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21.2.1 平行四边形及其性质
第1课时 平行四边形及其性质(一)
易错点睛
如图,A(1,-1),B(2,1),以点A,B,O,C为顶点的四边形是平行四边形,则点 C 的坐标为 .
【点睛】以OA，OB，AB 为对角线各有一个平行四边形.
A 基础题夯实
知识点1 平行四边形的有关概念
1.如图，由六个全等的等边三角形拼成的图形中，平行四边形有 个.
知识点 2 平行四边形的边、角的性质
2.在 ABCD中,若∠B=2∠A,则∠D= °;若∠A+∠C=150°,则∠D= °.
3.(2025江岸区)如图,在 ABCD中,AC=3,△ACD 的周长为10,则 ABCD 的周长为 .
4.如图,在 ABCD 中,BC=2,点 E 在 DA 的延长线上,BE=3,若 BA 平分∠EBC,则 DE 的长为 .
知识点 3 平行四边形的对角线互相平分
5.如图,在 ABCD中,AC,BD交于点O,下列结论一定正确的是( )
A. AB=BO B. AC=BD C. OA=OC D. AC⊥BD
6.如图, ABCD 的对角线交于点O,AB=10,AC+BD=22,则△COD 的周长为 .
7.如图,在 ABCD中,AC,BD交于点O,AB⊥AC,CD=4,BD=10,则
8.如图, ABCD 和 EBFD 的顶点A,E,F,C在同一直线上.求证:AE=CF.
B中档题运用
9.如图,在 ABCD中,AE⊥BC 于点E,AF⊥CD 于点F,若∠EAF=60°,BE=4,DF=6,则□ABCD 的周长为 ,面积为 .
10.(教材P T 改编)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,过点O作OE⊥AC,交AD 于点E,连接CE,若△CDE 的周长为8,则 ABCD 的周长为 .
11.(2025天河区)如图,在 ABCD 中,AB=2,BF,CE 分别是∠ABC 与∠BCD 的平分线,交点为O,EF=1.(1)AD 的长为 ;(2)OB +OC 的值为 .
12.已知 ABCD.
(1)如图1,O为BD,AC 的交点,求证:
(2)如图2,P 为BD 上任意一点(点 P 与点B,D 不重合),求证:
C 综合题探究
13.(2025黄冈)如图, ABCD 的顶点C 在等边△BEF 的边 BF 上,点 E 在AB 的延长线上,AB=CF,连接DE,DF.
(1)求证:EF⊥DF;
(2)G为 DE 的中点,连接CG,求 的值.
21.2.1 平行四边形及其性质
第1课时 平行四边形及其性质(一)
易错点睛
如图,A(1,-1),B(2,1),以点A,B,O,C 为顶点的四边形是平行四边形,则点 C 的坐标为 (1,2),(3,0)或(-1,-2) .
【点睛】以OA，OB，AB 为对角线各有一个平行四边形.
A 基础题夯实
知识点1 平行四边形的有关概念
1.如图，由六个全等的等边三角形拼成的图形中，平行四边形有 6 个.
知识点 2 平行四边形的边、角的性质
2.在 ABCD中,若∠B=2∠A,则∠D= 120 °;若∠A+∠C=150°,则∠D= 105 °.
3.(2025江岸区)如图,在 ABCD中,AC=3,△ACD的周长为10,则 ABCD的周长为 14 .
4.(广州中考)如图,在 ABCD 中,BC=2,点 E 在 DA 的延长线上,BE=3,若 BA 平分∠EBC,则 DE 的长为 5 .
知识点3 平行四边形的对角线互相平分
5.如图,在 ABCD 中,AC,BD 交于点O,下列结论一定正确的是(C)
A. AB=BO B. AC=BD C. OA=OC D. AC⊥BD
6.如图, ABCD 的对角线交于点O,AB=10,AC+BD=22,则△COD 的周长为 21 .
7.如图,在 ABCD中,AC,BD 交于点O,AB⊥AC,CD=4,BD=10,则
8.如图, ABCD 和 EBFD 的顶点A,E,F,C在同一直线上.求证:AE=CF.
证明:连接BD 交AC 于点O,则OA=OC,OE=OF,∴AE=CF.
B中档题运用
9.如图,在 ABCD中,AE⊥BC 于点E,AF⊥CD 于点F,若∠EAF=60°,BE=4,DF=6,则 ABCD 的周长为 40 ,面积为 48
10.(教材P T 改编)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,过点O作OE⊥AC,交AD 于点E,连接CE,若△CDE 的周长为8,则 ABCD 的周长为 16 .
11.(2025天河区)如图,在 ABCD 中,AB=2,BF,CE 分别是∠ABC 与∠BCD 的平分线,交点为O,EF=1.(1)AD 的长为 3 ;(2)OB +OC 的值为 9 .
12.已知 ABCD.
(1)如图1,O为BD,AC 的交点,求证:
(2)如图2,P 为BD 上任意一点(点 P 与点B,D 不重合),求证:
证明:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC,
(2)连接AC 交BD 于点O,
∵OA=OC,
∴S△ABO=S△CBO;
S△APO=S△CPO,
∴S△ABP=S△CBP.
C 综合题探究
13.(2025黄冈)如图, ABCD 的顶点C 在等边△BEF 的边 BF 上,点 E 在AB 的延长线上,AB=CF,连接DE,DF.
(1)求证:EF⊥DF;
(2)G为DE 的中点,连接CG,求 的值.
解:(1)∵△BEF 为等边三角形,
∴BF=EF=BE,
∠BFE=∠FBE=60°.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC,AB=DC,AB∥CD,
∴∠DCB=∠FBE=60°.
∵AB=CF,
∴DC=CF,
∴∠DFE=∠CFD+∠BFE=90°,
∴EF⊥DF;
(2)延长CG 交BE 于点 H.
∵DC∥AB,∴∠CDG=∠GEH,
又∵DG=GE,∠CGD=∠EGH,
∴△CDG≌△HEG(ASA),
∴CG=GH,CD=HE.
又∵CD=CF,∴CF=HE.
又∵BF=BE,∴BF-CF=BE-HE,即BC=BH.
又∵∠FBE=60°,
∴△BCH 为等边三角形，
∴CH=BC=AD,

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