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第2课时 平行四边形的判定(二)
易错点睛
在四边形ABCD 中,∠B=50°,AB=6,当∠C 的度数为 ,CD 的长为 时,四边形 ABCD 是平行四边形.
【点睛】利用“一组对边平行且相等”判断.
A 基础题夯实
知识点 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.在四边形ABCD 中,AB=DC,请添加一个条件 ,使四边形 ABCD 成为平行四边形.
2.在四边形ABCD 中,AB=CD,要使四边形ABCD 是平行四边形,则还应满足( )
A.∠A+∠C=180° B.∠B+∠C=180° C.∠A+∠B=180° D.∠B+∠D=180°
3.(2025大连)在四边形ABCD 中,已知AD∥BC.添加下列条件不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是( )
A. AD=BC B. AB∥DC C. AB=DC D.∠A=∠C
4.依据所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是( )
5.如图,B 是AC 的中点,点 D,E 在AC 同侧,AE=BD,BE=CD.
(1)求证:△ABE≌△BCD;
(2)连接 DE,求证:四边形 BCDE 为平行四边形.
6.如图,在ABCD 中,AE=BF,∠DAE=∠CBF.求证:四边形 EDCF 为平行四边形.
B中档题运用
7.顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，以下四个条件：①AB∥CD；②BC=AD；③∠A=∠C;④∠B=∠D.从中任取两个条件,可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况共有( )
A.1种 B.3种 C.4种 D.5种
8.(2025 南充)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=12 cm,BC=9 cm,P,Q 两点分别从点A,C 同时出发,点 P 以2cm/s的速度由点 A向点 D 运动,点 Q 以 1 cm/s 的速度由点 C 出发向点 B 运动. s后四边形 ABQP 是平行四边形.
9.如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB 为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画 个，请一一在下图中画出来.
10.如图,△ABC 与△ADE 均为等边三角形,点 D,F 分别在BC,AC 上,且DC=CF.求证:EF∥BC,且EF=BC.
C 综合题探究
11.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,M,N 分别为AB,AC上的点,AE⊥MN 于点E,交 BC 于点F,∠DBA=∠ANM,DB=AF,连接AD.
(1)求证：四边形 ADBF 为平行四边形；
(2)若AF=MN,求证:DM=AM.
第2课时 平行四边形的判定(二)
易错点睛
在四边形ABCD 中, 当 的度数为 130° ,CD 的长为 6 时,四边形 ABCD 是平行四边形.
【点睛】利用“一组对边平行且相等”判断.
A 基础题夯实
知识点 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.在四边形ABCD 中,AB=DC,，请添加一个条件 AB∥DC(答案不唯一)，使四边形 ABCD 成为平行四边形.
2.在四边形ABCD 中,AB=CD,，要使四边形ABCD 是平行四边形，则还应满足(B)
A. B.
C. D.
3.(2025大连)在四边形ABCD 中,已知 .添加下列条件不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是(C)
A.AD=BC B.
C.AB=DC D.
4.依据所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是(C)
5.如图,B是AC的中点,点 D,E在AC 同侧,AE=BD,BE=CD.
(1)求证:△ABE≌△BCD;
(2)连接DE，求证：四边形 BCDE 为平行四边形.
证明:(1)∵B 是AC 的中点,
∴AB=BC.
∵AE=BD,BE=CD,
∴△ABE≌△BCD;
(2)∵△ABE≌△BCD,
∴∠ABE=∠BCD,
∴BE∥CD.
∵BE=CD,
∴四边形 BCDE 为平行四边形.
6.如图,在 ABCD中,AE=BF,∠DAE=∠CBF.求证:四边形 EDCF 为平行四边形.
证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD=BC,AD∥BC,
∵∠DAE=∠CBF,AE=BF,
∴△ADE≌△BCF,
∴DE=CF,∠ADE=∠BCF,
∵AD∥BC,
∴∠ADC+∠BCD=180°,
∵∠ADE=∠BCF,
∴∠EDC+∠DCF=180°,
∴ED∥CF,
∵ED=FC,
∴四边形 EDCF 为平行四边形.
∴BE=CD,∠ABE=∠ACD=60°.
∵CF=CD,∠BAC=60°,
∴∠ABE=∠BAC,BE=CF,
∴BE∥AC,
∴EF∥BC,EF=BC.
∴四边形 BEFC 为平行四边形，
B中档题运用
7.顺次连接平面上A,B,C,D 四点得到一个四边形,以下四个条件:①AB∥CD;②BC=AD;③∠A=∠C；④∠B=∠D.从中任取两个条件，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况共有(B)
A.1种 B.3种 C.4种 D.5种
8.(2025南充)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=12 cm,BC=9cm,P,Q两点分别从点A,C同时出发,点 P 以2cm/s的速度由点A向点 D 运动,点 Q 以1cm/s的速度由点C 出发向点B 运动, 3 s后四边形ABQP 是平行四边形.
9.(原创题)如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画 5 个，请一一在下图中画出来.
10.如图,△ABC 与△ADE 均为等边三角形,点 D,F 分别在BC,AC 上,且DC=CF.求证:EF∥BC,且EF=BC.
证明：连接BE.
∵△ABC 与△ADE 均为等边三角形,
∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°,
∴∠EAB=∠DAC,
∴△ABE≌△ACD,
∴BE=CD,∠ABE=∠ACD=60°.
∵CF=CD,∠BAC=60°,
∴∠ABE=∠BAC,BE=CF,
∴BE∥AC,
∴四边形BEFC 为平行四边形，
∴EF∥BC,EF=BC.
C 综合题探究
11.(2025武汉外校)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,M,N 分别为AB,AC 上的点,AE⊥MN 于点E,交 BC 于点F,∠DBA=∠ANM,DB=AF,连接AD.
(1)求证：四边形 ADBF 为平行四边形；
(2)若AF=MN,求证:DM=AM.
证明:(1)∵AF⊥MN,∠BAC=90°,
∴∠ANM + ∠NAE = ∠NAE +∠MAE=90°,
∴∠MAE=∠ANM.
∵∠DBA=∠ANM,
∴∠DBA=∠MAE,
∴DB∥AF.
∵DB=AF,
∴四边形 ADBF 为平行四边形；
(2)过点 F 作 FH⊥AC 于点 H,连接 MH,
∴∠FHA=90°=∠BAC,
∴FH∥AB,
∴∠AFH=∠MAE=∠ANM.
∵AF=MN,
∴△MAN≌△AHF,
∴AH=AM.
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠AHM=∠ACB=45°,
∴MH∥BC,
∴四边形 MBFH 为平行四边形，
∴MH∥BF.
∵四边形 ADBF 为平行四边形，
∴AD∥BF,
∴AD∥MH,
∴四边形 ADMH 为平行四边形，
∴DM=AH.
∵AM=AH,
∴DM=AM.

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