 画,有等号(“≥”“≤”)画 ,无等号(“>”“<”)画 .
注意:用数轴表示不等式的解集时,要注意“两定”:一是定边界点,注意边界点是实心还是空心,若边界点包含于解集则为实心圆点,若不包含于解集则为空心圆圈;二是定方向,其原则是“小于向左,大于向右”.
右
左
实心圆点
空心圆圈
不等式的解集
判断下列说法是否正确.
(1)x=1是不等式3x<4的解; (　 　)
(2)x=1是不等式3x<4的解集; (　 　)
(3)不等式3x<4的解是x=1; (　 　)
(4)不等式2x≥4的解集是x>2; (　 　)
(5)x>2中的所有数都是不等式2x≥4的解. (　 　)
√
×
×
×
√
[分析] 根据不等式的解、解集的概念进行判断.
1.下列不等式的解集中,不包括-3的是 (　 　)
A.x≤-3 B.x≥-3 C.x≤-4 D.x>-4
2.下列说法中,错误的是 (　 　)
A.不等式x<2的正整数解中只有一个数,为1
B.x=-2是不等式2x-1<0的一个解
C.不等式-3x>9的解集是x=-3
D.不等式x<10的整数解有无数个
3.a≥-1的最小值是m,b≤8的最大值是n,则m+n=　 　.
C
C
7
利用数轴表示不等式的解集
在数轴上分别表示下列不等式的解集:
(1)x<-2;
解:如答案图所示.
(1)
(答案图)
(2)x>2;
(3)-1≤x<4.
(2)
(答案图)
(3)
(答案图)
4.(2026·重庆育才)下面数轴上所表示的不等式解集正确的是 (　 　)
A.x>1 B.x≤4 C.1≤x<4 D.1D
5.在数轴上表示下列不等式的解集:
(1)x>-1;
解:如答案图所示.
(1)
(答案图)
(2)x<0;
(2)
(答案图)
(3)x≤;
(4)-1≤x<1.
(3)
(答案图)
(4)
(答案图)(共31张PPT)
7.4　解一元一次不等式组
1.一元一次不等式组的概念
关于　 　未知数的几个一元一次不等式合在一起,就得到一个一元一次不等式组.
2.一元一次不等式组的解集
不等式组中几个不等式的解集的　 ,叫做这个不等式组的解集.
同一个
公共部分　
3.解不等式组
(1)概念:求不等式组的解集的过程叫做解不等式组.
(2)方法:分别求出不等式组中每个不等式的解集, 并在同一条数轴上表示出来,找出它们的公共部分.若没有公共部分,则说明该不等式组无解.
(3)求几个不等式解集的公共部分的规律:
注意:求不等式组的解集时,千万不要将不等式组的解法与方程组的解法相混淆,必须先求出各个不等式的解集,再求公共解.
不等式组的解集
利用数轴求下列不等式组的解集:
(1)
解:(1)
∴x≥3.
(2)
(2)
∴x≤-2.
(3)
(3)
∴-2≤x≤3.　
(4)
(4)
∴无解.
1.(2026·重庆南开)如图,数轴上表示的是某不等式组的解集,则这个不等式组可以是 (　 　)
A. B. C. D.
C
2.下列不等式组求解的结果,正确的是(　 　)
A.不等式组的解集是x≤-3
B.不等式组的解集是x≥-4
C.不等式组无解
D.不等式组的解集是-3B
解一元一次不等式组
解下列不等式组:
(1)
解:解不等式①,得x>3.解不等式②,得x≥1.
在数轴上的表示如答案图所示:
∴不等式组的解集为x>3.
(2)
解:解不等式①,得x<3.解不等式②,得x>.
在数轴上的表示如答案图所示:
(答案图)
∴不等式组的解集为(3)
解:解不等式①,得x>2.解不等式②,得x≤-1.
在数轴上的表示如答案图所示:
∴不等式组无解.
(答案图)
(4)2≤-3x-7<8.
解:将不等式变形为
解不等式①,得x≤-3.解不等式②,得x>-5.
