资源简介

21.3.2 菱形
第1课时 菱形及其性质
易错点睛
顺次连接菱形的四条边的中点所组成的图形是( )
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.无法确定
【点睛】菱形的对角线互相垂直.
A基础题夯实
知识点1 菱形的性质
1.若菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的边长是 .
2.(济宁中考)如图,菱形 ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,E 是AB 的中点,连接OE,若OE=3,则菱形的周长为 .
3.如图,菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,过点 D 作DH⊥AB 于点 H,若∠BAD=54°,则∠BDH 的度数为 .
4.若菱形的一内角为150°，高为2，则菱形的周长为 .
5.(临夏州中考)如图，O是坐标原点，菱形ABOC 的顶点B 在x轴的负半轴上，顶点C 的坐标为(3,4),则顶点 A 的坐标为 .
6.如图,在菱形ABCD 中,点E,F 分别在边BC 和CD 上,且∠AEB=∠AFD.求证:CE=CF.
知识点2 菱形的面积
7.在菱形 ABCD 中,AB=13,BD=10,则菱形ABCD 的面积为 .
8.已知菱形 ABCD 的面积为 ,则 BD 的长为 .
9.(2025荆州)如图,四边形 ABCD 是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC 于点E,求AE 的长.
B 中档题运用
10.如图，在菱形 ABCD 中，分别以点 C，D为圆心，大于 长为半径画弧，两弧分别交于点 M，N，连接MN，若直线 MN 恰好过点A 且交CD于点E，连接 BE，则下列结论错误的是( )
A.∠BCD=120° B.若AB=3,则BE=4 C. D.
11.(2025 辽宁中考)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 与BD 相交于点O,AC=8,BD=12,点 E 在线段OA 上,AE=2,点 F 在线段OC 上,OF=1,连接BE,G为BE 的中点,连接 FG,则 FG 的长为 .
12.如图,在菱形ABCD 中,F 为 BA 上一点,G 为BC 延长线上一点,∠FDG=∠BAD.
(1)求证:∠AFD=∠G;
(2)求证:DF=DG.
C 综合题探究
13.(2025 江岸区)在菱形ABCD 中,∠A=60°,点 E,F 分别是边AB,BC 上的点.
【尝试初探】(1)如图1,若∠EDF=60°,求证:DE=DF;
【深入探究】(2)如图2,点 G,H 分别是边CD,AD 上的点,连接EG 与FH 相交于点O 且∠EOF=60°,求证:EG=FH.
21.3.2 菱形
第1课时 菱形及其性质
易错点睛
顺次连接菱形的四条边的中点所组成的图形是(C)
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.无法确定
【点睛】菱形的对角线互相垂直.
A基础题夯实
知识点1 菱形的性质
1.若菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的边长是 5 .
2.(济宁中考)如图,菱形 ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,E 是AB 的中点,连接OE,若OE=3,则菱形的周长为 24 .
3.如图,菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,过点 D 作DH⊥AB 于点 H,若∠BAD=54°,则∠BDH 的度数为 27° .
4.若菱形的一内角为150°，高为2，则菱形的周长为 16 .
5.(临夏州中考)如图，O是坐标原点，菱形ABOC 的顶点B 在x轴的负半轴上，顶点C 的坐标为(3,4),则顶点 A 的坐标为 (-2,4) .
6.如图,在菱形ABCD 中,点E,F 分别在边BC 和CD 上,且∠AEB=∠AFD.求证:CE=CF.
证明：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=AD=BC=CD,∠B=∠D.
∵∠AEB=∠AFD,
∴△ABE≌△ADF(AAS),
∴BE=DF,
∴BC-BE=CD-DF,即CE=CF.
知识点 2 菱形的面积
7.在菱形 ABCD 中,AB=13,BD=10,则菱形 ABCD 的面积为 120 .
8.已知菱形 ABCD 的面积为 则 BD 的长为 8 .
9.(2025荆州)如图,四边形 ABCD 是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC 于点E,求AE 的长.
解：∵四边形ABCD 是菱形，
CD=5,BD=8,
∴BC=CD=5,BO=DO=4,
OA=OC,AC⊥BD,
∴∠BOC=90°,
∴AC=2OC=6,
=OB·AC,
B中档题运用
10.如图，在菱形ABCD 中，分别以点C，D 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧分别交于点 M，N，连接MN.若直线 MN 恰好过点A 且交CD于点E，连接 BE，则下列结论错误的是(B)
A.∠BCD=120° B.若AB=3,则 BE=4 C. D.
11.(2025 辽宁中考)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 与BD 相交于点O,AC=8,BD=12,点 E 在线段OA 上,AE=2,点 F 在线段OC 上,OF=1,连接BE,G 为BE 的中点,连接FG,则 FG 的长为 .
12.如图,在菱形ABCD 中,F 为BA 上一点,G 为BC 延长线上一点,∠FDG=∠BAD.
(1)求证:∠AFD=∠G;
(2)求证:DF=DG.
证明:(1)∵四边形ABCD 为菱形,
∴AD∥BC,
∴∠BAD+∠ABC=180°.
∵∠FDG=∠BAD,
∴∠FDG+∠ABC=180°,
∵∠FDG+∠ABC+∠BFD+∠G=360°,
∴∠BFD+∠G=180°,
∵∠BFD+∠AFD=180°,
∴∠AFD=∠G;
(2)过点 D 分别作DE⊥AB交BA 的延长线于点 E，DH⊥BG 于点 H,连接BD.
∵四边形ABCD 是菱形，
∴BD 平分∠ABC,∴DE=DH,
又∵∠AFD=∠G,
∠DEF=∠DHG=90°,
∴△DFE≌△DGH(AAS),∴DF=DG.
C 综合题探究
13.(2025 江岸区)在菱形ABCD 中,∠A=60°,点E,F 分别是边AB,BC 上的点.
【尝试初探】(1)如图1,若∠EDF=60°,求证:DE=DF;
【深入探究】(2)如图2,点G,H 分别是边CD,AD 上的点,连接EG 与FH 相交于点O 且∠EOF=60°,求证:EG=FH.
证明:(1)连接BD.
∵在菱形ABCD 中,∠A=60°,
∴AB=AD=CB=CD,∠C=60°,AD∥BC,AB∥CD,
∴△ABD 和△BCD 都是等边三角形，
∴ AD = BD,∠ADB = 60°,∠DBF=60°,
∵∠EDF=60°,
∴∠ADE=∠BDF,
∴△ADE≌△BDF(ASA),
∴DE=DF;
(2)连接BD,过点 D 作DP∥EG 交AB 于点 P,作DQ∥FH交BC 于点Q,
则∠PDQ=∠EOF=60°,四边形 DPEG 和四边形 DHFQ都是平行四边形，
∴DP=EG,DQ=FH,
由(1)可知,DP=DQ,∴EG=FH.

展开更多......

收起↑