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安徽省宿州市部分学校2025-2026学年下学期3月质量调研八年级数学 （北师大版）
一、单选题
1．若，则下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知一个三角形三个内角度数之比为，则这个三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．如图，在中，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，平分，若，则点到的距离为（ ）
A．4 B． C． D．3
6．如图，在中，，，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．3
7．如图，在中，，，，平分，交于点，则的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
8．如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，于点，是的中点，是上的一个动点，则的最小值是（　　）
A． B． C．2 D．3
10．如图，是的角平分线，，分别是和的高，下列三个结论：
①，②时，，③是的垂直平分线，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
二、填空题
11．在中，，则__________．
12．用不等式表示“的平方与的平方的和不小于与的积的4倍”：_______________．
13．如图，已知为等边三角形，点D，E分别在边，上，且，若交于点F，则的大小为___________度．
14．如图，在正方形中，M是边上的一个动点，连接，以为边，在的右侧作等边三角形，连接与交于点P．
（1）当点M与点D重合时，若，则点N到的距离为_________．
（2）当最小时，_________．
三、解答题
15．若，比较与大小，并说明理由．
16．如图，相交于点．求的大小．
17．用不等式表示下列问题中的数量关系：
(1)长为a、宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积．
(2)一辆40座（不含司机座位）的公交车内载有乘客x人，到某一站停车时下车2人，又上车a人，车内仍有空余座位．
18．如图，，相交于点O，，．求证：．
19．如图，已知：，，，垂足为E，，垂足为F．
(1)求证：；
(2)已知，求的长．
20．如图，在中，D是BC的中点，过D点作于点E，于点F，且．
(1)求证：；
(2)连接，求证：垂直平分．
21．如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长和面积．
22．如图1，三点共线，和均为等边三角形．
(1)求证：；
(2)如图2，与交于点，与交于点，连接．
①求证：；
②猜想与的位置关系，并说明理由．
23．如图，在等腰中，，点在线段上，点在的延长线上，连接，并延长交于点，且．
(1)求证：；
(2)过点作，交于点，猜想线段满足的数量关系，并证明；
(3)若为中点，求的值．
参考答案
1．B
【详解】解：∵ ，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，
∴ ，A选项错误，不符合题意；
∵ ，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变，
∴ ，B选项正确，符合题意
∵ ，不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变，
∴ ，C选项错误，不符合题意.
∵ ，不等式两边同时乘以得，两边同时加得，
∴ D选项错误，不符合题意.
故选：B.
2．A
【详解】解：三角形三个内角度数之比为，
∴设三个内角的度数分别为、、，
三角形的内角和为，
，解得，
最大内角为，
，即三角形三个内角都是锐角，
这个三角形是锐角三角形．
3．B
【详解】解：．
4．B
【详解】解：∵，
∴，
在数轴上表示不等式的解集为：
，
故选：B．
5．D
【详解】解：如图，作，垂足为，
，平分，，
，
，
，
则点到的距离为．
6．C
【详解】解：∵，，
∴，
∵将沿折叠，使点落在边上的点处，
∴，，
∵，
∴，
∴．
7．C
【详解】解：过D作于，
是的平分线，，于，
，
在Rt和Rt中，
，
∴RtRt（HL），
，
由勾股定理得，，
，
设，则
在Rt中
∴，
解得
即，
∴的面积为．
8．B
【详解】解：，，
，
是角平分线，
，
是高，
，
，
．
故选：B．
9．C
【详解】解：如图，连接，，
∵，，
∴是边上的中线，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴当点、、三点共线时，的最小值是的长，
∵在中，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是的中点，
∴，即，
∴．
10．D
【详解】解：∵，分别是和的高，
∴，，，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，故②正确；
根据已知不能推出是等腰三角形，即不一定平分，故③错误；
综上所述，正确的有①②．
11．/100度
【详解】解：．
12．
【详解】解：用不等式表示“的平方与的平方的和不小于与的积的4倍”：．
13．60
【详解】解：∵为等边三角形，点D，E分别在边，上，且，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
14． 3
【详解】解：（1）如图所示，过点N作交的延长线于点H，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，且点M与点D重合，
∴，
∴，
∴，
∴点N到的距离为3，
故答案为：3；
（2）如图所示，在右侧，以为边作等边，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即
∴点N在射线上运动，
∴当时，有最小值，此时，
∴，
故答案为：．
15．，理由见解析
【详解】解：，
（不等式性质3），
（不等式性质2）．
16．
【详解】解：，
，
．
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：根据题意，得．
（2）解：根据题意，得．
18．见解析
【详解】证明：如图：连接
∵，
∴和是直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
19．(1)见解析
(2)8
【详解】（1）证明：在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，垂足为E，，垂足为F，
∴，
∵，
∴．
20．(1)见解析；
(2)见解析
【详解】（1）证明：∵，，
∴和是直角三角形．
∵是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
∴．
∵，
∴，即．
∵是的中点，
∴是的平分线，
∴垂直平分．（三线合一）
21．(1)见解析
(2)，
【详解】（1）解：证明：，，
垂直平分，
，
；
（2）解：由（1）可知，，
，，
，
在中，，
，，
，，
在中，，
的周长，
的面积．
22．(1)见解析
(2)①见解析；②，见解析
【详解】（1）解：证明：和均为等边三角形，
．
．
在和中，，
，
；
（2）①证明：由（1）可知，，
又．
，
；
②猜想：，理由：
，，
是等边三角形，
，
，
．
23．(1)
(2)，证明见解析
(3)
【详解】（1）证明：∵等腰中，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵为中点，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴．

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