在数轴上的表示如答案图所示:
∴不等式组的解集为-5(答案图)
3.解下列不等式组:
(1)
解:解不等式①,得x≥1.解不等式②,得x>2.
在数轴上的表示如答案图所示:
(答案图)
∴不等式组的解集为x>2.
(2)
解:解不等式①,得x<4.解不等式②,得x<1.
在数轴上的表示如答案图所示:
∴不等式组的解集为x<1.
(答案图)
(3)
解:解不等式①,得x≥7.解不等式②,得x<2.
在数轴上的表示如答案图所示:
∴不等式组无解.
(4)
解:解不等式①,得x<3.解不等式②,得x≥-.
在数轴上的表示如答案图所示:
∴不等式组的解集为-≤x<3.
(答案图)
求一元一次不等式组的整数解
(1)解不等式组并写出该不等式组的非负整数解;
解:解不等式①,得x≤1,解不等式②,得x>-4,
在数轴上的表示如答案图所示：
∴不等式组的解集是-4(2)解不等式组并求出它的所有整数解的和.
解:解不等式①,得x≤3,解不等式②,得x>,
在数轴上的表示如答案图所示：
∴不等式组的解集为∴不等式组的所有整数解的和为1+2+3=6.
[易错提示] 在求不等式(组)的整数解时,要理解“整数解”“非负整数解”“正整数解”“负整数解”等语句的含义,辨别清楚它们相互之间的区别.
4.解不等式组并写出它的所有整数解.
解:解不等式①,得x>-1,解不等式②,得x<4,
在数轴上的表示如答案图所示：
∴不等式组的解集是-1含参数的一元一次不等式组
已知关于x的不等式组下列四个结论:
①若它的解集是1②当a=2时,不等式组有解;
③若它的整数解仅有3个,则a的取值范围是9≤a<11;
④若它无解,则a≤3.
其中正确的结论是　 　(填序号).
①③④
[思维点拨] 根据解的情况确定字母系数的取值时,也可以利用画数轴的方法直观分析,在确定值时注意考虑边界点的取舍.
5.若关于x的不等式组的解集为x<-3,则m的取值范围为(　 　)
A.m≥-4 B.m>-4
C.m≤-4 D.m<-4
A
6.(2026·重庆育才)已知关于x的不等式组至少有2个奇数解,则a的取值范围是　 　.
a≥-3
一元一次不等式组的应用
一年一度的NK校庆及运动会圆满结束,为表彰在校庆及运动会中表现优异的同学,初二某班班委会分两次购买了A、B两种文创产品作为奖品,每次购进同一种奖品的单价相同,具体情况如下表所示:
购进数量(件) 所花费用(元)
A B
第一次 15 20 520
第二次 20 17 616
(1)求A、B两种奖品的单价分别是多少元
解:(1)设A种奖品的单价是x元,B种奖品的单价是y元.根据题意,得
解得
答:A种奖品的单价是24元,B种奖品的单价是8元.
(2)考虑到啦啦队和后勤服务的同学也做出了很多贡献,班委会计划用不超过480元再购买一批奖品,要求三次一共购进A、B两种奖品共100件,且第三次购进A种奖品的数量不少于B种奖品的数量,请问第三次有哪几种购进方案
(2)设第三次购进m件A种奖品,则购进100-15-20-20-17-m=(28-m)件B种奖品.
根据题意,得
解得14≤m≤16.
又∵m为正整数,∴m可以为14,15,16,
∴第三次有3种购进方案,分别是:
方案1:购进14件A种奖品,14件B种奖品;
方案2:购进15件A种奖品,13件B种奖品;
方案3:购进16件A种奖品,12件B种奖品.
7.某景区提供豪华型和舒适型两种型号的观光车租用,其中豪华型观光车每辆可乘坐5人,两种观光车的单人票价不同(均按人数收费),若40人租用豪华型观光车,30人租用舒适型观光车共需940元;若30人租用豪华型观光车,40人租用舒适型观光车共需880元.
