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2025学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测
数学试卷
考生须知：
1.本试卷分试题卷和答题卷两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区
域的作答无效！
3.考试结束，只需上交答题卡。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，
1.数据2,3,3,5,6,7,8,10的第70百分位数为()
A.3
B.5
C.6
D.7
2.若2=2牛（1为虚数单位)，则z1口()
1-i
A
B.v2
C.v
2
D.
3.设f(x)=(a+b)cos2x+(a-b)sin2x,若{f(x)xER}={2},则()
A.a=1且b=1
B.a=2且b=0
C.a=0且b=2
D.a=1且b=-1
4.我国国旗的标准尺寸有五种通用规格（用“长×宽”表示），其中长与宽之比均为3：2
规格
一号
二号
三号
四号
五号
尺寸（单位：cm)
288×192
240×160
192×128
144×96
96×64
根据上表，可以判断五种规格国旗的()
A.周长构成等差数列
B.周长构成等比数列
C.面积构成等差数列
D.面积构成等比数列
5.设直线y=a一k+1与圆x2+y2=4交于M,N两点，则当MW取最小值时，k=()
A.1
B.2
C.-1
D.-2
6.设函数)=V3s血(+p十c0s(4十p)(0<9<)的图象关于直线x=受对称，则p=()
A君
B.号
c号
D.5x
6
高三数试·第1页（共4页）
7.己知向量a,b满足a=2b1=2,a·b=一1，设c=xa十yb,且2x十y=1,则1c的最小
值为()
A.2
B.1
C.
2
8,设椭圆c兰+1(a>b>0),点42,0和B0,)均为椭圆C的顶点，点M,N
在椭圆C上.若MNILAB,则四边形ABMN面积的最大值为()
A.4V2
B.4
C.2V2
D.2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.在△ABC中，AC=5,BC=4,cos∠BAC=3,则()
3
A.sin∠BAC=
4
B.△ABC的面积为6
C.ICA-CB|=3
D.AC.CB=16
10.已知函数f(x)=2x3+6x2+ax,则（)
A.3a∈R,f(x)是增函数
B.a∈R,f(x)是奇函数
C.若f(x)有三个不同的零点x1,x2,x3,则x十2十x3=一3
D.过点(0，m)且与曲线y=fx)相切的直线恰有3条，则一211.选取正方体表面上两个不同的点P,Q,定义第k次操作T()为“将正方体绕直线PQ
旋转角”.则经过下列操作，正方体可能与自身重合的有()
A.1(90),T2(180)
B.T(40),T2(40),T3(40)
C.T(90),T2(60)
D.T(75),T2(15),T3(60)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.设函数fx)=
103,x<1,,则f-2)F—
(lgx,x≥1
1B.已知双随线号片-1(a>6>0)的右焦点为R,过原点O的直线交E于Pg
两点，且PF⊥QF.若直线PQ的斜率为V3,则双曲线E的离心率为
14.一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图)，现用红蓝两
种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝
色边，则不同染色的方法数为
(第14题)
高三数试·第2页（共4页）2025学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测
数学试卷参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1
2
3
4
5
6
7
8
D
Q
B
A
C
B
D
B
二、选择题&本题共3小题，每小题6分，共计18分.
9.BC
10.ACD
11.ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.2
13.V5+1
14.82
四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，
15.(1)当n≥2时，
Sn=an+1-2,
两式相减得a+1=2ar,
Sn-1=a-2,
所以公比q=2,
.5分
由于{a}为等比数列，所以m=2am1,又=a1=2一2，
所以a1=2.
.9分
(2)由(1)知，a=2.
所以Sn=a+1-2=21-2.
....13分
16.(1)因为P一ABCD的所有棱长相等，点M是棱PC的中点，
所以PC⊥DM,PC⊥BM,
又因为DMOBM=M,DM,BMc平面BDM,
所以PC⊥平面BDM.
5分
(2)建系如图，则D(0,0,0),C(0,2,0),P(1,1,2,设Q(2,t,0)(02),
由(1)知PC⊥平面BDM,
则CP=(1,-1,V2)为平面BDM的法向量.
则D0=(2,t,0),D丽=(1,1，V2
设平面PDQ的法向量为n=(x,y,z),则
(D0:n=2x+ty=0,
D丽.n=x+y+2=0'可取=c,-2,V2-96,
记平面PDQ与平面BDM所成角为0，则，cos0=m:c
2-2+6
当1=时，cos取到最大值
.15分
17.(1)平均时间
X=0(2.5×20+7.5×14+12.5×10+17.5×6)=7.7:
.5分
(2)(i)证明：由题意知，P(X>t)=1-P(X≤t)=eo,
分别记己经等待s分钟和已经等待s+t分钟为事件A和事件B,
P(X>s+>s)=P(BIA)=P(AB)POK>s+tlx>
P(A)
P(X>s)
=0=e贵
P(X>s)
=e而=P(X>t)..10分
(ii)由(i)知，
P(Y>10)=P(X>5+10lX>5)=P(X>10)=1-P(X≤10)=e-1,
P(0≤Y≤10)=1-P(Y>10)=1-e-1,
所以费用的期望是2×(1-e1)+20×e1=2+8(元).…15分
18.(1)将点A代入y2=2x得p=2,即：y2=4x.
.4分
(2)(i)过M点斜率为2的直线y-2t=2(x-t),
Lo4直线方程y=x,
可得Q(2t2-2t,2t2-2t)
由M0=Qp得P(3t2-4t,4t2-6t)
9分
(i)所以直线OP方程为y=x,
y=t-6
解方程组
一x,得N(，
2(3t-4)\
11分
y2=4x
2t-3)2’2-3
直线：y-2t=x-t,
整理得t20y-3)+2t(2-x)+(3x-2y)=0,
因此直线MN过定点E(2,3):
15分
所以点F到直线N的最大距离为V1O,
.17分
19.(1)一方面，记fx)=x-sinx,x∈(0，
则f'6)=1-c0sx>0,故f)在x∈(0，)上单调递增，即f)>f0)=0.
另一方面，记g()=tax-x,xe(0,习
所以g'()=-1>0,故g)在x∈(0，引上单调递增，即g)>90)=0.
综上，sinr.4分
(2)当xe(0,)时，由(1)知x>simx,故入x-sinx
2

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