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2025-2026学年高三下学期第二次月考检测试卷 A．1 B．2 C． D．5
高三数学试卷 5．在锐角△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 a2＝bcsinA+（b﹣c）2，则
的取值范围为（ ）
注意事项： A． B．
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 C． D．
题卡上填写清楚.
6．已知点 P（2，﹣4）为抛物线 y2＝2px上一点，过点 P作圆 C：（x﹣2）2+y2＝1的两条切线
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
PA，PB，分别交抛物线于 A，B两点，则直线 AB的斜率为（ ）
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
A．1 B． C． D．
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟.
7．一质点在力 （﹣3，5）， （2，﹣3）的共同作用下，由点 A（10，﹣5）移动到 B
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选 （﹣4，0），则 ， 的合力 对该质点所做的功为（ ）
项中，只有一项是符合题目要求的）
A．24 B．﹣24 C．110 D．﹣110
1．复数（1+i）（4﹣3i）的虚部是（ ）
8．意大利数学家斐波那契（约 1170～1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即 1，1，2，
A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i
3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，
2．已知全集 U＝{x|x＞0}，集合 A＝{x|1≤x＜2}，则 UA＝（ ）
万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着
A．{x|x≤﹣1或 x≥2} B．{x|0＜x＜1或 x≥2}
广泛的应用．已知斐波那契数列 {an}满足：a1＝a *2＝1，an+2＝an+1+an（n∈N ），若 1
C．{x|x＜﹣1或 x＞2} D．{x|0＜x＜1或 x＞2}
+a3+a5+a7+a9+…+a59＝ak，则 k＝（ ）
3．若函数 在区间（1，3）内存在 2个极值点，则实数 a的取值范围为（ ） A．2022 B．2023 C．59 D．60
A． B．
二．多项选择题（本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四
C． D．
个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对的得部分
4． 设 ， 则 a0 分，有选错的得 0分）
+a1+a2+ +a10等于（ ） 9．下列命题为真命题的是（ ）
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A．“a＞0”是“a2＞0”的充分不必要条件 四．解答题（共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
B．“a＝b”是“a2＝b2”的充要条件 15．（13分）新能源汽车因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追捧，某地区电
C．“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分不必要条件 动汽车保有量呈现快速增长趋势，下表给出了近 5年该地区的电动汽车保有量 y（单位：万
D．“ ”是“a＞1”的必要不充分条件 辆）．
年份 2021 2022 2023 2024 2025
10．已知双曲线 C： 1，点 P是 C上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
年份编号 x 1 2 3 4 5
A．若直线 y＝kx与双曲线 C无交点，则
电动汽车保有量 y 1.5 2.5 4.9 7.8
B．焦点到渐近线的距离为 2
若用 作为该数据的回归直线模型，并已求得 ，
C．点 P到两条渐近线的距离之积为
（1）结合已知数据求出 2023年该地区的电动汽车保有量 y，并预测 2030年该地区的电动汽
D．点 P到点 与到直线 的距离之比为 车保有量；
11．已知可导函数 y＝f（x）的导函数为 f'（x）＝x（ln|x|+x2﹣1），则（ ）
（2）若已知 ，求此模型下的决定系数 R2（精确到 0.01）．
A．y＝f（x）有 2个极值点 x＝±1
参考公式及数据：一组数据（x ，y ），（x ，y ）， ，（x ，y ），其经验回归直线
B．y＝f′（x 3 1 1 2 2 n n）有 个零点
C．y＝f（x）只可能在 x＝1或者 x＝﹣1时取得最小值
的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 ， 决 定 系 数
D．对 x∈（﹣1，0）∪（1，+∞），f'（x）＞0恒成立
．
三．填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
16．（15分）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，AA1＝6，AC＝2AB＝4，∠BAC＝120°．点
12．函数 ，若 f（a）＝2，则实数 a的值为 ． M满足 ．
13．底面半径为 2，高为 2的圆柱的侧面积为 ．（结果保留π） （1）过点 M作 MH垂直 BC于点 H，证明：平面 MBC⊥平面 AA1H；
14．已知事件 A，B满足 ，则 P（B|A）＝ （2）求平面 BCM与平面 B1C1M夹角的余弦值．
．
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（3）若 a≤x0≤2a，且 f（x0）＝4a，求 a的取值集合．
17．（15分）在数列{an}中，对于任意的 n≥2，n∈N*，都有 an+1＝pan+qan﹣1（p，q为非零常数）， 参考答案
则称数列{an}为“（p，q）﹣数列”．已知数列{an}是“（2，3）﹣数列”，且 a1＝1，a2＝3．
一．单项选择题
（1）证明：数列{an+1﹣3an}是常数列．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