(1)求两种观光车的单人票价;
解:(1)设豪华型观光车的单人票价为x元,舒适型观光车的单人票价为y元.根据题意,得
解得
答:豪华型观光车的单人票价为16元,舒适型观光车的单人票价为10元.
(2)某公司组织员工去该景区游玩,景区现有16辆豪华型观光车和若干辆舒适型观光车供租用.为了提高游玩体验,公司和景区管理部门协调决定优先租用豪华型观光车,如果豪华型观光车租完,再租用舒适型观光车,景区管理部门并在观光车的租赁总费用中优惠200元.若景区管理部门希望该公司人均观光车的费用不低于12元,求该公司租用观光车的员工人数范围.
(2)设该公司租用观光车的员工人数为m人.根据题意,得
当0解得m≥50,∴50≤m≤80;
当m>16×5,即m>80时,
16×16×5+10(m-16×5)-200≥12m,解得m≤140,
∴80综上所述,该公司租用观光车的员工人数m的范围为50≤m≤140.(共35张PPT)
7.3　解一元一次不等式
第1课时　解一元一次不等式
1.一元一次不等式的概念
只含有　 　未知数、左右两边都是　 　,并且未知数的次数都是　 　的不等式叫做一元一次不等式.
一个
整式
1
2.解一元一次不等式的一般步骤
解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤基本相同:
(2)解一元一次不等式与解一元一次方程一样,都是通过“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”几个步骤确定答案.
(3)如果未知数的系数为负数,那么在系数化为1时,要改变不等号的方向.
(4)在数轴上表示不等式的解集,大于向右画线,小于向左画线,界点有等号画实心圆点,无等号画空心圆圈.
方法总结:(1)解一元一次方程,要根据等式的性质,将方程逐步化为x=a的形式;而解一元一次不等式,则要根据不等式的性质,将不等式逐步化为xa的形式.
一元一次不等式的概念
(1)有下列不等式:①x>-3;②xy≥1;③x2<3;④-≤1;⑤>1,其中是一元一次不等式的有 (　 　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
(2)已知2-3>0是关于x的一元一次不等式,则a=　 　;
(3)已知(m-4)+2>6是关于x的一元一次不等式,则m的值为　 　.
-
2
1.下列式子是一元一次不等式的是 (　 　)
A.-2<3 B.(x-6)<0
C.2x-y>4 D.x2-1>0
2.若(m-2)-3>6是关于x的一元一次不等式,则m=　 　.
B
0
解一元一次不等式
解下列不等式,并把它们的解集分别在数轴上表示出来.
(1)4x+1>3x-3;
(答案图)
解:移项,得4x-3x>-3-1.
合并同类项,得x>-4.
在数轴上表示这个不等式的解集如答案图所示:
(2)2(x-1)+5<3x;
解:去括号,得2x-2+5<3x.
移项,得2x-3x<2-5.
合并同类项,得-x<-3.
系数化为1,得x>3.
在数轴上表示这个不等式的解集如答案图所示:
(答案图)
(3)-3>2x-1;
解:去分母,得3x+1-6>4x-2.
移项,得3x-4x>-2+6-1.
合并同类项,得-x>3.
系数化为1,得x<-3.
在数轴上表示这个不等式的解集如答案图所示:
(答案图)
(4)≥-1.
解:去分母,得2(2x-1)≥3x+2-4.
去括号,得4x-2≥3x+2-4.
移项、合并同类项,得x≥0.
在数轴上表示这个不等式的解集如答案图所示:
(答案图)
当x取何值时,代数式不小于-1,并求出所有符合条件的正整数解.
解:由题意,得≥-1.
去分母,得3(x+1)≥2(3x-1)-6.去括号,得3x+3≥6x-2-6.
移项,得3x-6x≥-2-6-3.合并同类项,得-3x≥-11.
系数化为1,得x≤.
∴当x≤时,代数式不小于-1.
∴所有符合条件的正整数解有x=1,2,3.
3.解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来:
(1)4x+5≤2(x+1);
解:去括号,得4x+5≤2x+2.
移项、合并同类项,得2x≤-3.两边都除以2,得x≤-.
