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2026届高三学情调研(二)
数 学
(时量：120分钟满分：150分)
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数： (i为虚数单位),则 z在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合 ,若 ,则实数 a的取值范围是
A. B. C. D.
3.函数 与 的图象
A.关于 y轴对称 B.关于直线 x=1对称
C.关于直线 对称 D.关于直线 x=2对称
4.已知数列 满足 ， 是数列
的前 n项和，则
A. B. C.6 D.7
5.已知 ,则
A. B. C. D.
6.记 O为坐标原点，已知椭圆 C: 的左、右焦点分别为 F1,F2,
过 F2的直线与 C交于 A,B两点，若 ,且 ,则 C的离心率为
A. B. C. D.
7.为调查某地区中学生每天的睡眠时间，采用按样本量等比例分配的分层随机抽
样，现抽取初中生 1200人，其每天睡眠时间的均值为 9小时，方差为 0.24;抽取
高中生 800人，其每天睡眠时间的均值为 8小时，方差为 0.64,则估计该地区中
学生每天睡眠时间的方差为
A. B. C D.
8.函数 在区间 上的最大值与最小值之差的取值
范围是
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M为 AA1的中点，O为
BD1的中点，则下列说法正确的是
A.OM//平面 ABCD B.OM//平面 BCC1B1
C.OM⊥平面 BB D D D.OM⊥平面 BCC B
10.设抛物线C: 的焦点为 F,直线 l交C于A,B
两点(A,B在不同的象限),交 y轴于点 D,且 ,过 A作
C的准线的垂线 AE,垂足为 E,设点 ,则下列说法正确的有
A. B.抛物线 C的方程为
C.直线 l的方程为 D.直线 AE与直线 AF关于直线 AH对称
11.若数列 满足 ,,则下列说法正确的是
A.任意 B.任意
C.任意 D.任意
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12.已知 均为单位向量，且 ,则 和 的夹角大小为______.
13.已知点 P在曲线 上， 为曲线在点 P处的切线的倾斜角，则 的取值
范围是_________________。
14.现有 10个直径为 4的小球，全部放进棱长为 a的正四面体盒子中，则 a的最
小值为_________________.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
15.(本小题满分 13分)
某学校为高一学生免费提供数学和物理学科竞赛培训，以提升学生的学科竞赛素
养与解题能力.每名学生可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已
知参加过数学竞赛培训的有 60%,参加过物理竞赛培训的有 75%.假设每个学生对
培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.
(1)任选 1名高一学生，求该学生参加过培训的概率；
(2)任选 3名高一学生，记ξ为 3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列和期望.
16.(本小题满分 15分)
如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,且CD=2AB=2BC,E是CD的中点.将△ADE
沿 AE折起到△AD′E的位置.
(1) 若M为棱 BD'上动点，N是 AE的中点，证明 BC⊥MN.
(2)若平面 AD'E⊥平面 ABCE,求二面角 A-BD'-C的余弦值.
17.(本小题满分 15分)
如图，在平面四边形 ABCD中，BC=CD=2AB,AD=3AB.
(1)证明： .
(2)当 AB=2时，求四边形 ABCD面积的最大值.
18.(本小题满分 17分)
已知双曲线 C： 的一条渐近线方程为 ,实轴长为
4,F为其左焦点.
(1)求 C的方程；
(2)设过点 P(4,0),且斜率为 k的直线 l与 C交于 A,B两点.
(i)若点 A,B分别在 C的左、右两支上，求 k的取值范围；
(ii)若 x轴上存在一点M,使得点M是△FAB的外心，求点M的坐标.
19.(本小题满分 17分)
已知函数 ,其中 .
(1)当 时，讨论函数 的单调性.
(2)若 ,求 x的取值范围.
(3)当 时，若 为函数 的两个零点，试证明：

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