（2）若数列{bn}是“（2，﹣1）﹣数列”，且 b1＝a1，b2＝a2．
答案 B B B B C A A D
（i）求数列{（﹣1）n }的前 2n项的和 S2n；
（ii）若 cn ，是否存在非零常数 t，s，使得数列{cn}为“（t，s）﹣数列”？若存在，
二．多项选择题
任求出 t，s的值；若不存在，说明理由．
题号 9 10 11
答案 ACD BCD ACD
18．（17分）已知点 ， ，动点 P在 x轴下方，且满足|PS|+|PT|＝4，记点 P
三．填空题
的轨迹为 C．已知 Q是 C上一点，A1，A2分别是 C的左、右顶点，A1Q，A2Q分别交直线 x
12．【0或 ．
＝2和 x＝﹣2于 M，N两点，以 MN为直径的圆记为圆 D．
13．8π．
（1）求 C的方程；
（2）判断圆 D是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由． 14． ．
四．解答题
15．（1）根据表格数据， ，所以 ，
19．（17分）已知函数 f（x）＝cosxcos2x﹣cos3x． 所以 2023年电动汽车保有量为 y＝4.02×5﹣（1.5+2.5+4.9+7.8）＝3.4万辆．
（1）求 f（x）的值域； 2030年对应的年份编号为 10，代入 y＝1.5x﹣0.48，可求得 y＝14.52．
（2）当 时，证明：f（x）＜lnx； 即在 2030年时，电动汽车保有量可能为 14.52万辆．
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（ 2） 设平面 BCM的一个法向量为： ，
，
由 ，
所以决定系数 ．
则 ，
令 x1＝3，则 ，所以 ，
16．解：（1）证明：根据题意作出示意图，
同理可得设平面 B1C1M的一个法向量为 ，
设平面 BCM与平面 B1C1M所成角为θ，
所以
，
AA1⊥面 ABC，BC 面 ABC，则 AA1⊥BC，
又因为 MH⊥BC，MH∩AA1＝M，MH 面 AA1H，AA1 面 AA1H， 所以平面 BCM与平面 B1C1M夹角的余弦值为： ．
故 BC⊥面 AA1H，
又因为 BC 面 MBC，故面 MBC⊥面 AA1H； 17．解：（1）证明：由数列{an}是“（2，3）﹣数列”，
（2）建立如图所示的空间直角坐标系， 得当 n≥2，n∈N*时，an+1＝2an+3an﹣1，
整理得 an+1﹣3an＝﹣（an﹣3an﹣1），
而 a2﹣3a1＝3﹣3＝0，
因此 an+1﹣3an＝0，所以数列{an+1﹣3an}是常数列．
（2）（i）由数列{b *n}是“（2，﹣1）﹣数列”，得当 n≥2，n∈N 时，bn+1＝2bn﹣bn﹣1，
即 bn+1﹣bn＝bn﹣bn﹣1，
b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，
因为 ， 即有 bn+1﹣bn＝b2﹣b1＝2，
因此{bn}是首项为 1，公差为 2的等差数列，
所以 ，
则 bn＝2n﹣1，
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S ＝﹣1+32﹣52+72﹣...﹣（4n﹣3）2+（4n﹣1）22n ＝2（1+3+5+7+...+4n﹣1）＝2 2n（1 又点 P在 x轴下方，
+4n﹣1）＝8n2； 所以 C的方程为 ；
（ ii）由（1）知 an+1＝3an，而 a1＝1，则数列{an}是首项为 1，公比为 3的等比数列， （2）设 Q（x0，y0），（y0＜0），
， 由（1）得 A1（﹣2，0），A2（2，0），
，即 ， 所以直线 A1Q的斜率为 ，
则 ， 可得直线 A1Q的方程为 ，
令 x＝2，
两式相减，得
解得 ，
，因此 ，
假设存在非零常数 t，s，使得数列{cn}为“（t，s）﹣数列”，即当 n≥2时，cn+1＝tcn+scn﹣1， 即 ，
即 n≥2，n∈N*， 恒成立， 同理得直线 A2Q的斜率为 ，
则 t+s＝1，且 对 n≥2，n∈N*恒成立， 所以直线 A2Q的方程为 ，
即 n≥2，n∈N*，（9﹣6t）n+3t＝n+2 令 x＝﹣2，恒成立，于是 ，而此方程组无解，
所以不存在非零常数 t，s，使得数列{cn}为“（t，s）﹣数列”． 解得 ，
即 ，
18．解：（1）因为 ， ，
所以以 MN为直径的圆 D方程为 ，
因为动点 P在 x轴下方，且满足|PS|+|PT|＝4，
则 ，
所以 ，
又 ，
由椭圆的定义得 2a＝4， ，
所以 ，
所以 a＝2，
则 b2＝a2﹣c2＝1， 此时 ， ，
故椭圆的方程为 ， 则方程变形为 ，
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即 ， 注意到 ，于是 ，
令 x2+y2＝0，
而 时，g（t）单调递减，于是 f（x）在[a，2a]上单调递增，
所以 4y＝0，
可得 2sin2acosa≤4a≤2sin22acos2a，
解得 x＝y＝0．
而设 F（x）＝x﹣sinx，F′（x）＝1﹣cosx≥0，F（x）在 R上单调递增，
则定点为（0，0）．
故 F（2a）＝2a﹣sin2a≥F（0）＝0，
于是 4a≥2sin2a≥2sin22acos2a，
故 4a＝2sin22acos2a，当且仅当 a＝0时，等号成立．
19．解；（1）由题可得：f（x）＝cosxcos2x﹣cos（x+2x）＝sinxsin2x＝2sin2xcosx＝2cosx（1﹣cos2x），
经验证，a＝0符合题意．
设 t＝cosx∈[﹣1，1]，f（x）＝g（t）＝2t（1﹣t2），g′（t）＝2﹣6t2，
故 a的取值集合为{0}．
当 时，g′（t）＜0，g（t）单调递减， 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2 0 2 6 /4 /5 2 3 :5 5 :2 5；用户：1 8 6 6 5 9 2 5 4 3 6；邮箱：1 8 6 6 5 9 2 5 4 3 6；学号：2 4 3 3 5 3 5 3
当 时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，
当 时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，
而 g（﹣1）＝g（1）＝0， ， ，
故 g（t）的值域为 ，于是 f（x）的值域为 ；
（2）证明：当 时，sinx＞0，sin2x＜0，于是 f（x）＝sinxsin2x＜0＜lnx，
当 x≥π时，f（x）≤1＝lne＜lnπ≤lnx．
综上，f（x）＜lnx；
（3）由（1）可得 f（x）的值域为 ，
若 a≤x0≤2a，且 f（x0）＝4a，
则 ，得 ．
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