解集在数轴上的表示如答案图所示:
(答案图)
(2)-1≤;
(答案图)
解:去分母,得2(x+1)-6≤3(2-x).
去括号,得2x+2-6≤6-3x.
移项、合并同类项,得5x≤10.
两边都除以5,得x≤2.
解集在数轴上的表示如答案图所示:
(3)2-<.
解:不等式变形,得2-<.
去分母,得12-3(a+3)<2(2-a).
去括号,得12-3a-9<4-2a.
移项、合并同类项,得-a<1.
两边都除以-1,得a>-1.
解集在数轴上的表示如答案图所示:
(答案图)
含参数的一元一次不等式
已知关于x的两个不等式:
①<1;②1-3x>0.
(1)若两个不等式的解集相同,求a的值;
解:(1)解不等式①,得x<.
解不等式②,得x<.
由两个不等式的解集相同,得 =,
解得a=1.
(2)若不等式①的解都是不等式②的解,求a的取值范围.
(2)由不等式①的解都是不等式②的解,得
≤,解得a≥1.
[方法归纳] 不等式①的解都是不等式②的解,若两个不等式的解集同时都是小于某个数,则在数轴上表现为不等式①的解集在不等式②的解集的左侧或重合；若两个不等式的解集都是大于某个数,则在数轴上表现为不等式的解集在不等式②的解集的右侧或重合.
已知2x-a≤0只有三个正整数解,那么这时正数a的取值范围为　 　.
6≤a<8
4.若关于x的不等式mx-n>0的解集是x<,则关于x的不等式(m+n)x>n-m的解集是 (　 　)
A.x<-　　 B.x>-　　 C.x<　　 D.x>
A
5.（1）若关于x的不等式(x-m)>3-m的解集和x+2<2x+1的解集相同,则m的值为　 　.
4
(2)(2026·重庆一中)若关于x的不等式x-a>1有且只有三个负整数解,则a的取值范围为　 .
-5≤a<-4　
6.已知x=3是关于x的不等式3x->的解,求a的取值范围.
解:将x=3代入3x->中,得
3×3->.解得a<4.
第2课时　一元一次不等式
的简单应用
解一元一次不等式应用题的步骤
(1)审:仔细审题,分清已知量和未知量,找出题目中的不等关系;
(2)设:设未知数;
(3)列:根据不等关系,列出不等式;
(4)解:解不等式,得出不等式的解集;
(5)验:检验不等式的解集是否合理,是否符合实际情况;
(6)答:写出答语.
注意:列不等式解决实际问题时,设元不能含有不等关系的关键词,但答语中必须有不等关系的关键词.
方法技巧:
常用不 等号 读作 常见的表示不等关系的
数学术语或词语
“>” 大于 正数、超出、超过、多于
“<” 小于 负数、不足、少于、低于
“≥” 大于等于 (不小于) 非负数、至少、不少于、
最低
“≤” 小于等于 (不大于) 非正数、至多、不超过、
限速、最高
“≠” 不等于
一元一次不等式的简单应用
某村为了持续推进和美乡村建设,决定加大基础设施建设.某工程队承包了该村集中供热管道改造项目,此项目工程需要铺设6 900米的管道任务,在工程开始阶段该工程队平均每天铺设管道95米,在管道铺设了20天后,为了缩短工期,经研究决定,余下的管道铺设任务要在40天内(含40天)完成,余下的管道该工程队平均每天至少需要铺设多少米
解:设余下的管道该工程队平均每天需要铺设x米.
根据题意,得95×20+40x≥6 900,
解得x≥125.
答:余下的管道该工程队平均每天至少需要铺设125米.
甲、乙两地相距30 km,小李要从甲地到乙地办事,他以5 km/h的速度前行,可按时到达.现在小李走了3 h后因为有事停留了0.5 h,为了不迟到,小李后来的速度至少是多少
解:设小李后来的速度为x km/h.
根据题意,得3×5+x≥30.解得x≥6.
答:小李后来的速度至少是6 km/h.
[思路分析]
2.某高速工地需要实施爆破,操作人员点燃导火线后,必须在炸药爆炸前跑到400 m外的安全区域.若导火线燃烧的速度为1.1 cm/s,人跑步的速度为3 m/s,则导
火线的长x(单位: cm)应满足的不等式是 　.
>400
1.(2026·成都外语校)某种商品的进价为400元,出售时标价为500元,商店准备打折出售,但要保证利润率不低于10%,则至多可以打 (　 　)
A.8折 B.8.5折 C.8.8折 D.9折
C
3.一艘轮船从某江上游的A地匀速行驶到下游的B地用了10 h,从B地匀速返回A地用了不到12 h,这段江水流速为3 km/h,轮船在静水里的往返速度v(单位:km/h)不变,v应满足的条件是　 　.
v>33
4.某制衣厂现有24名工人,每天都制作衬衫和裤子,每人每天可制作衬衫3件或裤子5条,已知制作一件衬衫可获利润30元,一条裤子可获利润16元,该厂要求每天获得的利润不少于2 100元,则至少需要安排多少名工人制作衬衫
解:设安排x名工人制作衬衫,则安排(24-x)名工人制作裤子,
依题意,得30×3x+16×5(24-x)≥2 100.
解得x≥18.则x的最小值为18.
答:至少需要安排18名工人制作衬衫.
不等式与方程(组)的综合应用
为提升办学条件,某学校计划购买部分A、B两种型号电脑.若购买2台A型电脑和3台B型电脑共需13 500元;购买1台A型电脑和1台B型电脑共需5 500元.
(1)求每台A型电脑和每台B型电脑的售价分别是多少元
解:(1)设每台A型电脑的售价是x元,每台B型电脑的售价是y元.
根据题意,得解得
答:每台A型电脑的售价是3 000元,每台B型电脑的售价是2 500元.
(2)经市场调查,现有两家商场分别推出了优惠套餐:
甲商场:A型电脑和B型电脑均打九折出售;
乙商场:A型电脑每满1 000元减150元,B型电脑无优惠活动;
该校需要购买A型电脑和B型电脑共50台,且只能选择一家商场购买,则该学校至少购买多少台A型电脑才能使选择乙商场购买更划算
(2)设该学校购买m台A型电脑,则购买(50-m)台B型电脑.
根据题意,得
3 000×0.9m+2 500×0.9(50-m)>(3 000-150×3)m+2 500(50-m),
解得m>.
又∵m为正整数,∴m的最小值为32.
答:该学校至少购买32台A型电脑才能使选择乙商场购买更划算.
5.小明一家6人去公园游玩,小明拿100元去买午饭,有12元套餐和18元套餐可供选择,若至少有2个人要吃18元套餐,则小明的购买方案有　 　种.
3
6.(2026·重庆一中)2025年4月20日,重庆沙坪坝全球校友半程马拉松在沙磁文化广场激情开幕,一商家的空顶帽销售火爆.此半程马拉松开赛前三天,商家销售A款空顶帽200个,B款空顶帽250个,销售额31 000元,已知一个A款空顶帽比一个B款空顶帽售价高20元.
(1)求一个A款空顶帽和一个B款空顶帽的售价各为多少元
解:(1)设一个B款空顶帽的售价为x元,则一个A款空顶帽的售价为(x+20)元.由题意,得200(x+20)+250x=31 000,
解得x=60,∴x+20=80.
答:一个A款空顶帽的售价为80元,一个B款空顶帽的售价为60元.
(2)半程马拉松结束后,该商家对空顶帽售价进行了调整,将每个A款空顶帽按售价的八折销售,每个B款空顶帽降价10元销售.若该商家在价格调整后销售空顶帽共300个,销售额不低于17 800元,求该商家在价格调整后至少销售A款空顶帽多少个
(2)设该商家在价格调整后销售A款空顶帽m个,则销售B款空顶帽(300-m)个.
由题意,得80×0.8m+(60-10)(300-m)≥17 800,解得m≥200.
答:该商家在价格调整后至少销售A款空顶帽200个.

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